初二14班王鑫數(shù)學(xué)建模論文

1、“有約束條件下的線性規(guī)劃最優(yōu)解問題”的解法探討福建省泉州市培元中學(xué)初二14班 學(xué)生：王鑫指導(dǎo)教師：劉振龍 摘要：本篇論文主要探討“有約束條件下的線性規(guī)劃最優(yōu)解”的求解問題，以生活飲食中兩種食物的營養(yǎng)搭配為例，并拓展到多種食物搭配的情況，即由只含兩個(gè)變量的情況推廣到含有多個(gè)變量的情況， 并給出相應(yīng)的具體算法。關(guān)鍵字：目標(biāo)函數(shù)、約束條件、可行域、線性規(guī)劃、excel一、問題探宄營養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的円常飲食應(yīng)該至少提供0. 075kg的碳水化合物， 0. 06kg的蛋白質(zhì)，0. 06kg的脂肪。1kg食物a含有0. 105kg碳水化合物，0. 07kg 蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費(fèi)28元：而l

2、kg食物b含右0.105kg的碳水化合物， 0.14kg的蛋白質(zhì)，0.07kg的脂肪，花費(fèi)21元。為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常 飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，需要同時(shí)食用食物a和食物b多少kg?將己知數(shù)據(jù)列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白質(zhì)/kg脂肪/kga0. 1050. 070. 14b0. 1050. 140. 07二、模型建立設(shè)毎天食用x權(quán)食物a，y知食物b，總成本為那么問題中的約束條件為：0.105x4-0.105 >0.075 0.07x4-0.14 > 0.06< 0.14% + 0.07 > 0.06 %>0 y>0所求的花費(fèi)可設(shè)為h標(biāo)函數(shù)：

3、vv=28x + 21ylx+ly>5 7% + 14y >6則問題即轉(zhuǎn)化為在約束條件14r + 7>6下，求目標(biāo)函數(shù)w =+ 的最小值。x>0y>0如下圖，作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域（灰色所示）。4 13y'74-73-72-71-77x+14y=614x+7y=67x+7y=54x考慮f21.v，齡整理為y=k，即表和、隨w變化的一族平行直線。其中！是直線在y軸的截距，當(dāng)！取最小值時(shí)，w的值最小。當(dāng)然 21 21直線要與可行域相交，即在滿足的約束條件時(shí)目標(biāo)函數(shù)w = 28* + 21y取得最小值。由圖可得，當(dāng)直線w = 28;v +

4、 21y （藍(lán)色虛線）經(jīng)過可行域上的點(diǎn)m時(shí)，此時(shí)截距，最小，即w最小。21由方程組7x + <v = 5 解得 x:i 14x + 7y = 67所以當(dāng)x=+，y=.時(shí)，即a食物+&，b食物時(shí)，既滿足營養(yǎng)要求，又使得 目標(biāo)函數(shù)w = 28jv+21y最小，即最小花費(fèi)為16元。三、拓展研宄上述問題中探究的是兩種食物a、b的搭配，即只含兩個(gè)變量，若增加第三 種食物c （lkg食物c含有0. 104kg碳水化合物，0.15kg蛋白質(zhì)，0.09kg脂肪， 花費(fèi)30元），即將變量個(gè)數(shù)由兩個(gè)增加力三個(gè)，其余條件不變，那么又將如何 進(jìn)行最優(yōu)搭配，才能既符合營養(yǎng)要求，又使得花費(fèi)最低？建立模型如下

5、：解：設(shè)每天食用x權(quán)食物a，y權(quán)食物b，z權(quán)食物c，總成本為vv，0.105x4-0.105），+ 0.104z> 0.075 0.07x + 0.14）, + 0.15z 2 0.06酗束條件為，4x + 0.07 + 0.092>0.06，目標(biāo)函數(shù)為w=28x+21y+30zy>oz > 0由于作者h(yuǎn)前尚未學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系（三維）的相關(guān)知識，所以暫時(shí)無 法運(yùn)用函數(shù)知識進(jìn)行解答。如果我們使用excel軟件，是否可以求出此題的最優(yōu)解呢？1、打開excel菜單欄中“工具”選項(xiàng)菜單，單擊其中的“加載宏”命令，就可 以打開“加載宏”窗口，選中其中的“規(guī)劃求解”，單擊“確定”

6、按鈕。單元格b1:表示食物a 單元格d1:表示食物c2、在工作表中輸入上述問題的數(shù)據(jù)和限制條件，其中單元格所代表的含義如下:l abcdef 1xyz計(jì)算值條件限制2變元3目標(biāo)函數(shù)2821304條00.1050.1050.1040. 0755條:20. 070.140.150. 066條k:30.140. 070. 090. 06單元格c1:表示食物b單元格b3:表示lkg食物a的價(jià)錢單元格c3:表示lkg食物b的價(jià)錢單元格d3:表示lkg食物c的價(jià)錢單格b4:表示1kg食物a含有0. 105kg碳水化合物單元格c4:表示lkg食物b含有0.105kg碳水化合物單元格1)4:表示lkg食物c含

7、有0. 104kg多少碳水化合物單元格f4:表示日常飲食成該至少提供0. 075kg的碳水化合物單元格b5:表示lkg食物a含有0. 07蛋白質(zhì)單格c5:表示lkg食物b含有0. 14蛋白質(zhì)單元格d5:表示lkg食物c含有0.15蛋0質(zhì)單元格f5:表示日常飲食應(yīng)該至少提供0.06kg蛋白質(zhì)單元格b6:表示lkg食物a含存0. 14kg脂肪單元格c6:表示lkg食物b含有0.07kg脂肪單元格d6:表示lkg食物c含有0. 09kg脂肪單元格f6:表示日常飲食應(yīng)該至少提供0. 06kg的脂肪3、在單元格e3中輸入公式“ =$b$2祁3+$c$2*c3+$d$2和3”(該公式即為目標(biāo)函數(shù)w=28x

8、+21 y+30z )在單元格e4中輸入公式“ =$b$2祁4+$c$2*c4+$d$2祁4”(0.105x+0.105y+0.104z )在單元格e5中輸入公式“ =$b$2相5+$c$2扣5+$d$2和5”(表示 0.07x+0.14y+0.15z)在單元格e6中輸入公式“ =$b$2祁6+$c$2*c6+$d$2祁6”(表示 0.14x+0.07y+0.09z)abcdef1xyz計(jì)算值條件限制2變元3目標(biāo)函數(shù)28213004條件10.1050.1050.10400. 0755條件20.010.140旙00. 066條件30.140傲0酸00.cb74、選中單元格e3,打開“工具”菜單，

9、單擊“規(guī)劃求解”命令，彈出“規(guī)劃求 解參數(shù)”對話框，如下圖所示。在“等于”欄中選擇“最小值”，在“可變單 元格”框中輸入“$b$2: $c$2： $d$2”單擊“約束”中的“添加”按鈕，打開“添加約束”對話框，在“單元格 引用位置”框中輸入“$e$4”，在下拉式比較符列表中選擇“？，在“約束值” 框中輸入“$f$4”（表示約束條件0.105x+0.105y+0.104z2 0.075 ），如下圖所示，單 擊“添加”按鈕，類似地完成其他約束條件的輸入，gp"$e$5>$f$5"$e$6>$f$6" 最后，輸入變元非負(fù)條件“$b$2: $c$2： $d$2

10、>0"單擊“確定“按鈕，結(jié)果如下所示。點(diǎn)擊“求解“按鈕完成求解。（下圖）abcde1xyz計(jì)算值條件限制2變元0.1428570. 57142903目標(biāo)函數(shù)282130164條件10.1050.1050.1040. 0750. 0755條件20. 070.140.150. 090. 066條件30.140. 070. 090. 060. 06即當(dāng) x=0. 142857=- , y=0. 571429=1，z=0 時(shí)，w 的最小值=16 77上面我們借助excel對多變景的線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解，準(zhǔn)確又快速。當(dāng) 然如果變量個(gè)數(shù)增加，題型變化，甚至是非線性規(guī)劃問題，我們同樣可以使用

11、 excel進(jìn)行求解。!1!接下來我們利用上述方法，可以處理生活中含多個(gè)變量的線性規(guī)劃最優(yōu)化 問題：某農(nóng)場右100公頃土地及15000元資金可用于發(fā)展生產(chǎn)。農(nóng)場勞動(dòng)力情況為 秋冬季3500人口，春夏季4000人口。如勞動(dòng)力用不了時(shí)可外出干活。其凈收入 為:春夏季為2.1元/人日，秋冬季為1.8元/人日。該農(nóng)場種植三種作物：大豆、 玉米、小麥，并飼養(yǎng)奶牛和雞。種作物不需專門投資，而每頭奶牛投資400元， 每只雞投資3元。養(yǎng)奶牛時(shí)每頭需撥出1.5公頃土地種飼草，并占用人工:秋冬季 100人日，春夏季50人日，年凈收入400元/尖。養(yǎng)雞時(shí)不占土地，需人工喂每只雞秋冬季需0.6人口，春夏季0.3人口，

12、年凈收入為2元/每只雞。農(nóng)場現(xiàn)有雞舍 允許最多養(yǎng)3000只雞，牛欄允許最多養(yǎng)32頭奶牛。三種作物每年需要的人工及 收入情況如下表所示。請你決定該農(nóng)場的經(jīng)營方案，使年浄收入為最大。大豆玉米麥子秋冬季需人曰數(shù)203510春夏季需人日數(shù)507540年凈收入（元/公頃）175300120解：設(shè)大豆所需土地*,公頃，玉米所需土地x2公頃，麥子所需土地x3公頃，牛和 雞分別飼養(yǎng)和*5只，x6表示剩余的秋冬季人日，x7表示剩余的春夏季人日， 年凈收入為z元，貝ij:x, + x2 + x3 4-1 05x4 < 100400%4+3x5 <15000約束條件為:且x4、x5、x6、*7為正整數(shù)2

13、0x, + 35x2 +1 ox3 +100x4 + o.6x5 +x6 = 3500 50%j + 75x2 + 40x3 + 50x4 + o.3x5= 4000x4 < 32目標(biāo)函數(shù)為：z= 175x, +3oox2 +120x3 +400x4 +2x5 +108x6 +2.1 x7 （7 個(gè)變量）利用excel軟件進(jìn)行求解，結(jié)果如下所示：a ibicidieifigihi i1±x2x3x4x5x6數(shù)函 1 2 3 4 5 6 元標(biāo)件件件件件件 變卽奈條備條計(jì)算值條件限制751±39. 333_ 3001020210043 82 .1±0 20241

14、.391±004001±6o.1±0 70.833310075_0040503 0 1o.0010084003499.666 3999.998邏0解得：x,=0, x2=39.333，x3=0, x4=21，x5=0, x6=23，x7=0即大豆種植0公頃，玉米種植約39. 333公頃，麥子種植0公頃，飼養(yǎng)牛21只， 不飼養(yǎng)雞，秋冬剩余23人勞動(dòng)力，春夏不剩余勞動(dòng)力時(shí)，農(nóng)場的凈收入最大， 為 20241. 39 元。五、總結(jié)通過以上問題的探究，我們發(fā)現(xiàn)，在求解“有約束條件下的線性規(guī)劃最優(yōu) 解問題”時(shí)，對于只含兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題可以通過二維函數(shù)知識，作出 可行域，從而尋找出