44泰勒公式的余項(xiàng)

1、 定理定理 1 設(shè)函數(shù)f(x)在(a b)內(nèi)有(n1)的階導(dǎo)數(shù),則對(duì)(a b) 中任意取定的一點(diǎn)x0及任意的x(a, b) 有200000)(! 21)()()(xxxfxxxfxfxf )()(!100)(xrxxxfnnnn 其中10) 1()()!1()()(nnnxxnfxr(介于 x0與 x 之間) 其中(介于x0與x之間)4-4 關(guān)于泰勒公式的余項(xiàng)關(guān)于泰勒公式的余項(xiàng)而rn(x)的表達(dá)式稱為拉格朗日型余項(xiàng)拉格朗日型余項(xiàng) )()(0nnxxoxr注意在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí) , 泰勒公式可寫(xiě)為帶皮皮亞諾亞諾(peano) 余項(xiàng)余項(xiàng) 的泰勒公式.上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)證證.0，則上述公

2、式顯然成立假如xx .0 xx 因此，不妨設(shè)我們令)(tf)(0 xf)(! 1)(00 xtxf,)(!)(00)(nnxtnxf ,)()(10nxttg)(tf容易驗(yàn)證或其中.00 xtxxtx, 0)(0 xg)(0 xf, 0)(0)(xgk)(0)(xfk., 2 , 1nk 由柯西中值定理)()(xgxf)()()()(00 xgxgxfxf,)()(11xgxf.01之間的一點(diǎn)與是介于其中xxx上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè))()(11xgxf)()()()(0101xgxgxfxf,)()(22xgxf .102之間的一點(diǎn)與是介于其中xxx.0之間的一點(diǎn)與也即是介于xx得到次柯西中值

3、定理，最后如此下去，共使用1n)()(xgxf,)()(1)1(1)1(nnnnxgxf.101n之間的一點(diǎn)與是介于其中xxx另一方面，不難看出),()()1()1(tftfnn,)!1()()1(ntgn故得到)()(xgxf,)!1()(1)1(nxfnn即)(xf.)()!1()(101)1(nnnxxnxf.,1就是要證的公式上式換成將nx上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè))(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx特例特例:(1) 當(dāng) n = 0 時(shí), 泰勒公式變?yōu)?(xf)(0 x

4、f)(0 xxf(2) 當(dāng) n = 1 時(shí), 泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可見(jiàn))(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxr 誤差fd)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx誤差估計(jì)1010) 1(|)!1( |)()!1()(| | )(|nnnnxxnmxxnfxr1010) 1(|)!1( |)()!1()(| | )(|nnnnxxnmxxnfxr 上的一個(gè)上界，那么或，在是設(shè),| )(|m00)1(xxxxxfn泰勒公式的誤差)()(xfxrn)(!)(00)(nnxxnxf)(0

5、 xf)(00 xxxfnnxxnxf)(!)(00)(有下列估計(jì)公式：上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè), ) 10(,00 xx則馬克勞林為：馬克勞林為：)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(mxfn則有誤差估計(jì)式1! ) 1()(nnxnmxr2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式211

6、321113!21 !cos1;21 !nnnnxxxxnxxn 2. sin 2211112!2!cos122 !nnnxxxnxn 3. cos xe. 11x!33x!nxn!22x).(! ) 1(1xxnen初等函數(shù)帶拉格朗日余項(xiàng)的幾個(gè)泰勒公式: 11111 1nnnxxn . 1231111;23nnnxxxxxo xn 5. ln 1+211112!ana aa aanxaxxxn 4. 1+111111 !a nna aanxxn 習(xí)題 4-3 1. (2),(5);2.(1);3.(1);4.(1),(2);6.上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)已知補(bǔ)例補(bǔ)例 計(jì)算無(wú)理數(shù) e 的近似值 ,

7、 使誤差不超過(guò).106解解:xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(! ) 1(!1!2111nen) 10(由于, 30ee欲使) 1 (nr!) 1(3n610由計(jì)算可知當(dāng) n = 9 時(shí)上式成立 ,因此e718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麥克勞林公式為!91!2111上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè))()(xfn解解),2sin(nxxsinx!33x!55x!) 12(12nxn1) 1(n)sin(212mx其誤差|)!12(cos) 1( | )(|122nnnxnxr)!12(|12nxn例例1的泰勒公式在使用帶拉格朗日余項(xiàng)設(shè),44x取多少項(xiàng)？。應(yīng)在泰勒公式中時(shí)，為使公式誤差小于計(jì)算7105sinx)!12()4(12nn.)!12(1n.)!12(cos) 1(12 nnxn,1057為使公式誤差小于.103!1118因?yàn)榧纯扇?5n上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)需解問(wèn)題的類型:1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項(xiàng)數(shù) n ;2) 已知項(xiàng)數(shù) n 和 x , 計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3) 已知項(xiàng)數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)補(bǔ)例補(bǔ)例 用近似公式!21cos2xx計(jì)算 co