倒立擺系統(tǒng)的建模及Matlab仿真

1、第2頁共11頁倒立擺系統(tǒng)的建模及 Matlab仿真1.系統(tǒng)的物理模型考慮如圖（1）所示的倒立擺系統(tǒng)。圖中，倒立擺安裝在一個小車上。這里僅考慮倒立擺在圖 面內(nèi)運動的二維問題。-1H1 9- m1 ' /1 / -*U/1y/ / Z /圖（1）倒立擺系統(tǒng)假定倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)如下。擺桿的質(zhì)量：m=0.1g擺桿的長度：l =1m小車的質(zhì)量：M=1k重力加速度：g=9.8m/ s2擺桿的質(zhì)量在擺桿的中心。設(shè)計一個控制系統(tǒng)，使得當給定任意初始條件 （由干擾引起）時，最大超調(diào)量6 < 10%調(diào)節(jié)時 間ts < 4s，通過小車的水平運動使倒立擺保持在垂直位置。2.系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1建立

2、倒置擺的運動方程并將其線性化為簡化問題，在數(shù)學(xué)模型中首先假設(shè)：1）擺桿為剛體；2）忽略擺桿與支點之間的摩擦；3）忽 略小車與接觸面間的摩擦。設(shè)小車瞬時位置為 乙擺心瞬時位置為（z lsinr ）,在u作用下，小車及擺均產(chǎn)生加速遠動, 根據(jù)牛頓第二定律，在水平直線遠動方向的慣性力應(yīng)與u平衡，于是有2 2Md mdF(zlsin"u即:(M m)z mP cos ： - mP2 sin - - u繞擺軸轉(zhuǎn)動的慣性力矩與重力矩平衡，因而有第3頁共11頁第4頁共11頁(z I sin 二)cost - mgl sin 二即：z c o S l v c o Sv _ l / s i n c o

3、 S = g s i n以上兩個方程都是非線性方程，為求得解析解，需作線性化處理。由于控制的目的是保持倒立擺直立，在試駕合適的外力條件下，假定9很小，接近于零時合理的，則sin, : -,co : 1 ,且可忽略r勺 項。于是有(M m)z ml v - u聯(lián)立求解可得2.2列寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式選取系統(tǒng)變量 x1,x2,x3,x4， x = X1,x2,x3, Xt T 貝UX1 =X2dx 二dt000X3 X4X41000(M + m) x 1X3MlMlMly=x1 = 1 0 0 oX=Cx代入數(shù)據(jù)計算得到：0 1 00 01A =0 0 00 0 11010 ,B = 0 1 0

4、 10mgM0 (M m)g二 Ax Bu-1T,C 二第5頁共11頁第6頁共11頁3.設(shè)計控制器3.1判斷系統(tǒng)的能控性和穩(wěn)定性0 1Qk = B AB A2B A3B】=100 -1001100-11-110rank( Qk)=4,故被控對象完全可控由特征方程控對象不穩(wěn)定I 一 A二，2C2 -11) =0解得特征值為0 , 0, _ .11。出現(xiàn)大于零的特征值，故被3.2確定希望的極點希望的極點n=4,選其中一對為主導(dǎo)極點s,和S2，另一對為遠極點，認為系統(tǒng)性能主要由主導(dǎo)極點決定，遠極點只有微小影響。根據(jù)二階系統(tǒng)的關(guān)系式，先確定主導(dǎo)極點二p =e_0.1可得.-0.59，于是取 二0.6

5、;取誤差帶厶=0.02有t ，貝=1.67，閉環(huán) 3 °主導(dǎo)極點為 *=-巴±1-呼=-1 ±0.8j,遠極點選擇使它和原點的距離大于主導(dǎo)極點與原點距離的5倍，取豈4=-153.3采用狀態(tài)反饋方法使系統(tǒng)穩(wěn)定并配置極點狀態(tài)反饋的控制規(guī)律為u =-kx， k = k0 k1 k2 k3l ；狀態(tài)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x = (A - BK)x - Bv，其特征多項式為川一(A BK)| =九4+(匕一k3)f 十(k0 k2 11)丸2 10k, 1Ok0希望特征多項式為(-15)2( 1 -0.8j)( 1 0.8j)二 4 32 3 286.64 2 499 236

6、9比較以上兩式系數(shù)，解得狀態(tài)反饋矩陣 k = 1-36.9-49.92-334.54- 81.92】第7頁共11頁4. 設(shè)計全維觀測器4.1判斷系統(tǒng)的能觀性100(At)3C】=01000-100Qg = C AtC (At)2C0 100,rank( Qg )=4,故被控對象完全可觀第#頁共11頁第8頁共11頁4.2確定觀測器的反饋增益全維觀測器的動態(tài)方程為x =(A GC)x Bv GCx ;其特征多項式為丸I (A - GC)| =丸 + g0 丸 + (gi - 11)丸 + (11g0 g2)丸 + (11gi g3)取觀測器的希望極點為：-45, -45，-3+3j，-3-3j ；

7、貝怖望特征多項式為2432(15) ( '1 -0.8j)( '10.8j) = '96'2583'13770 '34650比較以上兩式系數(shù)，解得觀測器反饋矩陣G = 96 2594 -14826 - 64984 T5. 降維狀態(tài)觀測器的設(shè)計5.1建立倒置擺三維子系統(tǒng)動態(tài)方程設(shè)小車位移z由輸出傳感器測量，因而無需估計，可以設(shè)計降維(三維)狀態(tài)觀測器，通過重 新排列被控系統(tǒng)變量的次序，把需由降維狀態(tài)觀測器估計的狀態(tài)變量與輸出傳感器測得的狀態(tài)變量 分離開。將z作為第四個狀態(tài)變量，則被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程變換為d60dt6-0z 一J三0-101

8、10010001zl10u-1°簡記為:和a二 =>2 一A?"A12 F J|b1 uA22 _-X2 - b2 _I1'X；式中11，A12 = 0 0 0T，b1 0 -1T0x2 二 z = y , A21 = 1 0 0T,被控系統(tǒng)的n-q維子系統(tǒng)動態(tài)方程的一般形式為A21 =0 ,b2 = 0 , 11 -1A11x1v , z = A21X - 式中 v = A21y b1u =,z 二 y - A22y -b2u = y = zz 為子系統(tǒng)輸出量。故倒置擺三維子系統(tǒng)動態(tài)方程為uzl 才=100】p5.2判斷子系統(tǒng)的可觀測性A1=0 -1 0;0

9、 0 1;0 11 0;C1= 1 0 0;Qg1=obsv(A1,C1);r=ra nk(Qg1)運行Matlab程序；結(jié)果為r=3,故該子系統(tǒng)可觀測降維狀態(tài)觀測器動態(tài)方程的一般形式為二A- hA21於亠 b -hb2u A-hA21h 人2 - hA221Xr =hy式中h= h0 h1 h2 T。考慮被控對象參數(shù),單倒置擺降維觀測器動態(tài)方程的一般形式為_h°-1011_ho -h10 1 b + 0u +-10 +h2_h211 oj t-h0h2 +110_y第9頁共11頁5.3確定三維狀態(tài)觀測器的反饋矩陣h三維狀態(tài)觀測器的特征多項式為入I (Aj hA2j =丸'+

10、h(A2 十(一11 0 卜 +( 11h0 h2 )設(shè)希望的觀測器閉環(huán)極點為-45 , -3+3j，-3-3j ，貝怖望特征多項式為45 3 3j 3 -3j 二 3512288'810比較以上兩式系數(shù)，解得 h= 51 一 299 -1371 1故所求三維狀態(tài)觀測器的動態(tài)方程為-512991371-10110-2302+ 13878 y66632一廠1jx=FL0y 一0第#頁共11頁第12頁共11頁6. Matlab仿真分析6.1源程序F面是文件名為通過Matlab對用全維狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋的倒置擺系統(tǒng)進行仿真分析,Inv ersio n_pe ndulum_system .

11、m 的源程序%倒立擺系統(tǒng)建模分析%a)判斷系統(tǒng)能控性和能觀性clear all;clcA=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0;B=0；1；0;-1;C=1 0 0 0;D=0;Uc=ctrb(A,B);rc=ra nk(Uc);n=size(A);if rc=ndispfThe system is con trolled.)elseif rc<ndispfThe system is uncon trolled.)endVo=obsv(A,C);ro=ran k(Vo);if ro=ndispfThe system is observable)'el

12、seif ro=ndispCThe system is no observable)'end%b)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性P=poly(A),v=roots(P)Re=real(v);if(le ngth(fi nd(Re>0)=0)disp('The system is un stable and the ubstable poles ai)e:' v(fi nd(Re>0)elsedisp('The system is stable)'end% c)極點配置與控制器-全維狀態(tài)觀測器設(shè)計與仿真pc=-1+0.8*j,-1-0.8*j,-15,-15;

13、po=-45 -45 -3+3*j -3-3*j;K=acker(A,B,pc),G=acker(A',C',po)'Gp=ss(A,B,C,D); %將受控過程創(chuàng)建為一個LTI對象 dispf受控對象的傳遞函數(shù)模型：');H=tf(Gp)Af=A-B*K-G*C;dispf觀測器一一控制器模型：');Gc=ss(Af,-G,-K,0)%將觀測器-控制器創(chuàng)建為一個LTI對象dispf觀測器一一控制器的極點：');f_poles=pole(Gc)GpGc=Gp*Gc;%控制器和對象串聯(lián)dispC觀測器一一控制器與對象串聯(lián)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)模型：'

14、;);Gcl=feedback(GpGc,1,-1)%閉環(huán)系統(tǒng)dispf閉環(huán)系統(tǒng)的極點和零點：');c_poles=pole(Gcl) c_zeros=tzero(Gcl) lfg=dcgai n(Gcl)%低頻增益N=1/lfg %歸一化常數(shù)T=N*Gcl;%將N與閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)串聯(lián)x0=100 10 30 10 0 0 0 0;% 初始條件向量t=0:0.01:1'%時間列向量r=0*t;%零參考輸入y t x=lsim(T,r,t,x0); % 初始條件仿真plot(t,x(:,1:4), '-.',t,x(:,5:8)%由初始條件引起的狀態(tài)響應(yīng)titl

15、e('bf狀態(tài)響應(yīng)')lege ndfx1','x2','x3','x4','x1hat','x2hat','x3hat','x4hat')figure(2)step(T)title('bf階躍響應(yīng)')figure(3)impulse(T)title('bf脈沖響應(yīng)')6.2程序運行結(jié)果The system is con trolled.The system is observable.P =1 0 -11 0 0v =003.

16、3166-3.3166The system is un stable and the ubstable poles are: ans =3.3166K =-36.9000 -49.9200 -334.5400 -81.9200G =962594-14826-64984受控對象的傳遞函數(shù)模型Tran sfer fun cti on:sA2 - 1.776e-015 s - 10sA4 - 11 sA2b =x1x2x3x4觀測器一一控制器模型:x1x2x3x4x1-96100x2-255749.92333.581.92x31.483e+004001x46.495e+004-49.92-323.5

17、-81.92u1-96 -2594 1.483e+004 6.498e+004第13頁共11頁第14頁共11頁x1 x2 x3 x4y1 36.9 49.92 334.5 81.92d =u1y1 0Con ti nu ous-time model.觀測器控制器的極點：f_poles =1.0e+002 *-1.4948 + 1.8786i-1.4948 - 1.8786i1.7424-0.0328觀測器一一控制器與對象串聯(lián)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)模型:a =x1x2x3x1010x200-1x3000x40011x59600x6259400x7-1.483e+00400x8-6.498e+00400x

18、6x7x8x1000x249.92334.581.92x3000x4-49.92-334.5-81.92x5100x649.92333.581.92x7001x8-49.92-323.5-81.92b =u1x10x20x30x40x5-96x6-2594x71.483e+004x86.498e+004c =x400100000x5036.90 -36.9-96 -2557 1.483e+004 6.495e+004第15頁共11頁x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8y1 10000000d =u1y1 0Con ti nu ous-time model.閉環(huán)系統(tǒng)的極點和零點：c_poles =-45.0000-45.0000-15.0001-14.9999-3.0000 + 3.0000i-3.0000 - 3.0000