數(shù)學模型第二章習題答案

1、15速度為的風吹在迎風面積為的風車上，空氣密度是 ，用量綱分析方法確定風車獲得的功率與、S、的關(guān)系.解: 設(shè)、S、的關(guān)系為， 其量綱表達式為:P=, =,=,=,這里是基本量綱.量綱矩陣為：A=齊次線性方程組為：它的基本解為由量綱定理得， ， 其中是無量綱常數(shù).16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達式.解：設(shè), 的關(guān)系為,=0.其量綱表達式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=

2、LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量綱定理 得 . ，其中是無量綱常數(shù).16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)、特征尺寸和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達式.解：設(shè),， 的關(guān)系為.其量綱表達式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T0 ，=LM0T-2其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為A=齊次線性方程組Ay=

3、0 即 的基本解為 得到兩個相互獨立的無量綱量即 . 由 , 得 , 其中是未定函數(shù). 20.考察阻尼擺的周期，即在單擺運動中考慮阻力，并設(shè)阻力與擺的速度成正比.給出周期的表達式，然后討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計算原型擺的周期.解：設(shè)阻尼擺周期,擺長, 質(zhì)量,重力加速度，阻力系數(shù)的關(guān)系為其量綱表達式為：， 其中，是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組 的基本解為得到兩個相互獨立的無量綱量, , ，其中是未定函數(shù) . 考慮物理模擬的比例模型，設(shè)和不變，記模型和原型擺的周期、擺長、質(zhì)量分別為,；,;,. 又 當無量綱量時， 就有 .（三）2建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型設(shè)生

4、產(chǎn)速率為常數(shù)，銷售速率為常數(shù)，在每個生產(chǎn)周期內(nèi)，開始的一段時間一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來的一段時間只銷售不生產(chǎn)，畫出貯存量的圖形.設(shè)每次生產(chǎn)準備費為，單位時間每件產(chǎn)品貯存費為，以總費用最小為目標確定最優(yōu)生產(chǎn)周期，討論和的情況. 解：由題意可得貯存量的圖形如下：O 貯存費為 又 , 貯存費變?yōu)?于是不允許缺貨的情況下，生產(chǎn)銷售的總費用（單位時間內(nèi)）為 . , 得 易得函數(shù)取得最小值，即最優(yōu)周期為： . 相當于不考慮生產(chǎn)的情況. . 此時產(chǎn)量與銷量相抵消，無法形成貯存量.3在3.3節(jié)森林救火模型中，如果考慮消防隊員的滅火速度與開始救火時的火勢有關(guān)，試假設(shè)一個合理的函數(shù)關(guān)系，重新求解模型.解：考慮滅火速

5、度與火勢有關(guān)，可知火勢越大，滅火速度將減小，我們作如下假設(shè): ，分母而加的.總費用函數(shù)最優(yōu)解為 1.對于5.1節(jié)傳染病的模型，證明： （1）若，然后減少并趨于零；單調(diào)減少至 （2）解：傳染病的模型（14）可寫成 （1） （2） 4在5.3節(jié)正規(guī)戰(zhàn)爭模型（3）中，設(shè)乙方與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比為初始兵力相同. (1) 問乙方取勝時的剩余兵力是多少,乙方取勝的時間如何確定. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負. 解:用表示甲、乙交戰(zhàn)雙方時刻t的士兵人數(shù),則正規(guī)戰(zhàn)爭模型可近似表示為: 現(xiàn)求(1)的解: (1)的系數(shù)矩陣為.再由初始條件，得又由其解

6、為 (1) 即乙方取勝時的剩余兵力數(shù)為又令注意到. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率增援.則 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為（七）1.在6.1節(jié)捕魚模型中，如果漁場魚量的自然增長仍服從Logistic規(guī)律，而單位時間捕撈量為常數(shù)h(1)分別就，這3種情況討論漁場魚量方程的平衡點及其穩(wěn)定狀況(2)如何獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，其結(jié)果與6.1節(jié)的產(chǎn)量模型有何不同解：設(shè)時刻t的漁場中魚的數(shù)量為，則由題設(shè)條件知：變化規(guī)律的數(shù)學模型為記(1).討論漁場魚量的平衡點及其穩(wěn)定性：由，得 即 ，(1)的解為：當，(1)無實根，此時無平衡點；當，(1)有兩個相等的實根，平衡點

7、為.， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即不穩(wěn)定；當，時，得到兩個平衡點：， 易知： ， ， ，平衡點不穩(wěn)定，平衡點穩(wěn)定x(2)最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學模型為即 ， 易得 此時 ，但這個平衡點不穩(wěn)定這是與6.1節(jié)的產(chǎn)量模型不同之處要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應使?jié)O場魚量，且盡量接近，但不能等于2.與Logistic模型不同的另一種描述種群增長規(guī)律的是Gompertz模型：其中r和N的意義與Logistic模型相同設(shè)漁場魚量的自然增長服從這個模型，且單位時間捕撈量為討論漁場魚量的平衡點及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)產(chǎn)量及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強度和漁場魚量水平解：變化規(guī)律的數(shù)學模型為 記 令，得 ，平衡點為 . 又，

8、平衡點是穩(wěn)定的，而平衡點不穩(wěn)定. 0 最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學模型為：由前面的結(jié)果可得 ，令得最大產(chǎn)量的捕撈強度從而得到最大持續(xù)產(chǎn)量，此時漁場魚量水平3設(shè)某漁場魚量(時刻漁場中魚的數(shù)量)的自然增長規(guī)律為：其中為固有增長率,為環(huán)境容許的最大魚量. 而單位時間捕撈量為常數(shù).1求漁場魚量的平衡點,并討論其穩(wěn)定性;2試確定捕撈強度,使?jié)O場單位時間內(nèi)具有最大持續(xù)產(chǎn)量,求此時漁場魚量水平.解：1變化規(guī)律的數(shù)學模型為 記,令 ，即 -（1） ， （1）的解為： 當時，（1）無實根，此時無平衡點； 當時，（1）有兩個相等的實根，平衡點為. ， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即不穩(wěn)定； 當時，得到兩個平衡點： ，

9、 易知 ， ， 平衡點不穩(wěn)定 ，平衡點穩(wěn)定. 2最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學模型為： 即 ， 易得 此時 ，但這個平衡點不穩(wěn)定.要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應使?jié)O場魚量,且盡量接近,但不能等于. 第九章（2008年12月18日）1在節(jié)傳送帶效率模型中,設(shè)工人數(shù)固定不變.若想提高傳送帶效率D,一種簡單的方法是增加一個周期內(nèi)通過工作臺的鉤子數(shù)，比如增加一倍，其它條件不變另一種方法是在原來放置一只鉤子的地方放置兩只鉤子，其它條件不變，于是每個工人在任何時刻可以同時觸到兩只鉤子，只要其中一只是空的，他就可以掛上產(chǎn)品，這種辦法用的鉤子數(shù)量與第一種辦法一樣試推導這種情況下傳送帶效率的公式，從數(shù)量關(guān)系上說明這種辦法比第一種辦

10、法好解：兩種情況的鉤子數(shù)均為第一種辦法是個位置，單鉤放置個鉤子；第二種辦法是個位置，成對放置個鉤子 由節(jié)的傳送帶效率公式，第一種辦法的效率公式為當較小，時，有， 下面推導第二種辦法的傳送帶效率公式：對于個位置，每個位置放置的兩只鉤子稱為一個鉤對，考慮一個周期內(nèi)通過的個鉤對任一只鉤對被一名工人接觸到的概率是； 任一只鉤對不被一名工人接觸到的概率是；記由工人生產(chǎn)的獨立性及事件的互不相容性得，任一鉤對為空的概率為，其空鉤的數(shù)為；任一鉤對上只掛上件產(chǎn)品的概率為，其空鉤數(shù)為所以一個周期內(nèi)通過的個鉤子中，空鉤的平均數(shù)為 于是帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是 ，未帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是 ）此時傳送帶效率公式為 近似效率公式：

11、由于 當時，并令，則 兩種辦法的比較：由上知：，當時， 所以第二種辦法比第一種辦法好2.一報童每天從郵局訂購一種報紙，沿街叫賣.已知每100份報紙報童全部賣出可獲利7元.如果當天賣不掉，第二天削價可以全部賣出，但報童每100份報紙要賠4元.報童每天售出的報紙數(shù)是一隨機變量，其概率分布如下表：售出報紙數(shù)（百份）012345概率0050.10.250.350.150.1試問報童每天訂購多少份報紙最佳(訂購量必須是100的倍數(shù))？解：設(shè)每天訂購百份紙，則收益函數(shù)為 收益的期望值為G(n) = + 現(xiàn)分別求出 =時的收益期望值. G(0)=0；G(1)=×0.05+7×0.1+7&

12、#215;（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45;G(2)= ();G(3)=() G(4)=() G(5)= 當報童每天訂300份時，收益的期望值最大. 5某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)每件產(chǎn)品需要原材料、能源消耗、勞動力及所獲利潤如下表所示：品種原材料能源消耗(百元)勞動力(人)利潤(千元)甲2144乙3625現(xiàn)有庫存原材料1400千克；能源消耗總額不超過2400百元；全廠勞動力滿員為2000人.試安排生產(chǎn)任務(wù)(生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品各多少件),使利潤最大,并求出最大利潤.解：設(shè)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件，相應的利潤為S.則此問題的數(shù)學模型為 模型的求解： 用圖解法.可行域為：由直線組成的凸五邊形區(qū)域. 直線在此凸五邊形區(qū)域內(nèi)平行移動. 易知：當過的交點時，S取最大值. 由 解得：（千元）. 故安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品400件、乙產(chǎn)品200件,可使利潤最大,其最大利潤為2600千元. 7.深