復(fù)變函數(shù)中柯西留數(shù)分析與應(yīng)用

1、期末小論文2013111963李楠復(fù)變函數(shù)中柯西留數(shù)分析與應(yīng)用摘要文章首先介紹柯西留數(shù)定理的重要性，分析柯西留數(shù)定理，柯西積分定理，柯西積分公式之間的關(guān)系，并進一步研究柯西留數(shù)定理在廣義積分中的應(yīng)用，通過一些學(xué)習(xí)實例和自己的體會探究數(shù)學(xué)分析與復(fù)變函數(shù)在解決一些復(fù)雜定積分問題如廣義積分和反常積分上的異同。關(guān)鍵詞復(fù)變函數(shù)中柯西留數(shù)定理，柯西積分定理，柯西積分公式，洛朗級數(shù)，反常積分，解析函數(shù)Analysis and Applications of Cauchy residue theoremAbstractThe article first introduces the importance of

2、 Cauchy residue theorem, analysis the relationship between the Cauchy residue theorem and Cauchy integral theorem, Cauchy integral formula, further research in the application of the generalized integral, by some examples of learning and personal experience to explore mathematical analysis and the c

3、omplex function in solving some complex problems such as improper integral and definite integral improper integral on the similarities and differences.Key words: Cauchy residue theorem, Cauchy integral theorem, Cauchy integral formula, Laurent series, Improper integral, The analytical function目錄引言一

4、柯西留數(shù)定理的概念與定義二 柯西留數(shù)定理與柯西積分定理，柯西積分公式的關(guān)系三 柯西留數(shù)定理的應(yīng)用總結(jié)參考文獻引言柯西留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)中非常重要的內(nèi)容之一，在實際應(yīng)用中也很重要，利用柯西留數(shù)定理在圍線積分中的應(yīng)用計算，探求柯西留數(shù)定理在一些特殊實積分,如反常積分、廣義積分等中的應(yīng)用，可以起到事半功倍的作用,它是研究計算定積分，尤其是對原函數(shù)不易直接求得的積分是一個有效的方法，其要點是將其劃歸為復(fù)變函數(shù)的周線積分，再把計算周線積分的整體問題，化為計算各孤立奇點處留數(shù)的局部問題,繼而就可得到解決。一 柯西留數(shù)定理的概念與定義留數(shù)定義：設(shè)函數(shù)以有限點為孤立奇點，即在點的某去心鄰域內(nèi)解析，則稱積分 為

5、在點a的留數(shù)（residue）,記做。由柯西積分定理知道，當(dāng)，留數(shù)的值與無關(guān)，利用洛朗系數(shù)公式有即柯西留數(shù)定理在周線或復(fù)周線C所包圍的區(qū)域D內(nèi)，除外解析，在閉域上除外連續(xù)，則二 柯西留數(shù)定理與柯西積分定理，柯西積分公式的關(guān)系1柯西積分定理在z平面上的單連通區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任一條周線，則柯西積分定理的條件是D為單連通區(qū)域，則周線C內(nèi)沒有奇點，因此留數(shù)為0，所以，可以看出，柯西積分公式是柯西留數(shù)定理中沒有孤立奇點的特殊形式。2柯西積分公式設(shè)區(qū)域D的邊界是周線（或復(fù)周線）C, 函數(shù)D內(nèi)解析，在上連續(xù)，則有在內(nèi)的孤立奇點是，根據(jù)柯西留數(shù)定理 所以由此可知，柯西積分公式只是柯西留數(shù)定理中存在一個孤

6、立奇點時的特殊形式3解析函數(shù)的無窮可微性由柯西積分公式可以得到，這是一個用解析函數(shù)的邊界值表示其各階導(dǎo)函數(shù)內(nèi)部值得積分公式，函數(shù)在內(nèi)只有一個n+1階極點，由柯西留數(shù)定理推論公式所以即可以看出，該公式是柯西留數(shù)定理中函數(shù)有一個n+1階極點的特殊形式綜上研究，柯西積分定理，柯西積分公式以及推論都是柯西留數(shù)定理的特殊情形，掌握柯西留數(shù)定理可以輕而易舉地解決很多復(fù)雜的積分問題。三 柯西留數(shù)定理的應(yīng)用下面就一道積分問題探究數(shù)學(xué)分析與復(fù)變函數(shù)就反常積分方面的差異計算， 解法一在數(shù)學(xué)分析中，利用分部積分就有以此類推，并注意到即有解法二利用復(fù)變函數(shù)中學(xué)過的柯西留數(shù)定理可以很簡便地計算出此值，由極點處留數(shù)的計算，當(dāng)是的階極點時，有所以從上面兩種求解方法對比可以得到，方法二應(yīng)用留數(shù)定理進行積分求解，計算量小，思路清晰.顯然,在第一種方法求解時, 運用分部積分公式得到遞推關(guān)系式子，其計算量遠遠大于第二種方法?？偨Y(jié)在復(fù)分析中，留數(shù)定理是用來計算解析函數(shù)沿著閉曲線的路徑積分的一個有力的工具，也可以用來計算實函數(shù)的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推廣。在解決一些廣義積分，反常積分等較為復(fù)雜的積分問題時，雖然數(shù)學(xué)分析中的一些方法可以解決，但運算量大，內(nèi)容繁瑣，而留數(shù)公式則大大簡化了計算量,回避了計算量大的缺點，并且體現(xiàn)了思