等比數(shù)列的概念和通項公式[001]正式版

1、聽課隨筆q表示(qw 0),即:注:1 從第二項起”數(shù)q(1)(2)(3)【解】(1)第9課時等比數(shù)列的概念和通項公式 【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】知識網(wǎng)絡(luò)T定義1 pl斯陽7I等上映列I-1通項公式I-IWI學(xué)習(xí)要求|i.體會等比數(shù)列是用來刻畫一類離散 現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，理解等比數(shù)列的概 念，2 .類比等差數(shù)列的通項公式，探索發(fā) 現(xiàn)等比數(shù)列的通項公式，掌握求等比數(shù)列 通項公式的方法，3 .掌握等比數(shù)列的通項公式，并能運用公式解決一些簡單的實際問題 .【自學(xué)評價】1.等比數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第 _ 二項起,每一項與它的前一項的比等于同一 不蔻，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.后7 常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比

2、；公比通常用字母an ,、=q (qw0) *an J與“前一項”之比為常 an 成等比數(shù)列u如1 =q ( n w N +q anW0)2"隱含：任一項an ¥0且q #03由q= 1時，an為常數(shù)列.2 .等比數(shù)列的通項公式 an =a1 qn(ai q -0)/on -m an =am q (a1 q ;0)3 .既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列.4 .等比中項的定義：如果 a、G、b成等比數(shù)列，那么 G叫做a與b的等比中項.且G2 = ac5 .證明數(shù)列an為等比數(shù)列：定義：證明亙土 =常數(shù)，an中項性質(zhì)：a2+ =2門電或亙土 =免-"； anan

3、 1【精典范例】【例1】判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列：1 , 1 , 1 , 1 , 1 ；0 , 1 , 2 , 4 , 8 ;11111_1 , , , , .2 4816所給數(shù)列是首項為1 ,公比為1的等比數(shù)列.(2)因為0不能作除數(shù)，所以這個數(shù)列不是等比數(shù)列.(3 )所給數(shù)列是首項為1 ,公比為 的2等比數(shù)列.【例2】求出下列等比數(shù)列中的未知項：(1) 2, a, 8;(2)-4, b , c, .2【解】(1 )根據(jù)題意，得82 = £，所以a = 4或a = - 4 .(2 ) 根據(jù)題意，得b _ c 4 =力*< 12 _ cT=解得/ = 2,=T所以 b = 2

4、 , c = 1 .【例3】在等比數(shù)列an中,(1 )已知 a i = 3, q=2,求 a 6； (2)已知 a 3 = 20, a 6 = 160,求 a n. 【解】(1 )由等比數(shù)列的通項公式，得斯=3 X <- 2)11 1 =- 96,(2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q ,那么 I idiQ2 = 20, )口】/ = 160.所以afJ =1 = 5 X 2>r 1,【例4】在243和3中間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)成等比數(shù)列.【解】設(shè)插入的三個數(shù)為 a2 , a3, a4 ,由 題意知243, a2, a3, a4，3成等比數(shù)列. 設(shè)公比為q,則解得7 =土因此，所求三個數(shù)為8

5、 1 , 2 7, 9 , 或8 1, 2 7, 9 .追蹤訓(xùn)練一'1.求下列等比數(shù)列的公比、第5項和第n 項：an 1103(n 1) 5(1) 2, 6, 18, 5 4,;(2)(3)142856R), ；39270.3 , 0.09 , 0.027 , 0.0081 ,an一 103n 5=1000.數(shù)列 an是公比為1000的等比數(shù)列.【點評】 若 an是等差數(shù)列，bn = ban可 以證明數(shù)列 0為等比數(shù)列，反之若 an 為等比數(shù)列且an>0,則可證明lgan為等 差數(shù)列.追蹤訓(xùn)練二1.在等比數(shù)列 an中，a3 , a4 , a5 = 3, a6 , a7 '

6、a8= 24,則 a§ , a10 an 的值等于(D ) A.48B.72C.144D.192(4) 5, 5c卡2c 1 3c 1 .5, 5,【答案】 q =3,a5 =162,an =2 3n21122 nJ(2) q = ,a5, an = 7 ()3813q =-0.3, a5 =0.00243, an =(-1)nJ 0.3n(4) q=5c,a5 =54c!,an =5nc，12. 數(shù)列 m,m,m,m, ( C )A. 一定是等比數(shù)列B.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列C. 一定是等差數(shù)列不一定是等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列3.已知數(shù)列an是公比qw 土 1的

7、等比數(shù)列,一，a人在 an+an+1, an+1 an , nan這四an 1個數(shù)列中，是等比數(shù)列的有(C )A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【選修延伸】【例5】成等差數(shù)列的三個正數(shù)之和為 15, 若這三個數(shù)分別加上 1, 3, 9后又成等比數(shù) 列，求這三個數(shù).【解】設(shè)這三個數(shù)分別為 a -d,a,a d'；(a -d) a (a d) =15解得a -5,這三個數(shù)為5-d,5,5 +d故由題意又可得(5 3)2 =(5-d 1)(5 d 9)解得d =2或 = -10(舍去),這三個數(shù)為3, 5,7【例6】已知數(shù)列 an滿足：lgan=3n + 5, 試用定義證明 an是等比數(shù)

8、列.【證明】由 lgan=3n+5,得 an= 103n+52 .在等比數(shù)列中，已知首項為-,末項為183,2 -公比為± ,則項數(shù)n等于 4.33 .已知等比數(shù)列an的公比q=1，則3a1 +a3 +a5 +a70=._- 3_.a2 + a4 + a6 + a84,已知數(shù)列 an為等比數(shù)列，(1)若 an>0,且 a2a4 + 2a3a5 + a4a6= 25,求 a3+ a5.(2)a1 + a2 + a3= 7, a1a2a3= 8,求 an.m(1)由已知 an>0,且 a2a4+2a3a5+a4a6= 25知 a12q4+2a12q6+a12q8= 25即 a

9、12q4(1 + q2)2= 251- aq2(1 + q2)= 5因此 a3+a5 = a1q2 + aq4= aq2(1+q2)= 5(2)由已知 a1 + a2 + a3 = 7 , a1a2a3 = 8 知2a1 +a1q + a1q =73 3 C。q =8司(1 +q +q2) =7 a1q =2得 1 q q2q1=7 即 2q2-5q+ 2= 02一q = 2 耿 q =/ 2學(xué)強胱2日 時，a1= 4.f, a1 = 1an=23 nan= 2n 1 當(dāng) q=教師釋疑學(xué)習(xí)不是一朝一夕的事情，需要平時積累，需要平時的勤學(xué)苦練。有個故事：古希臘大哲學(xué)家蘇格拉底在開學(xué)第一天對他的學(xué)

10、生們說： “今天你們只學(xué)一件最簡單也是最容易的事兒。每人把胳膊盡量往前甩，然后再盡量往后甩。 ”說著，蘇格拉底示范做了一遍， “從今天開始，每天做 300 下，大家能做到嗎？”學(xué)生們都笑了，這么簡單的事，有什么做不到的？過了一個月，蘇格拉底問學(xué)生：每天甩手 300 下，哪個同學(xué)堅持了，有90的學(xué)生驕傲的舉起了手，又過了一個月，蘇格拉底又問，這回，堅持下來的學(xué)生只剩下了80。一年過后， 蘇格拉底再一次問大家： “ 請告訴我， 最簡單的甩手運動。 還有哪幾個同學(xué)堅持了？”這時，整個教室里，只有一個人舉起了手，這個學(xué)生就是后來成為古希臘另一位大哲學(xué)家的柏拉圖。同學(xué)們，柏拉圖之所以能成為大哲學(xué)家，其中

11、一個重要原因，就是，柏拉圖有一種持之以恒的優(yōu)秀品質(zhì)。要想成就一番事業(yè)，必須有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能夠感動天帝，移走太行、王屋二山。正是因為他具有鍥而不舍的精神。戎馬一生，他前十次革命均告失敗，但他百折不撓，終于在第十一次革命的時候，推翻了清王朝的統(tǒng)治，建立了中華民國。這些故事，情節(jié)不同，但意義都是一樣的，它告訴無們，做事要有恒心。旬子講： “鍥而不舍，朽木不折；鍥而舍之，金石可鏤。 ”這句話充分說明了一個人如果有恒心，一些困難的事情便可以做到，沒有恒心，再簡單的事也做不成。學(xué)習(xí)是一條慢長而艱苦的道路，不能靠一時激情，也不是熬幾天幾夜就能學(xué)好的，必須養(yǎng)成平時努力學(xué)

12、習(xí)的習(xí)慣。所以我說：學(xué)習(xí)貴在堅持！ 當(dāng)下市面上關(guān)于教授學(xué)習(xí)方法的書籍不少，其所載內(nèi)容也的確很有道理，然而當(dāng)讀者實際應(yīng)用時，很多看似實用的方法用來效果卻并不明顯，之后的結(jié)果無非是兩種：要么認為自己沒有掌握其精髓要領(lǐng)，要么抱怨那本書的華而不實，但最終肯定還是會回歸到當(dāng)初的原點。這本學(xué)會學(xué)習(xí)在一開始并沒有急于兜售自己的方法，而是通過測試讓讀者真正了解自己，從而找到適合自己思維方式的學(xué)習(xí)方法，書的第一部分就是左腦還是右腦思維測試和視覺、聽覺和動覺學(xué)習(xí)模式測試，經(jīng)過有效分類后，針對不同讀者對不同思考和接收接受學(xué)習(xí)的特點，有針對性的分別給出建議，從而不斷強化自己的優(yōu)勢。在其后書中的所有介紹具體學(xué)習(xí)方法章節(jié)

13、的最開始，都是按照不同學(xué)習(xí)模式給出各種學(xué)習(xí)方法不同的建議，這是此書區(qū)別于其他學(xué)習(xí)方法類書籍的最大特點，這種“因材施教”的方式能讓讀者有種豁然開朗的感覺，除了能夠得到最適合自己的有效的學(xué)習(xí)方法也能更深入的認識客觀的自己，不論對學(xué)習(xí)還是生活都有幫助。除了“針對性”強外，本書第二大特點就是“全面” ，全書都是由一篇篇短文、圖表集成，更像是一本博文或者 PPT 課件合集，每個學(xué)習(xí)方法的題目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章節(jié)內(nèi)容安排的比較混亂，所幸每一章節(jié)關(guān)聯(lián)性并不太強，每個章節(jié)都適合獨立檢索來閱讀學(xué)習(xí)。其內(nèi)容從“時間規(guī)劃” 、 “筆記” “閱讀”直到“考試”幾乎涉及了所有學(xué)習(xí)中的常遇問題，文中文字

14、精煉沒有過分的渲染，完全是純純的“干貨” ，可以設(shè)身處地的想象：當(dāng)自己面對學(xué)海之中手足無措之時，長篇大論的方法肯定會無心查看，明了的編排，讓人從目錄中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文盡可能在最少的時間讓讀者得到最有用的信息，是一部值得學(xué)習(xí)的人們不斷自我提高的有力武器。曾經(jīng)看到一個有意思的心理測試:用“正確的方法”、 “錯誤的方法” 和“積極的行為” 、 “消極的行為”來自由搭配，看如何搭配出最好和最壞的結(jié)果， “正確方法”配合“積極的行為”無疑是最好的結(jié)果，然而我們會很“慣性”想當(dāng)然的認為， “錯誤的方法”和“消極的行為”搭配是最壞的結(jié)果，其實“錯誤的方法”加上“積極的行為”才是最壞的

15、結(jié)果，這會讓人在錯誤的路上越走越遠，學(xué)習(xí)也是同理，一味鉆牛角尖般的生搬硬套不適合自己的方法不論多努力都只會離成功越來越遠，而好的學(xué)習(xí)方法加上積極的學(xué)習(xí)態(tài)度無疑會讓你如虎添翼。這是每個人都需要的，起碼在學(xué)生的時候如果遇到，或者人生會少一些遺憾，我只恨我遇見的晚了點，可是現(xiàn)在已是終身學(xué)習(xí)的年代，錯過了最恰當(dāng)?shù)臅r候，但只要有心又怎會嫌晚呢？本書歸類為學(xué)習(xí)方法 - 青年讀物，是本工具書，學(xué)習(xí)手冊，但不能阻止她成為經(jīng)典。這本書的副標(biāo)題為“增加學(xué)習(xí)技能與腦力” ，正是本書的宗旨，本書系統(tǒng)化地闡述了學(xué)習(xí)技能提升的各個方面，可謂事無巨細的令人發(fā)指啊。整體來講主要包括 7 個方面，分別是學(xué)習(xí)模式，時間管理和學(xué)習(xí)

16、技巧規(guī)劃，筆記記錄技巧，閱讀技巧，記憶，應(yīng)試技巧，拾遺。全書的結(jié)構(gòu)采取的是總分的形式，前三個方面是總的部分，算是增加學(xué)習(xí)技能的準(zhǔn)備，從認識自己的學(xué)習(xí)模式開始，然后采取任何事都需要的時間管理技巧，再總體地講一下學(xué)習(xí)技巧規(guī)劃的事項。然后底下是分的部分，將學(xué)習(xí)的包含的各個方面的技巧進行分開闡述，分別有筆記記錄，閱讀，記憶，應(yīng)試以及最后的拾遺。系統(tǒng)地講述了學(xué)習(xí)的幾乎所有方面。讓讀到她的人如果實踐的話不僅能在學(xué)習(xí)上得到提高，在腦力上或者說理解力上肯定會受益匪淺。在此，說句題外話，我一直覺得日本人寫書在細節(jié)上做的是無與倫比的，但是這本書讓我對這個看法有了一定的動搖，因為她里面的講述部分讓我覺得美國是個應(yīng)試

17、教育的國家嗎，簡直比我們中國還要應(yīng)試。那個考試應(yīng)對細節(jié)的部分放在中國，一點也沒有違和感的，好嗎？所以他們能出現(xiàn)這樣的情況，從沒到過日本的人能夠?qū)懗雒鑼懭毡救说臅?，然后讓日本人都覺得是經(jīng)典的，沒有在企業(yè)里做過實務(wù)管理的德魯克能成為管理上的大師，其理念影響了全世界不得不說，美國的教育真不是蓋的。細節(jié)上，我印象比較深的是，作者開篇開始傳授如何應(yīng)該認識自己的學(xué)習(xí)模式，運用了一些測試題目，然后根據(jù)結(jié)果找出與自己最近似的學(xué)習(xí)模式，她把學(xué)習(xí)模式分為幾種情況，分別有左腦型，右腦型，還有另外的分法，為視覺的，聽覺的，動作的。我看了一下，確實有跟自己近的類型，我就是視覺的，對號入座后就可以比較直接的去揚長避短了。

18、然后，作者說了，做任何事情，時間管理技巧都是不可缺少的，她不僅教導(dǎo)的是學(xué)習(xí)的技能，還有很多其他的道理，對我們?nèi)松际怯幸娴?，我相信，如果我們的孩子從小就學(xué)習(xí)這些，將會受用終生。還有，作者提到了學(xué)習(xí)技巧規(guī)劃里的家庭檔案系統(tǒng)，將我們現(xiàn)在工作中的管理引進了學(xué)習(xí)中，這是一個非常好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，如果孩子持續(xù)的做，嚴格地做，獲得的收益將無法估量，因為，這在我們現(xiàn)在工作中都必須要用的管理信息的技能，實在是太可貴了，孩子將這種技能與閱讀結(jié)合起來，保管好自己思維歷程，可以獲得持續(xù)的提高，直到最后展翅翱翔，他最可貴的是，可以系統(tǒng)地提升自己，從而達到書中簡介里提到的那樣，碰到不會的領(lǐng)域的時候，可以很快的用這些方法，工具建立起模型，系統(tǒng)，游刃有余地攻克自己之前沒接觸的領(lǐng)域，提升自己的理解力，我想這正是我們學(xué)習(xí)的比較重要的一個目的吧。最后，我影響比較深的就是作者提供