空間曲線及其方程(44)課件

1、1第四節(jié)第四節(jié) 空間曲線及其方程空間曲線及其方程教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容 1 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 2 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程 3 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影本節(jié)考研要求本節(jié)考研要求 1 了解空間曲線的概念，了解空間曲線的參數(shù)了解空間曲線的概念，了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的方程和一般方程，了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會求其方程。投影，并會求其方程。第八章 第四節(jié)2一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組其一般方程為方程組0),(0),(z

2、yxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如, ,方程組方程組632122zxyx表示圓柱面與平面的交線表示圓柱面與平面的交線 C. xzy1oC2第八章 第四節(jié)3又如又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線表示上半球面與圓柱面的交線C. 022222xayxyxazyxzao 特點(diǎn)：特點(diǎn)：曲線上的點(diǎn)都滿足曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時滿足兩個方程不能同時滿足兩個方程.第八章 第四節(jié)4例例1 1 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，

3、表示圓柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交線為橢圓交線為橢圓.第八章 第四節(jié)5例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圓柱面圓柱面,交線如圖交線如圖.第八章 第四節(jié)6 )()()(tzztyytxx 當(dāng)當(dāng)給給定定1tt 時時，就就得得到到曲曲線線上上的的一一個個點(diǎn)點(diǎn)),(111zyx，隨隨著著參參數(shù)數(shù)的的變變化化可可得得到到曲曲線線上上的的全全部部點(diǎn)點(diǎn).空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程第八章 第四

4、節(jié)7 動點(diǎn)從動點(diǎn)從A點(diǎn)出點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過發(fā)，經(jīng)過t時間，運(yùn)動到時間，運(yùn)動到M點(diǎn)點(diǎn) A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程取時間取時間t為參數(shù)，為參數(shù)，解解xyzo第八章 第四節(jié)8螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為 bzayaxsincos),( vbt 螺旋線的重要螺旋線的重要性質(zhì)性質(zhì)：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 第八章 第四節(jié)9例例1. 將下列曲線化為參數(shù)方程表示將下列曲線化為參數(shù)

5、方程表示:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù) , txcostysin)cos26(31tz(2) 將第二方程變形為將第二方程變形為,)(42222aayx故所求為故所求為得所求為得所求為:txaacos22tyasin2tazcos2121)20(t)20(t第八章 第四節(jié)10例例2. 求空間曲線求空間曲線 :)(tx)(ty)(tz)( t繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)時的旋轉(zhuǎn)曲面方程時的旋轉(zhuǎn)曲面方程 .解解:,)(, )(, )(1tttM任取點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn) M1繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn), 轉(zhuǎn)過角度轉(zhuǎn)過角度 后到點(diǎn)后到點(diǎn)

6、, ),(zyxM則則cos)()(22ttxsin)()(22tty)(tz20t這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程 . 第八章 第四節(jié)11例如例如, 直線直線1xty tz2繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為 cos12txsin12tytz220t消去消去 t 和和 , 得得旋轉(zhuǎn)曲面方程為旋轉(zhuǎn)曲面方程為4)(4222zyxxzoy第八章 第四節(jié)12繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面曲面 ( 即球面即球面 ) 方程為方程為 :又如又如, xoz 面上的半圓周面上的半圓周sinax 0ycosaz cossinax sinsinay co

7、saz )0(200說明說明: 一般曲面的參數(shù)方程含兩個參數(shù)一般曲面的參數(shù)方程含兩個參數(shù) , 形如形如),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 第八章 第四節(jié)13 給定空間曲線給定空間曲線 C ，稱以，稱以 C 為準(zhǔn)線、母線為準(zhǔn)線、母線/ z 軸的柱軸的柱面為面為 C 關(guān)于關(guān)于 xOy 面的面的投影柱面投影柱面，此柱面與，此柱面與 xOy 面的面的交線為交線為 C 在在xOy面上的面上的投影（曲線）投影（曲線）。三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第八章 第四節(jié)14 0),(0),(zyxGzyxF0),( yxH投影曲線投影曲線 的求法：的求法：1、設(shè)、設(shè) C

8、 ：面面的的方方程程聯(lián)聯(lián)立立與與 xOy 00),(zyxH上上。面面的的投投影影曲曲線線在在此此曲曲線線關(guān)關(guān)于于 xOyC上上。面面的的投投影影柱柱面面在在此此柱柱面面關(guān)關(guān)于于 xOy得得，消去消去 z第八章 第四節(jié)15如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面第八章 第四節(jié)16類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲線投影曲線,yoz面上的面上的投影曲線投影曲線,xoz第八章 第四節(jié)17zyxC1o例如例如, ,在在xoy 面上的投影曲

9、線方程為：面上的投影曲線方程為：002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxC第八章 第四節(jié)18例例4 4 求曲線求曲線 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去變量）消去變量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy,04322 zyx第八章 第四節(jié)19所以在所以在 面上的投影為線段面上的投影為線段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也為線段面上的投影也為線段.yoz.23|,021 yxz（2）因?yàn)榍€在平面）因?yàn)榍€在平面 上，上，21 z第八章 第四節(jié)20例例5 5 求求拋拋物物面面xz

10、y 22與與平平面面 02 zyx 的的截截線線在在三三個個坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的投投影影曲曲線線方方程程.截線方程為截線方程為 0222zyxxzy解解如圖如圖,第八章 第四節(jié)21（2）消消去去y得得投投影影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx第八章 第四節(jié)22例例6.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在錐面所圍成錐面所圍成和和由上半球面由上半球面設(shè)一個立體設(shè)一個立體xoyyxzyxz 解解半球面和錐面的交線為半球面和錐面的交線為 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去第八章 第四節(jié)23面面上上的的投投影影為為在在則則交交線線xoyC . 0, 122zyx一個圓一個圓,面面上上