平面及其方程pingmianjiqifangcheng課件

1、一、平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8.4 平面及其方程zyxo0Mn一、平面的點(diǎn)法式方程一、平面的點(diǎn)法式方程),(0000zyxM設(shè)一平面通過已知點(diǎn)且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM稱式為平面的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.,),(zyxM任取點(diǎn)),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0則有 故的為平面稱n機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 208頁例頁例18、例、例19kji例例1 1. .求過三點(diǎn),1M又) 1,9,14(

2、0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取該平面 的法向量為),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用點(diǎn)法式得平面 的方程346231nn3121MMMM機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 此平面的三點(diǎn)式方程三點(diǎn)式方程也可寫成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情況一般情況 : 過三點(diǎn))3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程為說明說明:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 211頁習(xí)題頁習(xí)題8特別地特別地, ,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平

3、面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax時,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程為 PozyxRQ分析分析:利用三點(diǎn)式 按第一行展開得 即0axyzab0a0c機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 209頁例頁例20、習(xí)題、習(xí)題7二、平面的一般方程二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程與此點(diǎn)法式方程

4、等價, )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程方程.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特殊情形特殊情形 當(dāng) D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示 通過原點(diǎn)通過原點(diǎn)的平面; 當(dāng) A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量/x 軸; A x+C z+D = 0 A x+B y+D = 0 C z + D = 0 A x + D =0 B y + D =00DCzByAx)0(222CBA/y 軸；/ z 軸;/xoy 面;/ yoz 面 ；/zox 面.,), 0(iCBn機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 B y

5、 + C z = 0過x軸A x+C z = 0過y軸A x+B y= 0過z軸 z=0:xoy面面X=0:yoz面Y=0:xoz 面例例2. 求通過 x 軸和點(diǎn)( 4, 3, 1) 的平面方程.（例22）思考；思考；用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.解解: 因平面通過 x 軸 ,0 DA故設(shè)所求平面方程為0zCyB代入已知點(diǎn)) 1,3,4(得BC3化簡,得所求平面方程03 zy機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角設(shè)平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平面夾角 的余弦為 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA兩平面法向量的夾

6、角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2特別有下列結(jié)論：特別有下列結(jié)論：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA11221nn 21/ nn2n1n2n1n機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求兩求兩平面平面解解: 應(yīng)用公式有應(yīng)用公式有機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 230250 xyzxyz和的的夾角夾角. .（例（例2323）cos1 2( 1) 12 1 2221( 1)2 2222111.2因此因此1arccos.23因此有

7、例例4. 一平面通過兩點(diǎn)垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .（例19）解解: 設(shè)所求平面的法向量為,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC約去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M則所求平面故, ),(CBAn方程為 n21MMn且機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 外一點(diǎn),求),(0000zyxP0DzCyBxA例例5. 設(shè)222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd1110AxB yC zD解解: :設(shè)平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的距離d .0P,則P0 到平面的距離為01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (點(diǎn)到平面的距離公式)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.平面平面基本方程:一般式點(diǎn)法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點(diǎn)式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0212121CCBBAA212121CCB