2021版高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線與方程2.3.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案蘇教版選修2-1

1、2. 3.1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握雙曲線的定義.2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程3理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題.產(chǎn)知識械理自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一雙曲線的定義平面內(nèi)到兩個定點(diǎn) Fl, F2的距離的差的絕對值等于常數(shù) 小于F1F2的正數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.兩個定點(diǎn) Fl, F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.知識點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程22x y 1 a2-b2=12 2y x 1 才-b2=1(a>0, b>0)(a>0, b>0)焦占八 '、八、F1( c, 0),

2、 F2( c, 0)F1(0，- c), F2(0 , c)焦距FF2= 2ca、b、c的關(guān)系c2= a2 + b2思考1雙曲線定義中，將“小于F1F2改為“等于F1F2或“大于F1F2的常數(shù)，其他條 件不變，點(diǎn)的軌跡是什么？2確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程需要知道哪些量？答案1當(dāng)距離之差等于 F1F2時，動點(diǎn)的軌跡就是兩條射線，端點(diǎn)分別是Fl、F2,當(dāng)距離之差大于F1F2時，動點(diǎn)的軌跡不存在.a, b的值及焦點(diǎn)所在的位置.=題型探究朿點(diǎn)突破題型一 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1根據(jù)以下條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.15161經(jīng)過點(diǎn) P3 , , Q -3, 5；c = .6,經(jīng)過點(diǎn)一5,2，焦點(diǎn)在x軸上.2 2解

3、1方法一 假設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為 p-缶=1a>0, b>0,由于點(diǎn)P(3 ,)和Q 3， 5)在雙曲線上，9225才16b2= 1, 所以256259a2 b=1,解得 a2=16,b = 9,(舍去).假設(shè)焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為2 2y xa2 b2= 1(a>0, b>0),2259_荷b= 1，將P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得25256孑-9b = 1，a2= 9,解得2b2= 16,2 2所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 魯一詁1.2 2綜上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 眷一x6= 1.2 2x y方法二 設(shè)雙曲線方程為一 +1 = 1( mr<0).m n/

4、 P、Q兩點(diǎn)在雙曲線上，9 225+ = 1m 16n 'm=16,解得256 25n= 9.9m+ 7 =1,2 2所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 眷一詁=1.2 2(2)方法一依題意可設(shè)雙曲線方程為 *治1(a>0, b>0).a2+ b2= 6,那么有25 a右=1,解得a = 5,b2= 1,2x 2所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y = 1.方法二 焦點(diǎn)在x軸上，c = . 6,2 2二設(shè)所求雙曲線方程為一 =1(其中0<入<6).入 6 入雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(一5,2),254廠6入1,入=5或入=30(舍去).2X o所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是-y2= 1.5反思與感悟求雙曲

5、線的標(biāo)準(zhǔn)方程與求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法相似，可以先根據(jù)其焦點(diǎn)位置設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，然后用待定系數(shù)法求出a, b的值.假設(shè)焦點(diǎn)位置不確定，可按焦點(diǎn)在x軸和y軸上兩種情況討論求解，此方法思路清晰，但過程復(fù)雜，注意到雙曲線過兩定點(diǎn)，可設(shè)其 方程為mX+ ny2= 1( mn<0)，通過解方程組即可確定m n,防止了討論，從而簡化求解過程.跟蹤訓(xùn)練1求適合以下條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1) 兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(一5,0) , (5,0)，雙曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對值等于8;焦點(diǎn)在x軸上，經(jīng)過點(diǎn) F(4 , - 2)和點(diǎn)Q26, 2謔).解(1)由雙曲線的定義知，2a = 8,所以a= 4,

6、又知焦點(diǎn)在x軸上，且c = 5,所以 b2 = c2 a2= 25- 16= 9,2 2所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 16眷=1.(2) 因為焦點(diǎn)在x軸上，2 2可設(shè)雙曲線方程為-2 y = 1( a>0, b>0),a b將點(diǎn)(4 , 2)和(26, 2 2)代入方程得1642 2= 1 a2 b2',2482 2= 1 a2 b2',解得 a2 = 8, b2 = 4,2 2所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x y = 1.84題型二雙曲線定義的應(yīng)用2 2x y例2 假設(shè)F1, F2是雙曲線9 16= 1的兩個焦點(diǎn).(1)假設(shè)雙曲線上一點(diǎn) M到它的一個焦點(diǎn)的距離等于16,求點(diǎn)M

7、到另一個焦點(diǎn)的距離;如圖，假設(shè) P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且PF PF2= 32,試求 FiPF2的面積.2 2X y解 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 16= 1,故a= 3, b= 4, c=、Ja2+ b2= 5.(1)由雙曲線的定義得|MF MF| = 2a = 6,又雙曲線上一點(diǎn) M到它的一個焦點(diǎn)的距離等于16,假設(shè)點(diǎn)M到另一個焦點(diǎn)的距離等于 X,那么|16 x| = 6,解得x = 10或x= 22.故點(diǎn)M到另一個焦點(diǎn)的距離為 10或22.將| PF PF| = 2a = 6兩邊平方得PF + PF2 2PF PF>= 36,PFf+ pF2= 36 + 2PF PF>=36 + 2X

8、 32= 100.在厶F1PF2中，由余弦定理得cos / F1PF2=PR+ PF2 F1F22PF1 PF>100100=2x 32= O'且/ RPR (0 ° , 180° ),/ FPFz= 90°,1-SVPF1F2 = 2PF PH1=-X 32= 16.2反思與感悟(1)求雙曲線上一點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離時，假設(shè)該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可求結(jié)果；假設(shè)該點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離，那么根據(jù)|PF P冋=2a求解，注意對所求結(jié)果進(jìn)行必要的驗證 (負(fù)數(shù)應(yīng)該舍去，且所求距離應(yīng)該不小于c a).(2)在解決雙曲線中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題時，

9、首先要注意定義中的條件| PF PR| = 2a的應(yīng)用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進(jìn)行運(yùn)算，在運(yùn)算中要注意整體思想和一些變形技巧的應(yīng)用.2 2跟蹤訓(xùn)練2雙曲線x 16= 1的左，右焦點(diǎn)分別是F1,F2,假設(shè)雙曲線上一點(diǎn) P使得/ F1PR =60°，求 RPR的面積.2 2X y解 由 9 16= 1 得，a= 3, b= 4, c = 5.由雙曲線的定義和余弦定理得PF PF>=± 6,F1 f2= PF1 + PF2 2PF P氐os 60 ° ,所以 102= (PF PF>)2+ PF PF,所以 PF PF>

10、= 64,所以 SVFPF = qPF PF2 sin / FFFF1PF2=64X 子 16 3.題型三 與雙曲線有關(guān)的軌跡問題例3 如圖，在厶ABC中,AB= 4 2,且三個內(nèi)角 A B, C滿足2sinA+ sin C= 2sin B,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn) C的軌跡方程.解 以AB邊所在的直線為 x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如下圖,那么 A 2 2, 0) , 022, 0).BCac由正弦定理得 sin A= 2R, sin B=樂，sin C=圓半徑/ 2sin A+ sin C= 2sin B,2 BO AB= 2AC從而有 AC BC= 2aB= 2 2&

11、lt;AB由雙曲線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支除去與x軸的交點(diǎn)./ a= 2, c= 2 2, b2 = c2 a2 = 6,2 2即所求軌跡方程為 x= 1( x> 2).反思與感悟 1求解與雙曲線有關(guān)的點(diǎn)的軌跡問題，常見的方法有兩種：列出等量關(guān)系,化簡得到方程；尋找?guī)缀侮P(guān)系，由雙曲線的定義，得出對應(yīng)的方程.求解雙曲線的軌跡問題時要特別注意：雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；檢驗所求的軌跡對應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支.跟蹤訓(xùn)練3 如下圖，定圓52+ y2= 42,動圓M與定圓Fi,程.22解圓 Fi： (x+ 5) + y = 1，圓心2 2 2圓 F2: (x 5) + y = 4 ,

12、圓心 F2(5,0)，半徑2= 4.Fi( 5,0)，半徑 ri= 1；F2都外切，求動圓圓心22F1： (x+ 5) + y = 1,設(shè)動圓M的半徑為R那么有 MF= R+ 1, MF= R+ 4, MF MF= 3<10= F1F2.3點(diǎn)M的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且 a=-,c = 5,于是 b = c 一a = 914動圓圓心M的軌跡方程為2 y 911(XW 2).44填序號不存在一條射線答案解析 因為 PF PF2= 4,且 4<FiF2,由雙曲線定義知，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支.2 2 2 22橢圓 二+ y2= 1和雙曲線篤一= 1有相同的焦點(diǎn)，那么

13、實數(shù)n的值是34 nn 16答案 ±32 2解析由題意知，34 n = n + 16,2 2.2n = 18, n = 9.二 n=± 3.2 23. 雙曲線存y = 1的焦距為10 2 答案 4 3解析由標(biāo)準(zhǔn)方程得a = 10, b = 2,所以 c2 = a2 + b2= 12, c = 2 3,所以焦距2c= 4 3.4. 雙曲線中a= 5, c= 7那么該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為答案2 2解析當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，方程為Xy=1,25242 2當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，方程為2 £ = 1.25245. p是雙曲線x y = 16的左支上一點(diǎn),F1, F2分別是左，右焦點(diǎn)，貝U PF PF=答案 82 2解析 將X2y2= 16化為標(biāo)準(zhǔn)形式為16 26= 1，所以 a2 = 16,2 a= 8,因為P點(diǎn)在雙曲線左支上,所以 PF PF= 8.-諜堂小結(jié)11雙曲線定義中|PF PF2| = 2a (2 a<FiFM不要