平面向量基本定理

1、§2.3.1 平面向量基本定理一、復習引入：1實數(shù)與向量的積：實數(shù) 與向量 a 的積是一個向量，記作： a( 1) | a |=| | a |；( 2) >0時 a與 a方向； <0 時 a與a方向_； =0時 a =2運算定律結(jié)合律： ( a )=( )a ；分配律：， (a+b )=a+b3. 向量共線定理 向量 b 與非零向量 a共線的充要條件是：有 有一個非零實數(shù) ，使 b = a.二、講解新課：平面向量基本定理： 如果 e1 ，e2 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量， 那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 a ， 有且只有一對實數(shù) 1，2使a=1e1 +2e2 .【體現(xiàn)得思

2、想】 ： 定義 1定義 2.定義 3三、講解范例：【基礎鞏固】例 1 已知向量 e1 ， e2 求作向量 2.5e1 +3e2 .例 3 如圖 ABCD 的兩條對角線交于點MA ， MB ， MC 和 MDM ，且 AB = a ， AD =b ，用 a ，【能力與基礎鏈接】例 3.已知 e1、e2 為不共線向量，如果 a e1 3e2 ,b 2e1 ke2 ， a/ b ，則的值為 。例 4. 四邊形 ABCD 中 a AB,b BD ， a b a b ，若則四邊形 ABCD 是正方形。例 5.四邊形 ABCD 中 M 是 AB 的中點， N 是 BD 的三等分點且靠近 B，證明 M、N、

3、C 三點共線。（回顧 三點共線證明方法）四、課堂練習 ：1.設 e1、e2 是同一平面內(nèi)的兩個向量，則有 （ ）A.e1、 e2 一定平行B.e1、e2 的模相等C.同一平面內(nèi)的任一向量 a 都有 a = e1+e2（、R）D.若 e1、 e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a 都有 a =e1+ue2（、 uR）2.已知矢量 a = e1-2e2， b =2e1+e2，其中 e1、 e2不共線，則 a+b與 c =6e1-2e2的關系A. 不共線B.共線C.相等D.無法確定3.已知向量 e1、e2不共線，實數(shù) x、y滿足（3x-4y）e1+（2x-3y）e2=6e1+3e2，則 x-y 的值等

4、于 （ ）A.3 B.-3 C.0 D.2（填共線4. 已知 a、b 不共線，且 c =1a+2b（1，2R），若 c與 b 共線，則 1=5. 已知 1> 0， 2> 0， e1、 e2是一組基底，且 a = 1e1+ 2e2，則 a與 e1，a與 e2或不共線 ）.e17.（ 336、 337、 329班作業(yè)）如圖，設 e1、e2 是夾角為 120 的一組基底， 且 |e1 | 1 ， |e2 | 2 ，已知向量 a 與向量 e1、e2 的夾角均為 60 ， |a| 4，設 a=me1 ne2 .求實數(shù) m,n.五作業(yè)：設計的鞏固，課時訓練§2.3.2-3 平面向量正

5、交分解、坐標表示及其運算、復習引入1 平面向量基本定理：如果 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對實數(shù) 使 (1) 我們把不共線向量 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2) 基底不惟一，關鍵是不 ；(3) 由定理可將任一向量 在給出基底 的條件下進行分解；(4) 基底給定時，分解形式惟一 . 是被_ ，_ ， 唯一確定的數(shù)量二、講解新課：1. 正交分解：把向量分解為兩個互相 的向量。1 平面向量的坐標表示在直角坐標系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量作為基底 .任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)，使得我們把叫做向量的(直角

6、)坐標，記作其中叫做 _ 在_ 軸上的坐標，叫做 _ 在軸上的坐標，特別地，式叫做向量的坐標表示 . 與相等的向量的坐標也為如圖，在直角坐標平面內(nèi)，以原點 O 為起點作 ，則點的位置由唯一確定 .，則向量的坐標 ( ) 就是點的坐標；反過來，點的坐標 ( ) 也就是向量的坐標 .因此 ,在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示三、范例【基礎能力鏈接】題型一：求向量的坐標例 1：如圖，分別用基底 i, j 表示向量 a,b,c,d ，并求出他們的坐標。題型二：相等向量的坐標問題(重點)例 2：已知向量 a (x 3,x2 3x 4)與 AB相等，其中 A(1,2), B(3,

7、2) ，求 x 。(注意易錯現(xiàn)象)題型三：平面向量的坐標運算：知識點： 1:2:3:例 3：已知 a ( 2,1), b ( 3,4)， a b,a b,3a 4b求的坐標例 4：已知平行四邊形 ABCD 的三個頂點 A、B、C 的坐標分別為( -2,1 )，(-1,3 )，(3,4 )，試求頂點 D 的 坐標。(易錯分析)鏈接】(方程思想)例 5：若向量 a (1,1),b (1, 1),c ( 1,2) ，則 c (_)a (_)b 。(方法、思想，基本定理的運用) 例 6：已知 A（-2,4）,B（3 ，-1） ，C（-3 ， -4）且CM 3CA,CN 2CB ，求點 M,N 及向量

8、MN 的坐標作業(yè)：習題 2.3A 組 1,2,3,4,6,7B 組 3， 4 畫圖解答。優(yōu)化設計鞏固，課時訓練§2.3.4 平面向量共線的坐標表示目的：(1) 理解平面向量的坐標的概念；(2) 掌握平面向量的坐標運算；( 3)會根據(jù)向量的坐標，判斷向量是否共線一、復習引入：1平面向量的坐標表示分別取與 x軸、 y軸方向相同的兩個單位向量 i、 j作為基底 .任作一個向量 a ，由平面向量基本定理 知，有且只有一對實數(shù) x、 y ，使得 a xi yj把 (x, y) 叫做向量 a 的(直角)坐標，記作 a (x,y)其中 x 叫做 a 在 x 軸上的坐標， y 叫做 a 在 y 軸上

9、的坐標， 特別地， i (1,0) ， j ( 0,1) ， 0 (0,0).2平面向量的坐標運算若a (x1,y1) ，b (x2,y2)，則a b （x1 x2,y1 y2），a b （x1 x2,y1 y2）， a （ x, y） .若 A（x1,y1）， B（x2,y2），則 AB x2 x1,y2 y1二、講解新課：ab （b 0 ）的充要條件是 x1y2-x2y1=0探究：（1）消去 時不能兩式相除， y1， y2有可能為 0， b 0 x2， y2中至少有一個不為 02）等價條件不能寫成y1y2x1x2x1， x2 有可能為 0（3）從而向量共線的等價條件有兩種形式：ab （b

10、0 ）三、題型一：已知向量共線，求參數(shù)值例1已知a=（4，2），b =（6， y），且a b ，求 y.變式： 已知 a =（3，2-m）， b =（m，-m），且 ab ，求 m的值.題型二：點向量共線判斷問題例 2 已知 A（-1 ， -1）， B（1， 3），C（2，5），試判斷 A，B，C 三點之間的位置關系例 3 已知 A（-1， -1）， B（1 ， 3），C（1， 5） ，D（2，7） ，向量 AB 與 CD 平行嗎？直線 AB 與平行于直線 CD 嗎？題型三：求點或向量的坐標例 4 設點 P 是線段 P1P2 上的一點， P1、P2的坐標分別是 （x1， y1），（x2， y2

11、）.（1） 當點 P是線段 P1P2的中點時，求點 P 的坐標；（2） 當點 P是線段 P1P2的一個三等分點時，求點 P的坐標 .（探究）選取原點構建運算，其好處是 .其次從本題得到結(jié)論：若點 P（x1，y1） ， （x 2， y 2）， 為實數(shù)，且 P1P PP2 ，則點 P 的坐標為（ ），我們稱 為點P 分 P1P2 所成的比 . 線段定比分點坐標公式的向量形式：在平面內(nèi)任取一點 O，設OP1 ， OP2 ，可得 OP =.例 5 若向量 a=（-1 ， x） 與 b =（-x ， 2）共線且方向相同，求 x四、課堂練習 ：1. 若 a=（2， 3）， b=（4 ， -1+y），且 a

12、 b，則 y=（）A.6 B.5 C.7 D.82. 若 A（x，-1），B（1，3），C（2，5）三點共線，則 x 的值為（A.-3 B.-1 C.1 D.33. 若 AB =i+2j， DC =（3-x）i+（4-y）j（其中 i、j的方向分別與 x、y軸正方向相同且為單位向量 ）. AB 與DC 共 線，則 x、y 的值可能分別為（）A.1， 2 B.2，2 C.3，2D.2，44. 已知 a=（4， 2），b=（6 ， y），且 ab，則 y= .5. 已知 a=（1，2），b=（x，1），若 a+2b與 2a-b平行，則 x的值為.6. 已知 ABCD 四個頂點的坐標為 A（5，7）

13、， B（3，x），C（2，3）， D（4，x），則 x= .7. 已知 A（3,5）,B（6,9） ，且 AM 3MB ，M 是直線 AB 上的點，求點 M 的坐標 .作業(yè)：練習，優(yōu)化鞏固、課時訓練、 A 組 5. B 組 1,22.4平面向量的數(shù)量積一、 平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義一、復習：1 向量共線定理 2平面向量基本定理： 3平面向量的坐標表示 4平面向量的坐標運算5 a b （ b 0 ）的充要條件是 x1y2-x2y1=06線段的定比分點及 7. 定比分點坐標公式：8. 點 P 的位置與 的范圍的關系 9.線段定比分點坐標公式的向量形式 10兩個非零向量夾角的概念引入力做的

14、功：W = |F| |s|cos ， 是 F 與 s 的夾角 .二、講解新課：1. 平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量 與 ，它們的夾角是 ，則數(shù)量 |a|b|cos 叫與的數(shù)量積（或 ），記作 a b，即有 a b = |a|b|cos ，規(guī)定 0 與任何向量的數(shù)量積為 0. 探究：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別（ 1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cos 的符號所決定 .（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a b；今后要學到兩個向量的外積 a×b，而 a b是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分 .符號“· ”在向量運算中不是乘號，既

15、不能省略，也不能用“×”代替 .(3) 在實數(shù)中，若 a 0，且 a b=0，則 b=0；但是在數(shù)量積中，若 a 0，且 a b=0，不能推出 b=0.因為其中 cos 有可能為 0.( 4)已知實數(shù) a、b、c(b 0)，則 ab=bc a=c .但是 ab = bc a = c如右圖： a b = |a|b|cos = |b |OA|， b c = |b|c|cos = |b|OA| a b = bc 但 a c(5)在實數(shù)中，有 (ab)c = a(b c)，但是 (a b)c a(bc)顯然，這是因為左端是與 c共線的向量，而右端是與 a共線的向量，而一般 a與 c不共線.2

16、.投影的定義： .投影也是一個數(shù)量， 不是向量； 當 為銳角時投影為正值； 當 為鈍角時投影為負值； 當 為直角時投影為 0； 當 = 0 時投影為 |b|；當 = 180 時投影為 |b|.“投影”的概念：作圖3. 向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積 ab 等于 a 的長度與 b 在 a 方向上投影 |b|cos 的乘積 .4. 兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設 a、 b為兩個非零向量， e是與 b 同向的單位向量 .1 ea = ae =|a|cos (定義)2 a b ab = 0 3 當 a與 b同向時， ab = |a|b|；當 a與 b反向時， ab = |a|b|. 特別的 aa = |

17、a|2或|a| a aab4 定義得： cos = 5 |ab| |a|b| |a |b|5. 兩個向量的數(shù)量積的運算律： ( 1)(2)(3)( 演示證明 )類似結(jié)論： (完全平方 );( 平方差)三、舉例運用題型一：求向量數(shù)量積：例 1 已知 |a|=5， |b|=4， a 與 b 的夾角 =120o，求 a· b.例 2 已知 |a|=6， |b|=4， a與 b 的夾角為 60o求(a+2b) · (a-3b).變式：已知 ， ，當 ， ， 與的夾角是 60°時，分別求 ·. 題型二：求向量的模例 3.已知 |a|=2，|b|=5，(ab) &#

18、183;a，則 |a+b|=，|a-2b|=.題型三：求向量的夾角例 4 已知 a、 b都是非零向量，且 a + 3b與 7a 5b垂直， a 4b與7a 2b垂直，求 a與 b的夾角 . 變式.已知 |a|=1， |b|= 2 ，且(a-b)與 a 垂直，則 a 與 b的夾角是()A.60 °B.30°C.135°D.°題型四：兩向量垂直運用例 5 已知 a、b 都是不共線向量且 2a b a 2b ，求證： (a b) (a b) 。變式 ：已知 |a|=3， |b|=4， 且 a 與 b 不共線， k 為何值時，向量 a+kb 與 a-kb 互相垂

19、直。題型五：判斷平面圖形的形狀例 6 四邊形 ABCD 中， AB ， BC ， CD ， DA ，且 · · · ·，試問四邊形ABCD 是什么圖形 ?(邊形 ABC 中 AB CA 0 則三角形形狀是 ) (課時)四、課堂練習： 1. 設 |a|=3，|b|=5，且 a+b 與 a b 垂直，則 .332. |a|=3，|b|=4，向量 a+ b與 a- b的位置關系為( )44A. 平行B.垂直C.夾角為D. 不平行也不垂直33. 已知 |a|=3， |b|=4，且 a 與 b 的夾角為 150°，則 (a+b) .4. 7.已知|a|=

20、1，|b|= 2，(1)若 ab，求 a·b；(2)若 a、 b的夾角為°，求 |a+b|；(3)若 a-b與 a垂直， 求 a 與 b 的夾角 .5已知 ab、c 與 a、b 的夾角均為 60°，且 |a|=1，|b|=2，|c|=3，則 (a+2b-c) .6.對于兩個非零向量 a、b，求使 |a+tb|最小時的 t值，并求此時 b與 a+tb的夾角 .作業(yè)： p106 練習課時優(yōu)化(鞏固) 2.3A 組 1234,678B 組 1 §2.4.3平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角 一、復習引入：1兩個非零向量夾角的概念2平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義3

21、向量的數(shù)量積的幾何意義：4兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：5平面向量數(shù)量積的運算律二、講解新課： 平面兩向量數(shù)量積的坐標表示已知兩個非零向量 a (x1,y1) ，b (x2,y2)，試用 a和 b的坐標表示 a b.兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和.即 a b x1x2 y1 y22. 平面內(nèi)兩點間的距離公式(1)設 a (x,y)，則 |a|2 x2 y2或|a| x2 y2.(x1, y1)、 (x2,y2)，那么2)如果表示向量 a 的有向線段的起點和終點的坐標分別為|a| (x1 x2)2 (y1 y2)2 (平面內(nèi)兩點間的距離公式 )3. 向量垂直的判定設a (x1,y1)，b (x2,y2)，則 a bx1x2 y1y2 04. 兩向量夾角的余弦（ 0 ）cos = a b 2 x1x22 y1y22 2|a | |b|x12 y12 x22 y225. 投影的坐標表示 （ 學自探究 ）6. |a b| |a|b|的坐標表示 .三、范例 題型一：數(shù)量積的坐標運算 例1：設 a = （5， 7），b = （ 6， 4），（3a-b）·（a-2b）及a·b間的夾角 （精確到 1o） 變式： 已知 a = （3， 1），b = （1， 2） ，求滿足 xa = 9與 xb = 4的向量 x. 題型二：垂直問