二次函數(shù)與一元二次方程及不等式解析

1、二次函數(shù)與一元二次方程及不等式一，二次方程基礎(chǔ)概念當(dāng)/（刈=0+法+。中，/（x） = o時(shí)，即得到二次方程ax2 +bx+c = O其解的幾何意義即為二次函數(shù)的圖象與X軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo).1 .4艮的判另|J式 = 一 44c 0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根; =0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根; V0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，但有兩個(gè)共朝的虛數(shù)根.2.根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）b根的位置v=圖象位置v=等價(jià)條件ax2 +bx+c = 0 (a>0)二次方程根的分布三、一元二次不等式一元二次不等式加1+bx+c0 （或0）的解集，即函數(shù)/（刈=療+以+ ,的自變量的取值范圍，使其函數(shù)值/（冷0 （或0

2、）的自變量的取值范圍.八y八yyiA>0A<0 =b2-4ac >0=() <()二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像a_q7 ：一元二次方程ax2+bx+c=0(a > 0)的才艮-b±JK la2a無實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax2+bx+c>0(a >0)的解集x V3或x > &(X V x?)2ax為全體實(shí)數(shù)一元二次不等ax2+bx+c< 0(a > 0)的解集X < X < x2(M V Z )無解無解1,例題：選擇題=對(duì)任意實(shí)數(shù)Z都有/(2+f) = /(2-f),那么(A )A.

3、2)</(l)</(4)B. /(l)</(2)</(4)C. /(2)</(4)</(l) D. /(4)</(2)</(l) 已知丁 =此；(/-2冷在區(qū)間(一8, 0)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是(B )A. a>lB. -C. a£R且awOD. 4<一1 或4>1已知函數(shù)尸log! (a26x+7),則J(D ) 2A.有最大值沒有最小值B.有最小值沒有最大值C.有最大值也有最小值D.沒有最大值也沒有最小值填空題 方程x2-2|x|=4(4£R)有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解：令

4、 =，- 21 x |, y2 = a則M I"“。)，其函數(shù)圖象如下: x + 2x(x < 0)關(guān)于x的方程/-2辦+9 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為a, p ,則(a-1尸+ (2-廳的最小值是解：方程有實(shí)數(shù)根，故A = 4標(biāo)一4x9 2 0a W-3 或。23 又a + Q = 2a, ap = 9：.y =(2_l)2 + (/_lf =(a + P/_2(a + ,)_2a夕+ 2 = 4/_4_16或 23 /. y，8 (z=3 時(shí)取等號(hào))'min = 8應(yīng)用題：y1.已知函數(shù)y = /-4x+24 + 30的圖象與x軸無交點(diǎn)，求關(guān)于x的方程一一=|。-1|

5、+1的才艮 a + 3的范圍.解：= y = /一4aY + 2o + 30 的圖象與 x軸無交點(diǎn)，所以4 = (一44)2 4(2。+ 30)<0解得：一2.5VwV3 (1)當(dāng) aC (-2.5, 1時(shí)，方程化為 x= (a+3) (2 )=一才一+6C(2)當(dāng) aS (1, 3)時(shí)一，方程化為 x= (w+3) a=/ + 3aC4 4(4, 18)Q綜上所述：x£ (-, 18)42 .設(shè)a, 6為實(shí)常數(shù)，A取任意實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)y= (V+/+1)幺-2 (a+*) 2x+ (公+3或+b)的圖象與x軸都交于點(diǎn)* (1, 0).(1)求、6的值；(2)若函數(shù)與x軸的另一個(gè)

6、交點(diǎn)為瓦 當(dāng)人變化時(shí)，求的最大值.解：a=l, b=y=(笈 + +1) 22 (k+1) 2x+ (爐+3/+1)|AB|的最大值為2.3 .設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足iT be 85+ 7 = 0Zr+ r+ 6c- 6a+6 = ()5求a的取值范圍.解：4 .設(shè)二次函數(shù)/。) =。/+區(qū)+。(5>0),方程/(x)-x=0的兩個(gè),艮不占滿足0<% <七 <.(1) .當(dāng) (0,演)時(shí)，證明 xV/(x)VX；(2) .設(shè)函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x = x。對(duì)稱，證明：x0<.解(2).依題意知七=一2.2a、2，因?yàn)橛瘢墒欠匠蹋?x) x=0的根，即不，巧是

7、方程ax +(61)x+c=0 的根，所以益+七=一個(gè)_ _ b a(xi + x,)-l 叫 + ox, 14一五=L= 2因?yàn)閛x, <1,所以X。<? = ?.za 25 .若關(guān)于x的二次方程7幺一(0+13) x+/一P一2=0的兩根a,尸滿足 0<a <1</?<2求實(shí)數(shù)p的取值范圍.解： 設(shè) f (x) =7/ (p+13) x+/p2 了 (0)>0p2-p-2>0根據(jù)題意得：b(1)<0即 b2-2p-8<0 /(2) > 0p2-3p>Q解得：pW (2, - 1) U (3, 4).6 .已知二次函數(shù)y

8、=x? (2m+4)x+m2 -4 (x為自變量)的圖像與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)下 方，與x軸交于A, B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，且A, B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離AO, OB 滿足3 ( OB-AO) =2AO OB,直線y=kx+k與這個(gè)二次函數(shù)圖像的一個(gè)交點(diǎn)為P, 且銳角/PQB的正切值4.(1)求m的取值范圍；(2)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(3)確定直線丫=1«+1<的解析式.解 (1) m2-4<0,-2<m<2.(2)二次函數(shù)的解析式為y=x22x 3.(3) *y=x2-2x-3,得 A ( 1, 0), B (3, 0).強(qiáng)化訓(xùn)練一、填空題1 .與拋物線y=

9、2x22x 4關(guān)于x軸對(duì)稱的圖像表示的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x2+2x+4_.2 .已知二次函數(shù)尸(a-1) x?+2ax+3a 2的圖像最低點(diǎn)在x軸上，那么a=_2_,此 時(shí)函數(shù)的解析式為_y=x2+4x+4 .3 .某涵洞的截面是拋物線型，如圖1所示，在圖中建立的直角坐標(biāo)系中，拋物線的解析式為y=(x2,當(dāng)涵洞水面寬AB為12m時(shí)，水面到橋拱頂點(diǎn)O的距離為9_m.4 .甲，乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，甲發(fā)出一顆十分關(guān)鍵的球，出手點(diǎn)為P,羽毛球飛行 的水平距離s (m)與其距地面高度h (m)之間的關(guān)系式為h=-s2+|s+|.如圖2, 已知球網(wǎng)AB距原點(diǎn)5m,乙(用線段CD表示)扣球的最大高度為&

10、#39;m,設(shè)乙的起跳4點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m,若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失 敗，則m的取值范圍是5vm<4+".5 .若拋物線y=gx?與直線y=x+m只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的值為一.6 .設(shè)拋物線y=x?+ （2a+l） x+2a+（的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則a18+ 323a-6的 值為 _5796_.7 .已知直線y= - 2x+3與拋物線y=x2相交于A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么AOAB 的面積等于6.8 .（2008,安徽）圖3為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，在下列說法中：abv。；方程 ax2+bx+c=0 的才艮是 x1二 -1,

11、 x2=3；a+b+c>0；當(dāng) x>l 時(shí); y 隨著x的增大而增大.正確的說法有.（請(qǐng)寫出所有正確說法的序號(hào)）9圖3圖4圖5二、選擇題9 .小敏在某次投籃球中，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線y= 1x2+3.5的一部分（圖4）,若命 中籃圈中心，則他與籃底的距離是（B ）A. 3.5mC. 4.5mD. 4.6m10.當(dāng)m在可以取值范圍內(nèi)取不同的值時(shí),代數(shù)327-4m+2M的最小值是（B ）A. 0B. 5D. 911 .二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖5所示，則下列結(jié)論:a>0,c>0,b? 4ac>0,其中正確的個(gè)數(shù)是（C ）A. 0個(gè) B. 1個(gè)C. 2個(gè) D

12、. 3個(gè)12 .拋物線y=x?+ （2m1） x+n?與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是（C ）A. m> B. m> C. m< D. m<444413 .根據(jù)下列表格中二次函數(shù)尸衾+bx+c的自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c=0 （aO, a, b, c為常數(shù)）的一個(gè)解x的范圍是（C ）X6.176.186.196.20y=ax2+b0.00.0x+c0.030.0124A. 6<x<6.17B. 6.17<x<6.18 C. 6.18<x<6.19 D. 6.19<x<6.2014 .若二次函數(shù)y=

13、ax?+bx+c (aO)的圖像的頂點(diǎn)在第一象限且經(jīng)過點(diǎn)(0, 1)和(-1, 0),則S=a+b+c的值的變化范圍是(A )A. 0<S<2 B. 0<S<l C. 1<S<2 D. -1<S<115 .二次函數(shù)v=ax?+bx+c （aO）的最大值是零，那么代數(shù)式| a | +處土的化簡(jiǎn)結(jié) 4。果是（B ）A. aB. aC.D. 016 . （2006,甘肅蘭州）已知y=2x?的圖像是拋物線，若拋物線不動(dòng)，把x軸，y軸分別向上，向右平移2個(gè)單位，那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是（B ）A. y=2 （x 2） 2+2B. y=2 （x+2）

14、 2-2C. y=2 （x 2） 22D. y=2 （x+2） 2+2三、解答題17 . （2006,吉林省）如圖，三孔橋橫截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，兩小孔形狀，大小都相同.正常水位時(shí)，大孔水面寬度AB=20m,頂點(diǎn)M距水面6m （即MO=6m）, 小孔頂點(diǎn)N距水面4.5m （即NC=4.5m）.當(dāng)水位上漲剛好淹沒小孔時(shí)，借助圖中的直角坐標(biāo)系，求此時(shí)大孔的水面寬度EF.正常水位設(shè)拋物線解析式為y=ax2+6,依題意得，B (10, 0). axl02+6=0,解得 a=-0 06.即尸一0.06x2+6,當(dāng) y=4.5 時(shí)，-0.06x2+6=4.5,解得 x=±5,二DF=5, E

15、F=10,即水面寬度為10m.18 . （2008,安徽）雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅 子B處，其身體（看成一點(diǎn)）的路線是拋物線y=-gx?+3x+l的一部分，如圖所示.（1）求演員彈跳離地面的最大高度；（2）已知人梯高BC=3.4m,在一次表演中，人梯到 起跳點(diǎn)A的水平距離是4m,問這次表演是否成功？ 請(qǐng)說明理由./ 、3 ,3 /5 、 ， 19（1） y= x2+3x+l= （x ） 2+.5524319 -<0, 函數(shù)的最大值是上.5419答：演員彈跳離地面的最大高度是上m.43（2）當(dāng)x=4時(shí)，y=- - x42+3x4+1=3.4=BC,所以這次表

16、演成功.19.（2006,沈陽(yáng)市）某企業(yè)信息部進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn):信息一：如果單獨(dú)投資A種產(chǎn)品，則所獲利潤(rùn)y-A （萬(wàn)元）與投資金額X （萬(wàn)元）之間存在正比例函數(shù)關(guān)系：yA=kx,并且當(dāng)投資5萬(wàn)元時(shí)，可獲利潤(rùn)2萬(wàn)元；信息二：如果單獨(dú)投資B種產(chǎn)品，則所獲利潤(rùn)（萬(wàn)元）與投資金額x （萬(wàn)元）之間存在二次函數(shù)關(guān)系：yB=ax2-f-bx,并且當(dāng)投資2萬(wàn)元時(shí)，可獲利潤(rùn)2.4萬(wàn)元；當(dāng)投資 4萬(wàn)元時(shí)，可獲得3.2萬(wàn)元.(1)請(qǐng)分別求出上述的正比例函數(shù)表達(dá)式與二次函數(shù)表達(dá)式；(2)如果企業(yè)同時(shí)對(duì)A, B兩種產(chǎn)品共投資10萬(wàn)元.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)能獲得最大利 潤(rùn)的投資方案，并求出按此方案能獲得的最大利潤(rùn)是多少.解 (1

17、)當(dāng) x=5 時(shí)，yA=2, 2=5k, k=0.4. yA=0.4x,當(dāng) x=2 時(shí)，ys=2.4；a = -0.2,Z? = 1.6.CyB=-0.2x2+1.6x.(2)設(shè)投資B種商品x萬(wàn)元，則投資A種商品(10x)萬(wàn)元，獲得利潤(rùn)W萬(wàn)元，根據(jù)題意可得 W=-0.2x2+L6x+0.4 (10-x) =-0.2x2+1.2x+4. ZW=-0.2 (x-3)當(dāng)投資B種商品3萬(wàn)元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)5.8萬(wàn)元.所以投資A種商品7萬(wàn)元，B種商品3萬(wàn)元，這樣投資可以獲得最大利潤(rùn)5. 8萬(wàn)元.2.4 = 4+ 24,解得43.2 = 16。+ 4。當(dāng) x=4 時(shí)，ys=3.2.20. (2008,

18、煙臺(tái))如圖所示，拋物線Li： y=-X? 2x+3交x軸于A, B兩點(diǎn)，交y軸 于M點(diǎn).拋物線L1向右平移2個(gè)單位后得到拋物線L2, L2交x軸于C, D兩點(diǎn).(1)求拋物線L2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)拋物線L或L2在x軸上方的部分是否存在點(diǎn)N,使以A, C, M, N為頂點(diǎn)的 四邊形是平行四邊形.若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若點(diǎn)P是拋物線L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P不與點(diǎn)A, B重合)，那么點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q是否在拋物線L2上，請(qǐng)說明理由.(1)令 y=0 時(shí)，得一x22x+3=0, Jxi=-3, x2=l,二A(一3, 0),B (1, 0).匚拋物線Li向右平移2個(gè)單

19、位長(zhǎng)度得拋物線L2, DC (-(2)存在.如圖所示.0), D (3, 0). 拋物線 L2 為尸一 (x+1) (x-3).y=-x2+2x+3.令x=0,得y=3, DM (0, 3).匚拋物線L2是Li向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，點(diǎn)N(2, 3)在L2上，且 MN=2,MN二AC.又LZAC=2,二MN=AC.二四邊形ACNM為平行四邊形.同理,Li上的點(diǎn)N<2,3)滿足NTdlAC, NNI=AC,二四邊形ACMN，是平行四邊形.N (2, 3), N，(2, 3)即為所求.(3)設(shè)P (xi, yi)是Li上任意一點(diǎn)(yi和)，則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q (xi, yi),K

20、yi=xi22xi+3,將點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)代入L2，得yQ=xi22xi+3=yiyi.點(diǎn)Q不在拋物線L2上.21.已知：二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A (0, 4),頂點(diǎn)在x軸上，且對(duì)稱軸 在y軸的右側(cè).設(shè)直線y=x與二次函數(shù)圖像自左向右分別交于P (xi, yj , Q (x2, y2) 兩點(diǎn)，且 OP: PQ=1: 3.(1)求二次函數(shù)的解析式;(2)求APAQ的面積;(3)在線段PQ上是否存在一點(diǎn)D,使APDAQPA,若存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo),若不存在，說明理由.(1)拋物線過(0, 4)點(diǎn).匚c=4, Zy=ax2+bx+4 X OP： PQ=1： 3, Oxi： x2=l： 4

21、y=xb-4由 , 得 ax?+ (b1) x+4=0, Dxi，x?是該方程的兩個(gè)根，口乂1+乂2=-,xrX2=.y = ax +bx+4aa又拋物線的頂點(diǎn)在x軸上,消去xi得25a= (bl) 2.匚拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)0>0, D-<0,2a a4二b?=16a 得 a=l, b=4 (b=舍去).9ny=x24x+4.(2)如圖所示 Szpaq=Szaqo S二apo=；X4XX2 g x4xxi=2(X2XI) =2 y/(x2 + xj2 - 4xtX2 =2 J(- -)2 一絲=2 d=6.(3)存在點(diǎn) D,設(shè) D (m, n)易得 P (1, 1), Q (4, 4),582由DAPD二EIQPA得PA?=PQ PD,運(yùn)用勾股定理得|m1 | =§ ,得m=或8 8 l<m<4, CD (-,-).3 322. (2005,武漢市)已知二次函數(shù)y=ax? ax+m的圖像交x軸于A (xi, 0), B(X2, 0) 兩點(diǎn)，xVx2,交y軸的負(fù)半軸于C點(diǎn)，且AB=3, tan/BAC tanZ ABC=1