2021版高中數(shù)學第二章數(shù)列2.2.2等差數(shù)列的前n項和(二)學案新人教B版必修5

1、222等差數(shù)列的前n項和(二)【學習目標】1.進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式.2.會解等差數(shù)列前n項和的最值問題.3.理解an與S的關(guān)系，能根據(jù)S求an.問題導(dǎo)學知識點一數(shù)列中an與S的關(guān)系思考數(shù)列an的前n項和S= n2,怎樣求a,an?梳理 對任意數(shù)列an, S與an的關(guān)系可以表示為 1 ,an = n?2, n N+知識點二等差數(shù)列前n項和的最值d 2思考 我們已經(jīng)知道當公差 d0時，等差數(shù)列前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù) S =刃+ (a 弓門，類比二次函數(shù)的最值情況，等差數(shù)列的S何時有最大值？何時有最小值？梳理 等差數(shù)列前n項和的最值與S的單調(diào)性有關(guān).(1)假設(shè)ai>

2、;0, d<0,那么數(shù)列的前面假設(shè)干項為正項 (或0)，所以將這些項相加即得S的最大值. 假設(shè)ai<0, d>0,那么數(shù)列的前面假設(shè)干項為負項 (或0)，所以將這些項相加即得S的最小值.(3) 假設(shè)ai>0, d>0,那么Sn是遞增數(shù)列，S是Sn的最小值.(4) 假設(shè)ai<0, d<0,那么Sn是遞減數(shù)列，S是Sn的最大值.囪題型探究類型一數(shù)列an的前n項和S求an2 1例1數(shù)列an的前n項和為S= n2+空門，求這個數(shù)列的通項公式. 這個數(shù)列是等差數(shù)列 嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？引申探究2 1例1中前n項和改為S = n+2n+ 1，求通

3、項公式.反思與感悟 前n項和Sn求通項an,先由n= 1時，a1 = S求得a1，再由n?2時，an=Sn- Sn- 1求得少，最后驗證是否符合少，假設(shè)符合那么統(tǒng)一用一個解析式表示.跟蹤訓(xùn)練1數(shù)列an的前n項和Sn= 3n,求an.類型二等差數(shù)列前n項和的最值例2等差數(shù)列5,4 2, 34，的前n項和為Sn,求使得Sn最大的序號n的值. 反思與感悟 在等差數(shù)列中，求 S的最大小值，其思路是找出某一項，使這項及它前面的 項皆取正 負值或零，而它后面的各項皆取負 正值，那么從第 1項起到該項的各項的和為最 大小由于S為關(guān)于n的二次函數(shù)，也可借助二次函數(shù)的圖象或性質(zhì)求解.跟蹤訓(xùn)練2 在等差數(shù)列an中

4、，a = 2n14,試用兩種方法求該數(shù)列前 n項和S的最小值.類型三 求等差數(shù)列前 n 項的絕對值之和 例 3 假設(shè)等差數(shù)列an的首項 ai = 13, d= 4,記 Tn= | ai| +1 a?| + | an|，求 Tn.反思與感悟 求等差數(shù)列an前n項的絕對值之和，根據(jù)絕對值的意義，應(yīng)首先分清這個數(shù) 列的哪些項是負的，哪些項是非負的，然后再分段求出前n項的絕對值之和.2跟蹤訓(xùn)練3 數(shù)列an中，n +10n,數(shù)列bn的每一項都滿足 6= |釧,求數(shù)列bn 的前n項和Tn的表達式.已當堂訓(xùn)練1數(shù)列an的前n項和S= n2+ n,貝U an等于()A. 4n 2B. n2C. 2n+ 1D.

5、 2n2 .數(shù)列an為等差數(shù)列，它的前 n項和為S,假設(shè)S= (n+1)2 +入，那么入的值是()A. 2B. 1C. 0D. 13 .首項為正數(shù)的等差數(shù)列，前 n項和為S,且S= S,當n =時，S取到最大值.4.數(shù)列an的前n項和S= 3 + 2n，求an.1一規(guī)律與方法 ,1 .因為an= S Si只有n?2時才有意義，所以由 S求通項公式an= f (n)時，要分n= 1和 n>2兩種情況分別計算，然后驗證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示，假設(shè)不能，那么用分段函數(shù)的形式表示2求等差數(shù)列前 n 項和最值的方法：(1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)的最值方法來求其前n項和的最值，但要注意 n

6、N+,次函數(shù)圖象的對稱性來確定 n 的值，更加直觀an?0 ,anW 0, 通項法：當ai>0, d<0,時，S取得最大值；當 aivo, d>0,an+ 1W0an+ 1?0S取得最小值.結(jié)合二時,3 求等差數(shù)列an前n項的絕對值之和，關(guān)鍵是找到數(shù)列 an的正負項的分界點.合案精析問題導(dǎo)學知識點一思考 ai = S = 1 ；當 n?2 時，an= S1 S1 i =(n 1) 2= 2n 1,又n= 1時也適合上式，所以= 2n 1，n N+.梳理 S S Si-1知識點二思考 由二次函數(shù)的性質(zhì)可以得出：當av0, d>0時，$先減后增，有最小值；當a1>0,

7、d<0時，S先增后減，有最大值；且 n取最接近對稱軸的正整數(shù)時，S取到最值.題型探究類型一例 1 解 根據(jù) Sn= a1 + a2+ an1+ an可知 Sn1 = a1 + a2+ an 1(n>1, n N+),2 1 2 1 1當 n>1 時，an = Si Si1 = n + n ( n 1) + 2(n 1) = 2n2，2 13當n = 1時，a1 = S= 1 + x 1 =，也滿足式.1數(shù)列an的通項公式為an = 2n .3故數(shù)列 an是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列.引申探究解 當n?2時，an = Sn S 12 1 2 1 1=(n2 + 2n+ 1)

8、 ( n 1)2+n 1) +1 = 2n215當n= 1時，a1 = S= 1 + 2 + 1 =孑，不符合式.an =12n 2，n?2, n N+.跟蹤訓(xùn)練1an =n 12 3,n?2, n N+.類型一二例2解方法-一由題意知，等差數(shù)列nn 15所以S= 5n +2-7515 2,1 125存n 巧1 563,n= 1,所以當n取與5,4#, 3?,的公差為一7,152最接近的整數(shù)即7或8時，S取得最大值.方法二an= ai + (n 1) d5=5 + (n 1) x 7540=7n+ 7.人 540門令 an= ?n+ w0,解得 n?8,且 a?= 0, a9<0.故前n

9、項和是從第9項開始減小，而第 8項為0,所以前7項或前8項和最大.跟蹤訓(xùn)練2解方法一T an= 2n 14, a1= 12, d= 2.a1<a2< <a6<a7= 0<a8<a9< .當n= 6或n= 7時，S取到最小值.易求 S6= S= 42,( S) min= 42.方法二/ an = 2n 14,- a1 = 12.Sn =a1 + an22=n 13n13 2169n 7當n= 6或n= 7時，S最小,且(S) min= 42.類型三 例 3 解 T ai = 13, d = 4, an= 17- 4n.當 nW4 時，Tn= | ai| + | a2| + | an|=ai + a?+ ann n 1=n ai +dn n 1=13n+x( 4)=15n 2n2；當 n時，Tn= | ai| + | a2| + | an|=(ai + a2 + a3 + a4) (a5 + ae+ an)=S (S S) = 2S Sn=2X一仝(15 n 2n2)2=2n 15n+