平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及部分訓(xùn)練題

1、第五章 平面向量一、向量的相關(guān)概念：1. 向量的概念： 我們把既有大小又有方向的量叫向量注意：數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大?。幌蛄坑蟹较?，大小，雙重性，不能比較大小2、向量的表示方法：幾何表示法：用有向線段表示；用字母 a 、b 等表示；用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：AB ；坐標(biāo)表示法： a xi yj （x,y）3、向量的模： 向量 AB 的大小長(zhǎng)度稱為向量的模，記作| AB |.4、特殊的向量： 長(zhǎng)度為 0 的向量叫零向量，記作 0 0的方向是任意的 長(zhǎng)度為 1 個(gè)單位 長(zhǎng)度的向量，叫單位向量 . 說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方

2、向.5、相反向量： 與 a 長(zhǎng)度相同、方向相反的向量 記作 a6、相等的向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量 . 向量 a 與 b 相等，記作 a b ；記作 a/ b 平行向量也稱7、平行向量 （ 共線向量 ） ：方向相同或相反的向量，稱為平行向量 為共線向量8、兩個(gè)非零向量夾角的概念：已知非零向量 a 與b，作 OAa，OB b ，則AOB 0 叫 a 與 b 的夾角說明：（1）當(dāng)0時(shí)，a 與b同向；（2）當(dāng)時(shí)，a 與b反向；（3）當(dāng)時(shí)，a 與b2垂直，記 a b ；規(guī)定零向量和任意向量都垂直。 （ 4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須 是同起點(diǎn)的 范圍 0 1809、實(shí)數(shù)與向量的積

3、：實(shí)數(shù) 與向量 a 的積是一個(gè)向量，記作 a ，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（） a a ； （）當(dāng)0 時(shí)， a 的方向與 a 的方向相同；當(dāng) 0 時(shí)， a 的方向與 a 的方向相反；當(dāng)0時(shí)， a 0 ，方向是任意的10、兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量 a 與 b ，它們的夾角為 ，則 a b |a | |b |cos叫做 a 與b的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定 0 a 011、向量的投影 ：定義： | b |cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影，投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng) 為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng) 為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng) 為直角時(shí)投影為 0；當(dāng) = 0時(shí)投影為 | b | ；當(dāng) = 180

4、 時(shí)投影為|b|bcos a b R，稱為向量 b在 a 方向上的投影 投影的絕對(duì)值稱為射影 |a|二、重要定理、公式：1 、平面向量基本定理： e1 ， e2 是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么，對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)1, 2 ，使 a 1 e1 2 e2（1）平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與 x軸、 y軸方向相同的兩個(gè)單位向量 i 、 j 作為基 底 任作一個(gè)向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x 、 y ，使得a xi y j 1我們把 （ x, y）叫做向量 a 的（直角）坐標(biāo)，記作a （x, y） 2其中 x 叫做 a 在 x軸上的

5、坐標(biāo)， y叫做 a在 y軸上的坐標(biāo)，2 式叫做向量的坐標(biāo)表示與a 相等的向量的坐 標(biāo)也為 (x,y)特別地， i (1,0) ， j (0,1) ，0 (0,0)(2) 若 A(x1, y1)， B(x2,y2)，則 AB x2 x1,y2 y1 一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)2、兩個(gè)向量平行的充要條件向量共線定理： 向量 b與非零向量 a 共線的充要條件是： 有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù) ，使 b a設(shè)a (x1,y1)，b (x2,y2)，則 a/ b a b x1y2 x2y1 0a b a b 0x1x2 y1y2 03、兩個(gè)向量垂直的充要條件設(shè) a (x1,y

6、1) ， b (x2,y2) ，則4、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式1)設(shè) a (x, y) ，則 |a|2 x2 y2或|a| x2 y22)如果表示向量 a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1) 、B(x2, y2)，那么| AB|x1 x2 2 y1 y2 2 ( 平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 )5、兩向量夾角的余弦 ( 0)cos a b|a| |b |x1x2 y1y2三、向量的運(yùn)算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量(內(nèi)積)及其各運(yùn)算 的坐標(biāo)表示和性質(zhì)a (x1,y1)， b (x2,y2)運(yùn)算 類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向 量 的 加 法1 平行四邊形法則a b b a2 三

7、角形法則 (首尾相接， 首尾連)a b (x1 x2, y1 y2)(a b) c a (b c)AB BC AC向 量 的 減 法三角形法則 （首首相接， 尾尾相連， 指向被減）a b (x1 x2,y1 y2)a b a ( b)AB BAOB OA AB向 量 的 乘 法實(shí)數(shù) 與向量 a 的積是一個(gè)向量， 記作： a（1） a a（2）0 時(shí)， a 與 a 同向；當(dāng)0 時(shí)， a 與 a 異向；當(dāng) 0 時(shí)， a 0 。任意方向a ( x, y)( a) aa a a(a b) a b a/ b a b向 量 的 數(shù) 量 積a b |a | |b |cos ，01 a 0或 b 0 時(shí),a

8、b 02 a 0且 b 0 時(shí),a b |a|b|cos a,ba b x1x2 y1 y2 向量的數(shù)量積的幾何意 義：數(shù)量積 a b 等于 a 的長(zhǎng)度與 b 在 a 方向上投影 |b| cos 的乘積ab b a( a) b a ( b) (a b) (a b) c a c b c|a|2 a 或|a| x2 y2|ab| |a|b|a b a b 0abcos|a| |b|特別注意：（1）結(jié)合律不成立：a (b c) (a b) c ；2）消去律不成立不能得到 b c（3） a b 0不能得到 a=0或b =0乘法公式成立：2222（a b）（a b） a b |a|2 |b|222（a

9、b）2 a 2a b b |a|2 2a b |b|2線段的定比分點(diǎn)公式 : 設(shè)點(diǎn) P分有向線段 P1P2 所成的比為 ，即 P1P PP2 ，則x1x2x,1 （ 線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式 ） y y1 y2 . y.1x1 x2當(dāng)1 時(shí)，得中點(diǎn)公式：1OP （ OP1 OP2 ）或212x2 y y1 y2 y2平移公式：則 OP 設(shè)點(diǎn) P（x， y）按向量 a x x h, y y k.OP +a 或曲線 y f（x）按向量 a （ ，）（ ，）平移后得到點(diǎn) P（ x， y），平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為： yf（x ）正弦定理其中R 表示三角形的外接圓半徑）1） a b2Rsin A

10、sin B sinC2）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCabsinA ,sin AB ,sinC 2R 2R 余弦定理3）c,2R,1）2 2 2b =a c 2ac cos B2）3）222 bca cosA 2bc1 111S a ha； Sbcsin Aab sin Cac sin B ；2a 222附： ABC的判定 ：222c2 a2 b2 ABC為直角A + B =22 2 2c < a bABC為鈍角A + B<22 2 2c > a2 b2 ABC為銳角A + B>2附：證明：cosCa2 b2 c2ab得在鈍角 ABC中， cosC

11、 0 a2 b2 c2 0 a2 b2 c2 在 ABC中，有下列等式成立 tanA tanB tanC tan A tan B tan C .證明：因?yàn)锳 B C, 所以 tan A B tan C ，所以tanA tanBtanC ，1 tan A tan B結(jié)論！三角形的四個(gè)“心” ；重心 ：三角形三條中線交點(diǎn) .外心 ： 三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn) .內(nèi)心 ： 三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn) . 垂心 ： 三角形三邊上的高相交于一點(diǎn) .非零向量 a 與 a 有關(guān)系是 ： a 是 a 方向上的單位向量練習(xí)題：、平面向量的概念及其運(yùn)算1、若向量 a 、b 滿足 a b a b ，則 a

12、 與 b 必須滿足的條件為a,b 方向相同2、若 AB b, AC c ，則 BC 等于(Abcbcbc3、正六邊形 ABCDEF中， BA CDEFABE CDCF4、在邊長(zhǎng)為 1 的正方形 ABCD中，設(shè) AB a,AD b, ACc ，則5、在 ABC 中，已知BC 3BD ，則 AD 等于( AA1(AC 2AB)3 1(AB 2AC) 1 (AC 3AB)4D1 (AC 2AB)46、在 ABC中， E、F 分別是 AB和 AC的中點(diǎn)，ABa, AC b ，則 EF等于( CA11 (a b)21 1 (a b) C212 (b a)112(a b)7、已知：向量 a,b同向，且 a

13、 3, b 7，則 2a二、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示8、若 AB 3e1,CD 5e1，且 AD BC ，則四邊形 ABCD是( C )A 是平行四邊形 B 菱形 C 等腰梯形 D 不等腰梯形9、已知 A( 2,4), B(3, 1),C( 3, 4)且CM 3CA,CN 2CB ，試求點(diǎn) M、N和MN 的坐標(biāo) 199 頁答案： M (0,20), N(9,2), MN ( 9, 18)10、已知向量 a ( 3, 4) ，則與 a 同向的單位向量是( A )3 43 4A( , ) B( , ) C( 3, 4) D (3,4)5 55 511、已知 A( 3,2), AB (8,0)

14、，則線段 AB中點(diǎn)的坐標(biāo)是( 1，2)12、若三點(diǎn) P(1,1), A(2, 4),B(x, 9)共線，求 x (答案： x 3 )13、若向量 a (x 3, x2 3x 4)與 AB相等地，已知 A( 1,2), B(1,2) ，則 x 的值為( A ) A -1 B -1 或-4 C 4 D 1 或 4三、線段的定比分點(diǎn)14、已知 A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，且 A( 3， -6 )， B( -5 ， 2)，若點(diǎn) C的橫坐標(biāo)為 6，求 點(diǎn) C分 AB 所成的比及點(diǎn) C的縱坐標(biāo)(答案： 3 , 9 )1115、若線段 AB的端點(diǎn) A(lg x,lg y), B( 6,3) ，中點(diǎn) M(

15、2,0) ，則 x 100 、16、已知 O(0,0)和 A(6，3)兩點(diǎn)，若點(diǎn) P在直線 OA上，且 OP 1PA，又 P是OB 的中點(diǎn)，則2 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為( 4， 2)3917、已知直線 l與 x軸， y軸分別交于點(diǎn) A、B， AOB的重心為( -1 ，3)，則 AB中點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 3,118 11 A( 0，1)B( -8， 3 )C( 0，1)或 (2, 3 )D( 3 ， 3 ) 3 333 19、已知點(diǎn) A(x,5)關(guān)于 P(1, y) R 對(duì)稱點(diǎn)是 B( 2, 3)，則點(diǎn) ( x, y)到原點(diǎn)的距離是(D ) A 13B 15C4D 17)2218、已知三個(gè)點(diǎn) A( 2,1)

16、, B(1,4), D(4, 3)，點(diǎn) C在AB上，且 2AC CB ，連結(jié) DC并延長(zhǎng)至 E，使1CE 4DE，則 E點(diǎn)的坐標(biāo)為( D )四、平面向量的數(shù)量積20、已知， a 2,b 3,a b 3 3 ，則 a 與 b 的夾角等于30o21、22、已知 b 5，且 a b 12 ，則向量 a在b 方向上的投影為125已知 ABCD為菱形，則 （AB BC） （AB AD） 的值為23、已知向量 a 與 b的夾角為 120o ，且 a 4, b 2，1）求 a 在 b 方向上的投影2)求 3a 4b3）若向量答案：（1）a kb 與 5a b 垂直，求實(shí)數(shù)19-2，（2）4 7 ，（ 3）

17、19 ）4k 的值24、已知 a 、b 滿足 a 1, b 1 且 (a b)23 ，則 a b25、若 a b a b ，且 a 與 b 不共線，則 a 與 b 的夾角為90o26、已知a 2 13,b ( 2,3) ，且 a b ，求 a 的坐標(biāo)27、A已知 a ( 2, 1),b ( ,1) ，若 a與 b的夾角為鈍角，則11( ,2) (2, )B (2, )C ( , )22B (2, )的取值范圍是（ A1D （ , ）228、已知 a （6,0）, b （ 5,5） ，則 a 與 b 的夾角為135o29、1已知 A（3,2）,B（ 1, 1），若點(diǎn) P（x, ） 在線段 AB的

18、中垂線上，則 x=五、平移30、把點(diǎn) A（3，4），按 a （1,2）平移，求對(duì)應(yīng)點(diǎn) A 的坐標(biāo) （x,y ） （答案（ 4，6）2x 1 2x 731、把函數(shù) y3 的圖象 l 按a （ 1,2）平移得到 l ，求 l 的函數(shù)解析式（答案 y 3 ）3332、一個(gè)向量把點(diǎn)（ 2，-1）平移到（ -2，1），它把點(diǎn)（ -2， 1）平移到（A ）A （2, 1）B（-2，1）C（ 6，-3）D（-6，3）233、若向量 a 使點(diǎn)（ 3，-9）平移到點(diǎn)（ 1，1），則將函數(shù) y 3x2 12x 2 的圖象，按 a平移后的解析式為（ A ）A y 3x222B y 3(x 2)2C y 3(x 2)2 102D y 3(x 2) 2 1034、已知 A（5，7）、B（2，3），將 AB 按向量 a （4,1）平移后的坐標(biāo)為-3，-4）六、解斜三角形35、ABC 中，已知45o,A 30o,a 2 2，求 b答案：36、ABC 中，已知45o,b 2,c 1 ，求 a答案37、ABC 中，已知B 150o,a 3 3,c 2 ，求 b答案7）38、ABC 中，1) A 120o,b 3,c 5 ，求 sinB sinC2) (a b c)(a b c