高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.1 函數(shù)的概念 2.1.1 函數(shù)的概念名師導(dǎo)航學(xué)案 蘇教版必修1

1、2.1 函數(shù)的概念和圖象2.1.1 函數(shù)的概念名師導(dǎo)航知識(shí)梳理1.函數(shù)的概念 設(shè)a，b是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)x，在集合b中都有_的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:ab為從集合a到集合b的函數(shù)，記作y=f(x)，xa. 其中x叫_，x的取值范圍a叫做函數(shù)y=f(x)的_；與x的值相對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xa(b)叫做函數(shù)y=f(x)的_. 函數(shù)符號(hào)y=f(x)表示“y是x的函數(shù)”，有時(shí)簡(jiǎn)記作函數(shù)_.(1)函數(shù)實(shí)際上就是集合a到集合b的一個(gè)特殊對(duì)應(yīng)f:ab，這里a,b為_(kāi)的數(shù)集.(2)a：定義域； f(x)|xa：值域,其中f(x

2、)|xa_b； f：對(duì)應(yīng)法則，xa，yb.(3)函數(shù)符號(hào)：y=f(x)y是x的函數(shù)，簡(jiǎn)記f(x).2.已學(xué)函數(shù)的定義域和值域(1)一次函數(shù)f(x)=ax+b(a0):定義域?yàn)開(kāi),值域?yàn)開(kāi);(2)反比例函數(shù)f(x)=(k0):定義域?yàn)開(kāi),值域?yàn)開(kāi);(3)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0):定義域?yàn)開(kāi)， 值域：當(dāng)a>0時(shí)，為_(kāi)；當(dāng)a<0時(shí)，為_(kāi).3.函數(shù)的值：關(guān)于函數(shù)值f(a)例：f(x)=x2+3x+1,則f(2)= _.4.函數(shù)的三要素： 對(duì)應(yīng)法則f、定義域a和值域f(x)|xa. 只有當(dāng)這三要素_時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才能稱為同一函數(shù).疑難突破有關(guān)函數(shù)概念的理解剖析：(1)如果一個(gè)

3、函數(shù)需要幾條限制時(shí)，那么定義域?yàn)楦飨拗扑脁的范圍的交集.(2)求定義域的基本步驟為:根據(jù)所給函數(shù)按照基本要求列出不等式組,解不等式組即可.(3)定義域是一個(gè)集合，要用集合作答.也可寫(xiě)成區(qū)間的形式，定義域用區(qū)間表示有時(shí)顯得非常簡(jiǎn)捷.(4)隨著今后的學(xué)習(xí)，自變量x的取值范圍還可能受到一些新的限制，如對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等.(5)兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域與對(duì)應(yīng)法則分別相同時(shí)，才是同一函數(shù).(6)注意：我們可以定義一個(gè)函數(shù)f：ab，該函數(shù)的值域c并不一定等于集合b，但c一定是b的一個(gè)子集.(7)理解函數(shù)符號(hào)“y=f(x)”的含義.符號(hào)“y=f(x)”用語(yǔ)言通俗解釋為“y是x的函數(shù)”，它僅僅是抽象的、簡(jiǎn)潔

4、的函數(shù)符號(hào)，每一部分都有其特定的含義.問(wèn)題探究問(wèn)題1 高中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念和初中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念有什么異同？探究思路：初中階段的概念是這樣的：設(shè)在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù). 將自變量x取值的集合叫做函數(shù)的定義域，和自變量x的值對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域. 高中階段的概念是這樣的：設(shè)a、b是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合b中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：ab為從集合a到集合b的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，xa.其中，

5、x叫自變量，x的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xa叫做函數(shù)的值域. 兩種函數(shù)概念有以下的相同點(diǎn)：(1)兩種表示的定義域和值域完全相同；(2)對(duì)應(yīng)關(guān)系本質(zhì)上也是一樣的；(3)都是描述變量之間的依賴關(guān)系. 兩種函數(shù)概念有以下的不同點(diǎn)：(1)用集合的觀點(diǎn)說(shuō)明變量；(2)用對(duì)應(yīng)關(guān)系表示變化過(guò)程；(3)表示法的不同：初中里的表示法比較單一，在高中更全面.問(wèn)題2 對(duì)于函數(shù)f(x)=x2+2x-3，試畫(huà)出它的圖象.你能根據(jù)它的圖象畫(huà)出下列各函數(shù)的圖象嗎？你從中能總結(jié)出什么結(jié)論？(1)y=-f(x)；(2)y=f(-x)；(3)y=-f(-x)；(4)y=f

6、(|x|)；(5)y=|f(x)|；(6)y=f(x+1)；(7)y=f(x)+1.探究思路：已知函數(shù)y=f(x)，求作其圖象有兩種思路.思路一：列表描點(diǎn)法.思路二：利用函數(shù)圖象的變換去畫(huà)圖，題(1)(5)可通過(guò)對(duì)稱變換，(6)(7)可用平移變換.如下圖所示.典題精講例1 下列各題中的兩個(gè)函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)的是( )a.f(x)=x，g(x)= b.f(n)=2n+1(nz)，g(n)=2n-1(nz)c.f(x)=x-2，g(t)=t-2 d.f(x)=，g(x)=1+x思路解析 兩個(gè)函數(shù)相同必須有相同的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則.a中兩函數(shù)的值域不同；b中雖然定義域和值域都相同，但對(duì)應(yīng)法則不同

7、；c中盡管表示自變量的兩個(gè)字母不同，但兩個(gè)函數(shù)的三個(gè)要素是一致的，因此它們是同一函數(shù)；d中兩函數(shù)的定義域不同.答案:c例2 求下列函數(shù)的定義域：(1)y=2+；(2)y=·；(3)y=(x-1)0+.思路解析 給定函數(shù)時(shí)，要指明函數(shù)的定義域.對(duì)于用函數(shù)解析式表示的函數(shù)，如果沒(méi)有給出定義域，那么就認(rèn)為函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量的取值集合.因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是同時(shí)使函數(shù)解析式各部分有意義的x值的集合，所以應(yīng)取各部分的交集.解答：(1)要使函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)x-20，即x2，所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閤|xr且x2.(2)要使函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)解得1x3，所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閤|

8、xr且1x3.(3)要使函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)解得x>-1且x1，所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閤|x>-1且x1.例3 求下列函數(shù)的值域：(1)y=x2-2x-1，x0，3；(2)y=+3；(3)y=；(4)y=|x-1|+|x-2|.思路解析 求二次函數(shù)的值域一般要數(shù)形結(jié)合，先配方找出對(duì)稱軸，再考察給定區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系，利用二次函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)的單調(diào)性，求出給定區(qū)間上的最大值和最小值，即可得到函數(shù)的值域.除數(shù)形結(jié)合之外，求函數(shù)的值域的方法還有逐步求解法、判別式法、分離常數(shù)法和利用有界性等.絕對(duì)值函數(shù)通常先化為分段函數(shù).解答：(1)將原式變形，得y=(x-1)2-2，此函數(shù)的對(duì)稱軸為x=

9、1，由于x0，3，當(dāng)x=1時(shí)，y有最小值-2.根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性知，x=3比x=1的值要大，當(dāng)x=3時(shí)，y有最大值2.這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)?2，2.(2)易知x2，0.y=+33.這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)?，+.(逐步求解法)(3)先分離常數(shù)，y=. 解法一：(逐步求解法)x2+11，01.11-2.y-2，1).解法二：(判別式法)兩邊同乘以x2+1并移項(xiàng)，得(y-1)x2+y+2=0，又由可知y1，=-4(y-1)(y+2)0.y-2，1).解法三：(利用有界性)y1，易得x2=.又x20，0.y-2，1).(4)原函數(shù)可化為y=由下圖可知y1，+).例4 下圖是一個(gè)電子元件在處理數(shù)據(jù)時(shí)的流程圖：(1)

10、試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求f(-3)、f(1)的值；(3)若f(x)=16，求x的值；思路解析 本題是一個(gè)分段函數(shù)問(wèn)題，當(dāng)輸入值x1時(shí)，先將輸入值x加2再平方得輸出值y；當(dāng)輸入值x1時(shí)，則先將輸入值x平方再加2得輸出值y.解答：(1)y=(2)f(-3)=(-3)2+2=11；f(1)=(1+2)2=9.(3)若x1，則(x+2)2=16，解得x=2或x=-6(舍).若x1，則x2+2=16，解得x=(舍)或x=-.綜上可得x=2或x=-.例5 已知函數(shù)y=f(2x-1)的定義域?yàn)?1，1，求函數(shù)y=f(x-2)的定義域.思路解析 求函數(shù)y=f(x-2)的定義域，是求式子x-2中x的范

11、圍.這里決不能將前后兩個(gè)x看成是相等的量，但是2x-1與x-2都是對(duì)應(yīng)法則f的作用對(duì)象，因此，這兩個(gè)代數(shù)式的范圍是一致的.解答：設(shè)t=2x-1，-1x1，-32x-11，即函數(shù)y=f(t)的定義域?yàn)閠-3，1.再設(shè)x-2=t，則-3x-21，-1x3.函數(shù)y=f(x-2)的定義域?yàn)?1，3.知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.函數(shù)的三要素 構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域a，對(duì)應(yīng)法則f，值域b. 其中核心是對(duì)應(yīng)法則f，它是聯(lián)系x和y的紐帶，是對(duì)應(yīng)得以實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵，對(duì)應(yīng)法則可以由多種形式給出，可以是解析法，可以是列表法和圖象法，不管是哪種形式，都必須是確定的，且使集合a中的每一個(gè)元素在b中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng).當(dāng)一個(gè)函數(shù)的定義

12、域和對(duì)應(yīng)法則確定之后，值域也就唯一的確定了，所以值域是定義域這個(gè)“原材料”通過(guò)對(duì)應(yīng)法則“加工”而成的“產(chǎn)品”.因此，要確定一個(gè)函數(shù)，只要定義域與對(duì)應(yīng)法則確定即可.2.函數(shù)的圖象 所謂函數(shù)y=f(x)的圖象，就是將自變量的一個(gè)值x0作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x0)作為縱坐標(biāo)，就得到坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)(x0，f(x0).當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域a中的每一個(gè)值時(shí)，就得到一系列這樣的點(diǎn).所有這些點(diǎn)組成的集合(點(diǎn)集)為(x0，f(x0)|xa，即(x，y)|y=f(x)，xa，所有這些點(diǎn)組成的圖形就是函數(shù)y=f(x)的圖象. 函數(shù)的圖象是數(shù)形結(jié)合應(yīng)用的典范. 函數(shù)圖象是函數(shù)關(guān)系的一種表示方法，它能夠也必

13、須把函數(shù)的三要素全面而直觀地反映出來(lái)，它是研究函數(shù)關(guān)系、性質(zhì)的重要工具. 函數(shù)圖象是函數(shù)部分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法的基礎(chǔ).函數(shù)圖象部分應(yīng)解決好畫(huà)圖、識(shí)圖、用圖這三個(gè)基本問(wèn)題，即對(duì)函數(shù)的圖象有三點(diǎn)要求：(1)會(huì)畫(huà)各種簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象；(2)能以函數(shù)的圖象識(shí)別相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)；(3)能用數(shù)形結(jié)合思想以圖輔助解題.疑難導(dǎo)析1.兩個(gè)函數(shù)相同的充要條件是它們的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同，例如函數(shù)f(x)=x，與f(x)=x2是同一個(gè)函數(shù).2.函數(shù)的核心是對(duì)應(yīng)關(guān)系.在函數(shù)符號(hào)y=f(x)中，f是表示函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，等式y(tǒng)=f(x)表明，對(duì)于定義域中的任意x，在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下，可得到y(tǒng)，因此，f是使“對(duì)應(yīng)”得以

14、實(shí)現(xiàn)的方法和途徑. 函數(shù)符號(hào)y=f(x)是“y是x的函數(shù)”這句話的數(shù)學(xué)表示，它不表示“y等于f與x的乘積”.f(x)可以是解析式，也可以是圖象或數(shù)表.符號(hào)f(a)與f(x)既有區(qū)別又有聯(lián)系.f(a)表示當(dāng)自變量x=a時(shí)函數(shù)f(x)的值，是一個(gè)常量；而f(x)是自變量x的函數(shù)，在一般情況下，它是一個(gè)變量.f(a)是f(x)的一個(gè)特殊值.3.值域是全體函數(shù)值所組成的集合.在多數(shù)情況下，一旦定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定，函數(shù)的值域也就隨之確定.問(wèn)題導(dǎo)思 關(guān)于函數(shù)的兩個(gè)定義實(shí)質(zhì)上是一致的.初中定義的出發(fā)點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，而高中定義卻是從集合、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)出發(fā). 初中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念的優(yōu)點(diǎn)是直觀、生動(dòng). 高

15、中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念的優(yōu)點(diǎn)：更具一般性.比如按初中的定義就很難判斷下面的表達(dá)式是不是函數(shù)： 現(xiàn)在用高中學(xué)的函數(shù)概念來(lái)判斷則是沒(méi)有問(wèn)題的.事實(shí)上，在判斷兩個(gè)函數(shù)是不是同一個(gè)函數(shù)時(shí)，只要定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，則必為同一函數(shù)，還有一點(diǎn)，如果三者中有一個(gè)不同，則必不是同一函數(shù). 根據(jù)這組函數(shù)圖象可得到如下結(jié)論：(1)函數(shù)y=-f(x)的圖象與y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；(2)函數(shù)y=f(-x)的圖象與y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；(3)函數(shù)y=-f(-x)的圖象與y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0，0)對(duì)稱；(4)函數(shù)y=f(|x|)=即在y軸上及其右側(cè)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象相同，再將y軸

16、右側(cè)的圖象作關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象可得x0時(shí)的圖象；(5)函數(shù)y=|f(x)|= 即在x軸上及其上方的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象相同，再將x軸下方的圖象作關(guān)于x軸的對(duì)稱圖象可得f(x)0時(shí)的圖象；(6)函數(shù)y=f(x1)的圖象是將y=f(x)的圖象向左平移一個(gè)單位得到的；(7)函數(shù)y=f(x)1的圖象是將y=f(x)的圖象向上平移一個(gè)單位得到的. 在函數(shù)圖象平移時(shí)，記住一個(gè)口訣：“平移變換，左加右減.”左是往左平移，指的是圖象往左平移幾個(gè)單位，則函數(shù)解析式的自變量要加幾個(gè)單位；右是往右平移，指的是圖象往右平移幾個(gè)單位，解析式的自變量要減去幾個(gè)單位.典題導(dǎo)考綠色通道 給定兩個(gè)函數(shù)，要判斷它們是否是

17、同一函數(shù)，主要看兩個(gè)方面：一看定義域是否相同；二看對(duì)應(yīng)法則是否一致.只有當(dāng)兩函數(shù)的定義域相同且對(duì)應(yīng)法則完全一致時(shí)，兩函數(shù)才可稱為同一函數(shù).若判斷兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)，只要三者中有一者不同即可判斷不是同一個(gè)函數(shù).典題變式 下列四對(duì)函數(shù)中表示同一函數(shù)的是( )a.f(x)=x，g(x)=()2 b.f(x)=x，g(x)=c.f(x)=x，g(x)= d.f(x)=，g(x)=x+2答案:c綠色通道 一般地，求函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合：(1)解析式是整式的函數(shù)，其定義域?yàn)閞；(2)解析式是分式的函數(shù)，其定義域?yàn)槭狗帜覆粸榱愕膶?shí)數(shù)的集合；(3)解析式是偶次根式的函數(shù)

18、，其定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)的集合；(4)如果解析式是由實(shí)際問(wèn)題得出的，則其定義域不僅是要使實(shí)際問(wèn)題有意義，還必須是使函數(shù)解析式有意義的實(shí)數(shù)的集合；(5)求函數(shù)的定義域的步驟通常是先根據(jù)題意列不等式(組)，后解不等式(組)，而后得出結(jié)論.典題變式 已知函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)閒，g(x)=的定義域?yàn)間，那么集合f、g的關(guān)系是( )a.f=g b.fg c.gf d.fg=g答案:c綠色通道 求值域一定要注意定義域的限制，一定要在定義域的范圍內(nèi)求函數(shù)的值域.當(dāng)然，求值域一定要根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)確定.如果我們抓住了這些解決問(wèn)題的關(guān)鍵，求這類問(wèn)題就能得心應(yīng)手.典題變式1.函數(shù)y=的值域?yàn)開(kāi).答案:1，+)2.求下列函數(shù)的值域:(1)y=；(2)y=2x-；(3)y=；(4)y=|x+1|+|x-2|.答案:(1)0,3；(2)y|y；(3)r；(4)3,+）.3.設(shè)a=1,b(b>0)，函數(shù)f(x)=(x-1)2+1，當(dāng)xa時(shí)，f(x)的值域也是a，試求b的值.答案:b=3.綠色通道 通過(guò)實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)并能簡(jiǎn)單應(yīng)用是新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求.對(duì)于分段函數(shù)來(lái)說(shuō)，給定自變量求函數(shù)值時(shí)，應(yīng)根據(jù)