剛體的運動學與動力學問題

1、剛體的運動學與動力學問題文/沈晨編者按中國物理學會全國中學生物理競賽委員會2000年第十九次會議對全國中學生物理競賽內容提要作了一些調整和補充，并決定從2002年起在復賽題與決賽題中使用提要中增補的內容為了給準備參賽的學生提供有關信息，幫助選手們盡快熟悉與掌握競賽提要增補部分的物理知識，給輔導學生參賽的教師提供方便，本刊編輯部特約請?zhí)丶壗處熒虺坷蠋煍M對相對集中的幾塊新補內容劃分成“剛體的運動與動力學問題”、“狹義相對論淺涉”、“波的描述和波現(xiàn)象”、“熱力學定律”四個專題，分別介紹競賽涉及的知識內容，例說典型問題與方法技巧，推介競賽訓練精題、名題和趣題本刊將從本期開始連載四期，供老師們參考中學物

2、理教學參考編輯部約請筆者就復賽和決賽中新增補的內容作專題講座，如何進行教學，筆者自身也正在探索之中，整個資料還只是一個雛形，呈獻給大家是希望與廣大同行交流切磋，以及能為更多的物理人才的脫穎而出作一點微薄的努力一、競賽涉及有關剛體的知識概要1.剛體在無論多大的外力作用下，總保持其形狀和大小不變的物體稱為剛體剛體是一種理想化模型，實際物體在外力作用下發(fā)生的形變效應不顯著可被忽略時，即可將其視為剛體，剛體內各質點之間的距離保持不變是其重要的模型特征2.剛體的平動和轉動剛體運動時，其上各質點的運動狀態(tài)（速度、加速度、位移）總是相同的，這種運動叫做平動研究剛體的平動時，可選取剛體上任意一個質點為研究對象

3、剛體運動時，如果剛體的各個質點在運動中都繞同一直線做圓周運動，這種運動叫做轉動，而所繞的直線叫做轉軸若轉軸是固定不動的，剛體的運動就是定軸轉動剛體的任何一個復雜運動總可看做平動與轉動的疊加，剛體的運動同樣遵從運動獨立性原理3.質心質心運動定律質心這是一個等效意義的概念，即對于任何一個剛體（或質點系），總可以找到一點，它的運動就代表整個剛體（或質點系）的平動，它的運動規(guī)律就等效于將剛體（或質點系）的質量集中在點，剛體（或質點系）所受外力也全部作用在點時，這個點叫做質心當外力的作用線通過剛體的質心時，剛體僅做平動；當外力作用線不通過質心時，整個物體的運動是隨質心的平動及繞質心的轉動的合成質心運動定

4、律物體受外力F作用時，其質心的加速度為，則必有，這就是質心運動定律，該定律表明：不管物體的質量如何分布，也不管外力作用點在物體的哪個位置，質心的運動總等效于物體的質量全部集中在此、外力亦作用于此點時應有的運動4.剛體的轉動慣量剛體的轉動慣量是剛體在轉動中慣性大小的量度，它等于剛體中每個質點的質量與該質點到轉軸的距離的平方的乘積的總和，即從轉動慣量的定義式可知，剛體的轉動慣量取決于剛體各部分的質量及對給定轉軸的分布情況我們可以利用微元法求一些質量均勻分布的幾何體的轉動慣量5.描述轉動狀態(tài)的物理量對應于平動狀態(tài)參量的速度、加速度、動量、動能（12）；描述剛體定軸轉動狀態(tài)的物理量有：角速度角速度的定

5、義為在垂直于轉軸、離轉軸距離處的線速度與角速度之間的關系為角加速度角加速度的定義為在垂直于轉軸、離轉軸距離處的線加速度與角加速度的關系為角動量角動量也叫做動量矩，物體對定軸轉動時，在垂直于轉軸、離轉軸距離處某質量為的質點的角動量大小是，各質點角動量的總和即為物體的角動量，即（）轉動動能當剛體做轉動時，各質點具有共同的角速度及不同的線速度，若第個質點質量為，離轉軸垂直距離為，則其轉動動能為（12）（12），整個剛體因轉動而具有的動能為所有質點的轉動動能的總和，即（12）（）（12）6.力矩力矩的功沖量矩如同力的作用是使質點運動狀態(tài)改變、產生加速度的原因一樣，力矩是改變剛體轉動狀態(tài)、使剛體獲得角加

6、速度的原因力的大小與力臂的乘積稱為力對轉軸的力矩，即類似于力的作用對位移的累積叫做功，力矩的作用對角位移的累積叫做力矩的功恒力矩的作用使剛體轉過角時，力矩所做的功為力矩和角位移的乘積，即與沖量是力的作用對時間的累積相似，力矩的作用對時間的累積叫做沖量矩，沖量矩定義為力矩乘以力矩作用的時間，即7.剛體繞定軸轉動的基本規(guī)律轉動定理剛體在合外力矩的作用下，所獲得的角加速度與合外力矩大小成正比，與轉動慣量成反比，即如同質點運動的牛頓第二定律可表述為動量形式，轉動定理的角動量表述形式是轉動動能定理合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉動動能的增量，即（12）（12）該定理揭示了力矩作用對角位移的積累效應是改變

7、剛體的轉動動能角動量定理轉動物體所受的沖量矩等于該物體在這段時間內角動量的增量，即該定理體現(xiàn)了力矩作用的時間積累效應是改變剛體轉動中的動量矩角動量守恒定律當物體所受合外力矩等于零時，物體的角動量保持不變，此即角動量守恒定律該定律適用于物體、物體組或質點系當不受外力矩或所受合外力矩為零的情況在運用角動量守恒定律時，要注意確定滿足守恒條件的參照系如果將上述描述剛體的物理量及剛體的運動學與動力學規(guī)律與質點相對照（如表1所示），可以發(fā)現(xiàn)它們極具平移對稱性，依據我們對后者的熟巧，一定可以很快把握剛體轉動問題的規(guī)律表1 質點的直線運動剛體的定軸轉動位移角位移速度角速度加速度角加速度勻速直線運動勻角速轉動勻

8、變速直線運動（12）2勻變速轉動（12）2牛頓第二定律轉動定理動量定理（恒力）角動量定理動能定理（12）（12）轉動動能定理（12）（12）動量守恒定律常量角動量守恒定律常量二、確定物體轉動慣量的方法物體的轉動慣量是剛體轉動狀態(tài)改變的內因，求解轉動剛體的動力學問題，離不開轉動慣量的確定確定剛體的轉動慣量的途徑通常有：1.從轉動慣量的定義來確定對于一些質量均勻分布、形狀規(guī)則的幾何體，計算它們關于對稱軸的轉動慣量，往往從定義出發(fā)，運用微元集合法，只需要初等數學即可求得例1如圖1所示，正六角棱柱形狀的剛體的質量為，密度均勻，其橫截面六邊形邊長為試求該棱柱體相對于它的中心對稱軸的轉動慣量 圖1分析與解

9、這里求的是規(guī)則形狀的幾何體關于它的中心對稱軸的轉動慣量從轉動慣量的定義出發(fā)，我們可將棱柱沿截面的徑向均勻分割成（）個厚度均為（2）·（）、棱長為的六棱柱薄殼，確定任意一個這樣的薄殼對中心軸的元轉動慣量，然后求和即可，有圖2現(xiàn)在，先給出一矩形薄板關于與板的一條邊平行的軸的轉動慣量板的尺寸標注如圖2所示，質量為且均勻分布，軸與板的距離為，沿長為的邊將板無限切分成條長為、寬為的窄條，則有板（）·（）·（）（）（）（3）回到先前的六棱柱薄殼元上，如圖1所示，由對稱性可知其中第個薄殼元的2，2薄殼元對軸的轉動慣量是12板，即=12（2）（2）（2）（13）（2）式中，是六棱

10、柱體的密度，即6×（12）··（2）23則六棱柱體對中心對稱軸的轉動慣量為12·（）·（2）·（2）（）·（2）（13）（2）12·（4）·（）·34112（53）（53）（1）（12）（53）（1）·（1）4）5122.借助于平行軸定理在剛體繞某點轉動時，需對過該點的軸求轉動慣量，借助于平行軸定理，可以解決這樣的問題：已知剛體對過質心的軸的轉動慣量，如何求對不通過質心但平行于過質心轉軸的軸的轉動慣量平行軸定理：設任意物體繞某固定軸的轉動慣量為，繞過質心而平行于軸的轉動慣量為，則有，式

11、中d為兩軸之間的距離，為物體的質量圖3證明：如圖3所示，為過剛體質心并與紙面垂直的軸，為與它平行的另一軸，兩軸相距為，在與軸垂直的平面內以質心為原點，過的直線為軸，建立坐標系代表剛體上任一微元的質量，它與軸及軸的距離依次為和，微元與質心連線與軸方向的夾角為，由轉動慣量的定義知，剛體對軸的轉動慣量應為（2）2上式中第一項即為剛體對質心的轉動慣量；第二項，是剛體的總質量；而第三項中，是質量元在平面坐標系內的坐標，按質心的定義，有0，所以在上述例1中，我們已求得正六棱柱關于其中心軸的轉動慣量，利用平行軸定理，我們還可求得六棱柱相對于棱邊的轉動慣量為（512）（1712）3.運用垂直軸定理對任意的剛體

12、，任取直角三維坐標系，剛體對、z軸的轉動慣量分別為、，可以證明2，是質元到坐標原點的距離圖4證明：如圖4所示，質元的坐標是、，顯然，而剛體對、軸的轉動慣量依次為（），（），（）則2（）2這個結論就是轉動慣量的垂直軸定理，或稱正交軸定理這個定理本身及其推導方法對轉動慣量求解很有指導意義例2從一個均勻薄片剪出一個如圖5所示的對稱的等臂星此星對軸的轉動慣量為求該星對軸的轉動慣量和軸都位于圖示的平面中，和都可看做是已知量圖5分析與解設星形薄片上任意一質元到過中心而與星平面垂直的軸距離為，則星對該軸的轉動慣量為=，由于對稱性，星對軸及同平面內與軸垂直的軸的轉動慣量相等，均為已知量；同樣，星對軸及同平面內

13、與軸垂直的軸的轉動慣量亦相等，設為，等同于垂直軸定理的推導，則2，2，于是有22，即4.巧用量綱分析法根據轉動慣量的定義，其量綱應為，轉動慣量的表達式常表現(xiàn)為形式，是剛體的質量，是剛體相應的幾何長度，只要確定待定系數，轉動慣量問題便迎刃而解例3如圖6甲所示，求均勻薄方板對過其中心且與軸形成角的軸的轉動慣量圖6分析與解如圖6（甲所示為待求其轉動慣量的正方形薄板，設其邊長為，總質量為，對軸的轉動慣量為，過中心將板對稱分割成四個相同的小正方形，各小正方形對過各自質心且平行于的軸的轉動慣量為（4）·（2）16如圖6乙所示，小正方形的軸與軸距離為或，由平行軸定理，它們對軸的轉動慣量應分別為（1

14、6）（4）（兩個質心與軸距離為的小正方形）或（16）（4）（兩個質心與軸距離為的小正方形），則有下列等式成立，即2（16）（4）2（16）（4）整理可得（32）（）而由幾何關系，可得（2）·（2）（4），（2）·（2）（4），故有（32）（8）（4）（4），則112于是求得正方形木板對過其中心的軸的轉動慣量為（112），且與角無關5一些規(guī)則幾何體的轉動慣量一些規(guī)則幾何體的轉動慣量如表2所示表2 三、剛體運動問題例析根據今年將實行的新提要，剛體運動問題應該要求運用質心運動定理、角動量定理及角動量守恒定律等剛體基本運動規(guī)律來求解剛體轉動的動力學與運動學問題下面就此展示四個例題例

15、4在平行的水平軌道上有一個纏著繩子且質量均勻的滾輪，繩子的末端固定著一個重錘開始時，滾輪被按住，滾輪與重錘系統(tǒng)保持靜止在某一瞬間，放開滾輪過一定的時間后，滾輪軸得到了固定的加速度，如圖7甲所示假定滾輪沒有滑動，繩子的質量可以忽略試確定：（1）重錘的質量和滾輪的質量之比；（2）滾輪對平面的最小動摩擦因數 圖7分析與解與處理質點的動力學問題一樣，處理剛體轉動的力學問題，要清楚了解力矩與轉動慣量對剛體運動的制約關系（1）當滾輪軸亦即滾輪質心純滾動而達到恒定的加速度時，其角加速度為，為滾輪的半徑滾輪可看做質量均勻的圓盤，其關于質心的轉動慣量為（12），分析滾輪受力情況如圖7乙所示，可知以輪與水平軌道的

16、接觸點為瞬時轉動軸考察將比較方便，因為接觸點處的力對剛體的這種轉動不產生影響關于軸，對滾輪形成轉動力矩的只有繩子上的張力，張力可以通過重錘的運動來確定：相對于接觸點，滾輪的質心的水平加速度為，重錘相對滾輪質心的線加速度也為，且方向應沿繩子向下，這兩個加速度是由重錘所受到的重力與繩子拉力提供的，重錘的加速度為這兩個加速度的矢量和由牛頓第二定理，有，（），則再研究滾輪，注意到點到張力的作用線之距離的幾何尺寸，滾輪對軸的轉動慣量可用平行軸定理轉換為（32），對滾輪運用轉動定律，有（）（1（）（32）·（）解之得32（）（2）對滾輪應用質心運動定理，滾輪質心加速度為，方向水平，則應有，其中，

17、那么，動摩擦因數滿足在上面解答中，確定滾輪與重錘的相關加速度是本題的“題眼”所在例5如圖8甲所示，在光滑地面上靜止地放置著兩根質量均為，長度均為的均勻細桿，其中一桿由相等的兩段構成，中間用光滑的鉸鏈連接起來，兩段在連接點可以彎折但不能分離在兩桿的一端，各施以相同的垂直于桿的水平沖量試求兩細桿所獲得的動能之比圖8分析與解本題的求解方向是通過質心的動量定理與剛體的角動量定理，求得桿的質心速度及繞質心的角速度，進而求出桿由于這兩個速度所具有的動能如圖8乙所示，設桿1在沖量作用下，質心獲得的速度為，桿的角速度為，由質心的動量定理，得，由剛體的角動量定理，得·2（112）則桿1的動能為1（12

18、）（12）（12）（）（12）（2）（2）（32）2如圖8丙所示為桿2的左、右兩段受力情況，當在桿2左端作用沖量時，在兩段連接處，有一對相互作用的沖量與，它們大小相等，方向相反由于兩段受力情況不同，各段的質心速度及角速度均不同，但在連接處，注意到“不分離”的條件，左段的右端與右段的左端具有相同的速度現(xiàn)對兩段分別運用動量定理和角動量定理，對桿2左段，有（2），（）·（4）（96），對桿2右段，有（2）2，·4（96）由連接處“不分離”條件得左、右兩段的速度與角速度的關系是1·（4）·（4）2，由以上各式，可得18，6，152，22，于是可計算桿2的動能為2

19、（12）·（2）（12）（12）·（2）（）72易得1、2兩桿的動能之比為47本題求解中，抓住桿2左、右兩段連接處速度相同的相關關系，全盤皆活例6形狀適宜的金屬絲衣架能在如圖9所示的平面里的幾個平衡位置附近做小振幅擺動在位置甲和位置乙里，長邊是水平的，其它兩邊等長三種情況下的振動周期都相等試問衣架的質心位于何處？擺動周期是多少？（第13屆試題）圖9圖10分析與解本題涉及剛體做簡諧運動的問題，即復擺的運動規(guī)律一個在重力作用下繞水平軸在豎直面內做小角度擺動的剛體稱為復擺或物理擺我們先來推導復擺的周期公式如圖10所示，設為轉軸（懸點），質心與轉軸距離（等效擺長）為，質量為，對轉軸

20、的轉動慣量為，最大偏角5°由機械能守恒定律，可得（1）（12）是剛體的質心通過平衡位置時的角速度對擺長、質量的理想單擺而言，有（1）（12）（12）（）（12）（）式中是擺球（質點）通過平衡位置時的角速度，是振幅（=），是擺球振動的圓頻率可知將式變形為（1）（12）（12）（·）（12）（），比較式，即對復擺與單擺作等效變換，可得復擺小幅振動（亦為諧振）的圓頻率為，那么復擺的周期公式為2圖11由題設條件確定衣架的質心位置及轉動慣量，依據復擺周期公式，即可確定三種情況下相同的擺動周期如圖11所示，質心到轉軸、的距離設為、，由圖9甲所示衣架的平衡位置可知，質心必在衣架長邊的中垂

21、線上，在三種情況下衣架對轉軸、的轉動慣量依次為，式中為所設衣架對質心的轉動慣量，是衣架總質量因為三種情況下的周期相同，故有（）（），即（）（）0，顯然，則可知；又有（）（），即（）（）0，此式中因，故（-）0，則必有，即質心位于之中點衣架周期為=22根據圖9標注的尺寸可知5，216，代入后得1.03本題是國際物理奧林匹克的一道賽題，題意簡潔，解答方法也很多，筆者給出的這種解法應該說比較嚴密且巧妙最后，我們再嘗試解答另外一道比較繁難的國際物理奧林匹克競賽試題，該題涉及動量矩守恒定律的運用例7如圖12所示，一個質量為，半徑為的均勻圓盤在光滑水平面內以速度沿軸方向平動，圓盤中心至軸的垂直距離為圓盤與

22、另一靜止的、其中心位于坐標原點的均勻圓盤相碰圓盤的質量與相同，半徑為假定碰撞后兩圓盤接觸處的切向速度分量（垂直于連心線方向的速度）相等，并假設碰撞前后兩圓盤沿連心線方向的相對速度大小不變在發(fā)生碰撞的情況下，試求：（1）碰后兩圓盤質心速度的分量和分量，結果要以給定的參量、和表示；（2）碰后兩圓盤的動能，結果要以給定的參量、和表示（第24屆試題）分析與解（1）本題情景是質量相同的運動圓盤與靜止圓盤在水平面上發(fā)生非彈性斜碰碰撞前后，質心動量守恒系統(tǒng)不受外力；對點的角動量守恒外力沖量矩為零；動能不守恒碰撞后兩圓盤接觸處的切向速度分量相等，必有摩擦力存在，動能有損失本題給出諸多的附加條件，除了根據動量守

23、恒與角動量守恒列出基本方程外，還必須根據附加條件給出足夠的補充方程，并適當選用速度分量，方可最終得解圖12圖13如圖13所示，設碰撞時兩盤質心連線與軸成角，由幾何關系可知=（+）對系統(tǒng)，在法向與切向動量均守恒，即，式中，、是、盤碰撞后沿切向與徑向的質心速度；系統(tǒng)對點的角動量守恒即（），該式中，（12）2，（12）2，、為兩盤碰撞后的角速度（待定）注意碰撞后盤既有轉動又有平動，對點的角動量由兩部分組成，而盤質心在點，故角動量僅為上述三個方程涉及六個未知量，需列出補充方程根據兩盤接觸處切向速度相同有，根據兩盤法向相對速度不變有對盤，由動量定理和角動量定理，摩擦力的作用是·，·&

24、#183;，即由上述六個方程，解得3，3，（56），（16），0，碰后兩盤的質心速度的分量分別為（56），（16），碰后兩盤的質心速度的分量分別為（56），（56），其中（），（）（2）各圓盤的動能是各盤質心平動動能與圓盤轉動動能之和，這里不再贅述，答案是38（），（12）（1（1112（）四、競賽訓練題1如圖14所示，質量為的均勻圓柱體的截面半徑為，長為2試求圓柱體繞通過質心及兩底面邊緣的轉軸（如圖中的、軸）的轉動慣量圖14圖152如圖15所示，勻質立方體的邊長為，質量為試求該立方體繞對角線軸的轉動慣量3橢圓細環(huán)的半長軸為，半短軸為，質量為（未必勻質），已知該環(huán)繞長軸的轉動慣量為，試求該環(huán)繞

25、短軸的轉動慣量4在一根固定的、豎直的螺桿上有一個螺帽，螺距為，螺帽的轉動慣量為，質量為假定螺帽與螺桿間的動摩擦因數為零，螺帽以初速度向下移動，螺帽豎直移動的速度與時間有什么關系？這是什么樣的運動？重力加速度為g5如圖16所示，兩個質量和半徑均相同的實心圓柱輪，它們的質心軸互相平行，并用一輕桿相連，軸與軸承間的摩擦忽略不計兩輪先以共同的初速度沿水平方向運動，兩輪的初角速度為零，如圖16甲所示然后同時輕輕地與地面相接觸，如圖16乙所示，設兩輪與地面之間的動摩擦因數分別為和（）試求兩輪均變?yōu)榧儩L動所需的時間及純滾動后的平動速度大小圖16圖176如圖17所示，光滑水平地面上靜止地放著質量為、長為的均勻

26、細桿質量為的質點以垂直于桿的水平初速度與桿的一端發(fā)生完全非彈性碰撞試求：（1）碰后系統(tǒng)質心的速度及繞質心的角速度；（2）實際的轉軸（即靜止點）位于何處？7如圖18所示，實心圓柱體從高度為的斜坡上由靜止做純滾動到達水平地面上，且繼續(xù)做純滾動，與光滑豎直墻發(fā)生完全彈性碰撞后返回，經足夠長的水平距離后重新做純滾動，并純滾動地爬上斜坡設地面與圓柱體之間的動摩擦因數為，試求圓柱體爬坡所能達到的高度圖18圖198如圖19所示，半徑為的乒乓球繞質心軸的轉動慣量為（23），為乒乓球的質量乒乓球以一定的初始條件在粗糙的水平面上運動，開始時球的質心速度為，初角速度為，兩者的方向如圖18所示已知乒乓球與地面間的動摩擦因數為試求乒乓球開始做純滾動所需的時間及純滾動時的質心速度9一個均勻的薄方板的質量為，邊長為，固定它的一個角點，使板豎直懸掛，板在自身的重力作用下，在方板所在的豎直平面內擺動在通過板的固定點的對角線上距固定點的什么位置（除去轉動軸處之外），粘上一個質量為的質點，板的運動不會發(fā)生變化？已知對穿過板中心而垂直于板的軸，方板的轉動慣量為（16）圖2010如圖20所示，一個剛性的固體正六角棱柱，形狀就像通常的鉛筆，棱柱的質量為，密度均勻橫截面呈六邊形且每邊長為六角棱柱相對于它的中心軸的轉動慣量為（512），相對于棱邊的轉動慣量是（1712）現(xiàn)令棱柱開始不均勻地滾下