初等幾何研究

1、1.（證明線段相等）例1:在的兩邊ab、ac上向外做正方形abef和acgh,則bc邊上的島線ad 平分fh。證明：過點f作fq丄pq，過點h作hp丄dp4:afqa 和 aadb 中zfqa = zadb = 90°< zqaf = zdba afqa = aadb 3 fq = adaf = ab在aafp和cad中zaph = zcda = 90°< zpha = zdac aahp = acad => ph = adah = ac fq = hp祚和 中zqfm = zphm< zfmq = zhmp / afqm = ahpmfq = hp

2、 fm = hm即m為fh的中點。2： c是弦ab的中點，通過c引弦pq，并在此弦兩端作圓的切線px和qy。它們交直線 ab 于 x、y。證 px=qy、ax=by。p3： ab足圓的直徑，從圓上一點c作cd丄as于d。且在a、c兩點的切線相交于e,證 明：be平分cd。證明:過點b作bf丄ab交ec于f . ea/cd/bfcm bf cf bd dm dm * 1e_ ef - ef - ab 7e "ie cm = dm即be平分cdo4：設(shè)ad、be、cf是aabc的高線，則a£>£f稱為mbc垂足三角形。證明這些高線平 分垂足三角形的內(nèi)角或外角。a

3、證叨： fcdm 共閼. zfcm = zfdm dbem a:圓zebm = zedmzfcm + zbac = zebm + zbac = 90° zfcm = zebm zfdm = zedm即ad平分zfde同理可得bf平分zdfe ,ce平分zfed即這三條髙線平分的內(nèi)角或外角。5：二闕外切于p，一圓在其上一點c的切線交另一閼于a、b。求證：pc是的外角 分線。p6：等邊三角形外接圓周上任意一點到頂點連線屮最長的等干其余兩線之和。cj證叨：延長 bp 至 c'.使 pcz = pc， zcpc' = zbac = 60° 則apcc'為等邊

4、三角形/. pc = cc' za cb + zpcb = zpcc' + zpcb zacp = zbcc'在ascr和mcp中bc = ac< zbcc' = zacpabccz = mcpccz = pcbc'=ap=pb + pc' =pb+pc7：三角形在一頂點到垂心距離二倍于外心到對邊的距h是的乖心，o是外心。0l丄bl于l，求證：ah = wl。 證明，設(shè)m，k各為ca, ch的中點，om/bh，bh/lk om/lk ol/ah/mk 四邊形olkm為t行四邊形 ah = 2mk = 20l8：三角形中大邊上的中線較小。己知

5、mfic, a/，7v,l為三邊巾點，ab>ac. 求證：bm >cn.證明：v ab> ac zacb> zabc 在和mca中 al = al, bl = bl aalb> zalc在 ab£g 和 aclg 中g(shù)l = gl，bl = blbgcg22即一腹一c7v33所以bmcn.9：從三角形頂點a向另兩角的平分線作垂線a£、af，e、f為垂足。求證ef/bc.證明：.af1fh，ae1he/. afhe四點共圓，. zfeh = zfah = zcaf-zb ac = 90 -zacb-zcab = - zabc = zebc 2 2

6、 2 2:.efubc10：三角形中大邊的高較小。已知abac，cf為高。求證b£cf。證明:- ab fc = - ac be2 2v ab>ac/. be > cf11：過圓外一點尸做切線凡4,曲的中點b作割線bcd,連pc, /v）交圓于£，廠 求證：ef/pa.ba2 =bcbdpb2 = ba2 = bc bdpb bd * bc "pspbcwdbp :.zape = zbdp zpef = zbdp zape = zpef :.feu pa12：三角形外接閥周上的任意一點到三邊（所在直線上）的射影共線。已知：aabc內(nèi)接于圓o，尸為弧上任

7、意一點，過h乍丄sc t丄/1c，丄as，x， y，z為猶足。求證：, y, z共線。p證明：ypxbz四點共圓，/. zpxz = zpbzpxyc 四點共圓，zpxy = 1 soj-zpck zpbz = zpcyzpxk + zpcy = zpxy + zpbz = apxy + apxz = 180°/. x，y,z三點共線。13定理：設(shè)mbc的三邊（所在直線）bc，g4，as分別被一直線所截，交點為jv ,z。則有bx cy xc 4azzb證明：過點c作cd/xzbx bz cy dz az az'xc - zd9 k4 - z4 ? zb zb bx cy a

8、z bz dz az t xc ya zb zd za zb14逆定理（梅氏定理）：設(shè)定三邊（所在直線）bc，ca，afi上各取一點x, y, z,滿足嘗y，z共線。證明：設(shè)xy交ab與z'則有bx cy az' icci并且h義 xc ya zb=-kz： _kl z'b zb所以x，y，z三點共線15、ptolemy：圓內(nèi)接叫邊形兩對角線乘積等于兩組對邊乘積之和。 已知45cd內(nèi)接于圓，求證= ad bc + afi.cd證叨：作=交 bda/e乂 / zabe = zacd .a4b£ 相似于 mcdab be參* ac cd. ab cd = ac b

9、e. zdae = zb ac, zacb = zade/. m££相似于mficad _fdacbc adbc = acde abcd + adbc = ac(be + de) = acbd16、兩個t移的乘積是一個t移。證明：設(shè)兩個平移為pq和qr，不妨設(shè)他們有公共點q，圖形上一點為m經(jīng)平移pq后， 得到對座圖形at,再經(jīng)qr平移后得到對應(yīng)圖形at，顯然三ap0/?，所以at可由m經(jīng)過平移pr得到17任意叫邊形中一組對邊中點的連線不大于另一組對邊和的一半。 已知m，n是ab，cd中點,求證歷<!(ad + sc)證明過 m 作 be/am，過 m 作 me/ab

10、過 c 作 cf/dm,過 m 作 fm/dc。beh fc，me = fc.n為bc的中點， e，f過點n,則四邊形becf為平行四邊形 m,n 為 amef 中線 mn< (me + af)=丄(ad + bc)18、在相等的閣形屮，與共線點對應(yīng)的是共線點，從而茛線的相等閣形是h線。f abcr a's'c已知，a，b，c共線，f與f相等,a，b，c為a，b，c的對應(yīng)點，求證八3，(3井線。 證明：a，b，c共線 /. ac = ab + bcf與f相等a ac = ab = a'b'，bc = b'c'a ac = a'c =

11、ab + bc = a'b' + b'c。19、闞的外接等腰梯形中，面積敁小滿足什么條件。2>m設(shè) ad=2x，bc=2y則 s=y2r(2x+ 2y)= 2r(x+y)>2r-2yfxy =4r2 xy = r2,所以當(dāng)x=y是達到最小。即等腰梯形足正方形是達到最小。20、在半徑為i的闥內(nèi)求最大周長的內(nèi)接矩形。解：周長為2(x + y)=2尸，p = x + y x2 + y2=4r2p2 = x2+v2 +2xv = 2xk + 4r2 因為x，y，i為正數(shù)，kx2 + y2=4r2為定值，所以，當(dāng)且僅當(dāng)x2:/2時達到最大，即x=y吋最人，所以x =

12、y =時最大。21、第一類：設(shè)一點與一定圓的距離等于圓半徑，則該點的軌跡為該岡岡心個一個半徑加倍 的同心圓的并第二類：一點與一定圓的距離等于圓半徑的軌跡是一點和一個圓的并 第三類：一點與一定圓的距離等于圓半徑的點的軌跡。22、設(shè)一點與一定圓的距離等于圓半彳2,則該點的軌跡為該圓圓心個一個半徑加倍的同心圓 的并。證明：1完備性：設(shè)p在圓0閃部，則pooa-pa=0，即p與岡心0重合，設(shè)p在圓0外部，則0p=0a+ap=2r，即p在比圓0半徑人一倍的圓上。2純粹性：首先，根據(jù)定義，點0到圓0的半徑是r，進點0合與條件，其次在圓 o (2r)上任取一點p,因為點p在岡 (r)外部，線段op必交于圓上

13、一點a,且 ap=op-oa=2r-r=i，即點 p 合于條件。3所以合乎條件的點的軌跡足點0和圓o (2r)的#集。23探求軌跡的奮效辦法概述 a描述b預(yù)測軌跡的性質(zhì)c確定軌跡上的特殊點d研究軌跡h任意點與特殊點間的關(guān)系24到兩點趾離的平方和為常朵的點的軌跡為圓。已知ma2mb2 = k2證明：完備性：探究由m的對稱性可得圓心在ab所在直線上，猜測圓心在ab的屮點, m0為中線。扁2 + mb2 = 2(ao2 + mo2)即 k2=2(4o2+a/o2).軌跡為一岡純粹性，設(shè).m在以0為圓心，以似0 = 2#4為半徑的圓上:.ma2+mb2 = k2綜上所述，結(jié)論的證。25列舉初中兒何中常

14、見的出軌作圖問題（5個） 1作角平分線 2線段的垂直分線 3三等份線段4過直線外一點作已知h線的平行線 5過直線外一點作已知直線的乖線 6作三角形的內(nèi)心，外心 7作一個角等于己知角26解作圖題的步驟1分析：遇到比較w難不知一目了然的作圖題，長假定合于已知條件的圖已經(jīng)做出，研究已 知件和作件間的關(guān)系，從而得出作圖的線索，這個過程稱為分析，是解題的重要一步 2作法：根裾分析的線索按作閣公法及已知作閣題的作閣，利用已知作閣題時，只須說明清 楚，不必將它木身的作圖過程一一道來。3證明：用以表明所作圖形確具所設(shè)條件4討論：作圖題解的有無多棼，定于不定，決定己知條件的大小，位置及其相互關(guān)系，這種 研究稱為討論。27己知三角形底邊為a，高為ha