平行四邊形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及對(duì)應(yīng)例題

1、 平行四邊形、矩形、菱形、正方形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形平行四邊形的性質(zhì)：（1）：平行四邊形對(duì)邊相等 (即：AB=CD,AD=BC)；（2）：平行四邊形對(duì)邊平行 (即：AB/CD,AD/BC)；（3）：平行四邊形對(duì)角相等 (即：A=C,B=D)；（4）：平行四邊形對(duì)角線互相平分 (即：OA=OC，OB=OD)； 判定方法：1. 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義判定法）； 2. 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；3. 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；4. 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；5. 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形； 考點(diǎn)1 特

2、殊的平行四邊形的性質(zhì)與判定1矩形的定義、性質(zhì)與判定（1）矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。（2）矩形的性質(zhì)：矩形的對(duì)角線_；矩形的四個(gè)角都是_角。矩形具有_的一切性質(zhì)。矩形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有_條，矩形也是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為_的交點(diǎn)。矩形被對(duì)角線分成了_個(gè)等腰三角形。（3）矩形的判定有一個(gè)是直角的平行四邊形是矩形；有三個(gè)角是_的四邊形是矩形；對(duì)角線_的平行四邊形是矩形。溫馨提示：矩形的對(duì)角線是矩形比較常用的性質(zhì)，當(dāng)對(duì)角線的夾角中，有一個(gè)角為60度時(shí)，則構(gòu)成一個(gè)等邊三角形；在判定矩形時(shí)，要注意利用定義或?qū)蔷€來判定時(shí)，必須先證明此四邊形為平行四邊形，然后再請(qǐng)一個(gè)角為直角或?qū)?/p>

3、線相等。很多同學(xué)容易忽視這個(gè)問題。2菱形的定義、性質(zhì)與判定（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。（2）菱形的性質(zhì)菱形的_都相等；菱形的對(duì)角線互相_，并且每一條對(duì)角線_一組對(duì)角；菱形也具有平行四邊形的一切性質(zhì)。菱形即是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有_條。（3）菱形的面積菱形的面積=底×高，菱形的面積=ab，其中a，b分別為菱形兩條對(duì)角線的長。菱形被對(duì)角線分成了4個(gè)全等的直角三角形。（4）菱形的判定：_都相等的四邊形是菱形；對(duì)角線_的平行四邊形是菱形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。溫馨提示：在利用菱形的判定時(shí)，也要注意所要證明的四邊形是不是平行四邊形，而你用的判定定理需不需要證明

4、它是平行四邊形，有對(duì)角線時(shí)，通常考慮利用對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形來證明，否則一般不利用此定理。3正方形的性質(zhì)及判定方法（1）正方形的性質(zhì)：正方形的四個(gè)角都是_，四條邊都_；正方形的兩條對(duì)角線_，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形即是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形。正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（2）正方形的判定方法：有一組鄰邊相等的_是正方形；對(duì)角線互相_的矩形是正方形；有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；對(duì)角線_的菱形是正方形。溫馨提示：無論是正方形的性質(zhì)還是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都從這個(gè)出發(fā)，則一切的性質(zhì)與判定就都有了。但要注

5、意在利用對(duì)角線判定正方形時(shí)，“平分”這個(gè)前提，因?yàn)橹挥袑?duì)角線平分了，此四邊形才是平行四邊形了，然后再證明是矩形又是菱形。一正確理解定義（1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形平行四邊形的定義揭示了圖形的最本質(zhì)的屬性，它既是平行四邊形的一條性質(zhì)，又是一個(gè)判定方法（2）表示方法：用“ ”表示平行四邊形，例如：平行四邊形ABCD記作 ABCD，讀作“平行四邊形ABCD”2熟練掌握性質(zhì)平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)和判定都是從 邊、角、對(duì)角線 三個(gè)方面的特征進(jìn)行簡述的（1）角：平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；（2）邊：平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行且相等；（3）對(duì)角線：平行四邊形的 對(duì)角線互相平分；（4）面

6、積：； 平行四邊形的對(duì)角線將四邊形分成4個(gè)面積相等的三角形3平行四邊形的判別方法定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形 方法1：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形方法2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 方法3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形方法4：一組平行且相等的四邊形是平行四邊形二、幾種特殊四邊形的有關(guān)概念（1）矩形：有一個(gè)角是直角 的平行四邊形 是矩形，它是研究矩形的基礎(chǔ)，它既可以看作是矩形的性質(zhì)，也可以看作是矩形的判定方法，對(duì)于這個(gè)定義，要注意把握： 平行四邊形； 一個(gè)角是直角，兩者缺一不可（2）菱形：有一組鄰邊相等 的平行四邊形 是菱形，它是研究菱形的基礎(chǔ)，它既可以看作

7、是菱形的性質(zhì)，也可以看作是菱形的判定方法，對(duì)于這個(gè)定義，要注意把握： 平行四邊形； 一組鄰邊相等，兩者缺一不可（3）正方形：有一組鄰邊相等且有一個(gè)直角 的平行四邊形 叫做正方形，它是最特殊的平行四邊形，它既是平行四邊形，還是菱形，也是矩形，它兼有這三者的特征，是一種非常完美的圖形（4）梯形：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形，對(duì)于這個(gè)定義，要注意把握：一組對(duì)邊平行； 一組對(duì)邊不平行，同時(shí)要注意和平行四邊形定義的區(qū)別，還要注意腰、底、高等概念以及梯形的分類等問題（5）等腰梯形：是一種特殊的梯形，它是兩腰相等 的梯形，特殊梯形還有直角梯形2幾種特殊四邊形的有關(guān)性質(zhì)（1）矩形： 邊：對(duì)邊

8、平行且相等； 角：對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)；對(duì)角線：對(duì)角線互相平分且相等； 對(duì)稱性：軸對(duì)稱圖形（對(duì)邊中點(diǎn)連線所在直線，2條）（2）菱形：邊：四條邊都相等； 角：對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)；對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直平分且每條對(duì)角線平分每組對(duì)角； 對(duì)稱性：軸對(duì)稱圖形（對(duì)角線所在直線，2條）（3）正方形：邊：四條邊都相等； 角：四角相等；對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線與邊的夾角為450； 對(duì)稱性：軸對(duì)稱圖形（4條）（4）等腰梯形：邊：上下底平行但不相等，兩腰相等； 角：同一底邊上的兩個(gè)角相等；對(duì)角互補(bǔ)對(duì)角線：對(duì)角線相等； 對(duì)稱性：軸對(duì)稱圖形（上下底中點(diǎn)所在直線）3幾種特殊四邊形的判定方法（1）矩形的判定：

9、滿足下列條件之一的四邊形是矩形有一個(gè)角是直角的平行四邊形； 對(duì)角線相等的平行四邊形； 四個(gè)角都相等（2）菱形的判定：滿足下列條件之一的四邊形是矩形有一組鄰邊相等的平行四邊形； 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形； 四條邊都相等（3）正方形的判定：滿足下列條件之一的四邊形是正方形 有一組鄰邊相等 且有一個(gè)直角 的平行四邊形 有一組鄰邊相等 的矩形； 對(duì)角線互相垂直 的矩形 有一個(gè)角是直角 的菱形 對(duì)角線相等 的菱形；（4）等腰梯形的判定：滿足下列條件之一的梯形是等腰梯形 同一底兩個(gè)底角相等的梯形； 對(duì)角線相等的梯形4幾種特殊四邊形的常用說理方法與解題思路分析（1）識(shí)別矩形的常用方法 先說明四邊形ABCD

10、為平行四邊形，再說明平行四邊形ABCD的任意一個(gè)角為直角 先說明四邊形ABCD為平行四邊形，再說明平行四邊形ABCD的對(duì)角線相等 說明四邊形ABCD的三個(gè)角是直角（2）識(shí)別菱形的常用方法 先說明四邊形ABCD為平行四邊形，再說明平行四邊形ABCD的任一組鄰邊相等 先說明四邊形ABCD為平行四邊形，再說明對(duì)角線互相垂直 說明四邊形ABCD的四條相等（3）識(shí)別正方形的常用方法 先說明四邊形ABCD為平行四邊形，再說明平行四邊形ABCD的一個(gè)角為直角且有一組鄰邊相等 先說明四邊形ABCD為平行四邊形，再說明對(duì)角線互相垂直且相等 先說明四邊形ABCD為矩形，再說明矩形的一組鄰邊相等 先說明四邊形ABC

11、D為菱形，再說明菱形ABCD的一個(gè)角為直角（4）識(shí)別等腰梯形的常用方法 先說明四邊形ABCD為梯形，再說明兩腰相等 先說明四邊形ABCD為梯形，再說明同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等 先說明四邊形ABCD為梯形，再說明對(duì)角線相等5幾種特殊四邊形的面積問題 設(shè)矩形ABCD的兩鄰邊長分別為a,b，則S矩形=ab 設(shè)菱形ABCD的一邊長為a，高為h，則S菱形=ah；若菱形的兩對(duì)角線的長分別為a,b，則S菱形= 設(shè)正方形ABCD的一邊長為a，則S正方形=；若正方形的對(duì)角線的長為a，則S正方形= 設(shè)梯形ABCD的上底為a，下底為b，高為h，則S梯形=平行四邊形矩形菱形正方形圖形性質(zhì)1對(duì)邊 且 ；2對(duì)角 ； 鄰角

12、；3對(duì)角線 ；1對(duì)邊 且 ；2對(duì)角 且四個(gè)角都是 ；3對(duì)角線 ；1 對(duì)邊 且四條邊都 ；2對(duì)角 ；3對(duì)角線 且每條對(duì)角線 ；1對(duì)邊 且四條邊都 ；2對(duì)角 且四個(gè)角都是 ；3對(duì)角線 且每條對(duì)角線 ；面積 例1：如圖，菱形ABCD中，B60°，AB2，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、EF、AF，則AEF的周長為（ ）A B C D3 例2：如圖，把矩形沿對(duì)折后使兩部分重合，若，則=（ ）A110° B115° C120° D130°一、選擇題（每題3分，共30分）1(09年河北)如圖，在菱形ABCD中，AB = 5，BCD = B

13、ACD 120°，則對(duì)角線AC等于（ ）A20 B15 C 10 D52（09年廣西南寧）如圖，將一個(gè)長為10cm，寬為8cm的矩形紙片對(duì)折ABCD兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點(diǎn)的連線（虛線）剪下，再打開，得到的菱形的面積為（ ）ABCD3（09年寧波市）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，M、N分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，連接OM、ON、MN，則下列敘述正確的是（ ）AAOM和AON都是等邊三角形 B四邊形MBON和四邊形MODN都是菱形C四邊形AMON與四邊形ABCD是位似圖形 D四邊形MBCO和四邊形NDCO都是等腰梯形ABCDFEOABCDDBCANMO第3題圖AD

14、EPCBF第4題圖 第5題圖4.（09年杭州）如圖，在菱形ABCD中，A=110°，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，EPCD于點(diǎn)P，則FPC=（ ）A35° B45° C50° D55°5. 將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，得到菱形AECF若AB3，則BC的長為( )A1 B2 C D 7正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為（ ）A8 B8 C2 D10 第9題圖9如圖，ABCD的周長是28，ABC的周長是22，則AC的長為( )A6B12C4D8 11（09年甘肅慶陽）如圖，菱形A

15、BCD的邊長為10cm，DEAB，DE=6，則這個(gè)菱形的面積= cm2第13題圖第11題圖13（09白銀市）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，使它為矩形的條件可以是三、解答題（共60分）ODCBA21(本題6分)（09肇慶）如圖 ，ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD相交于O， （1）求證：ABD是正三角形； （2）求 AC的長（結(jié)果可保留根號(hào)） BACDFM第22題圖E22.（09年宜賓）已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，過AB的中點(diǎn)E作AC的垂線EF，交AD于點(diǎn)M，交CD的延長線于點(diǎn)F.（1）求證：AM=DM；（2）若DF=2，求菱形ABCD的周長第24題圖DCBEAF24如圖：已知在中，為邊

16、的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足分別為.（1） 求證：；（2）若，求證：四邊形是正方形. 27(本題10分) 如圖，為直角，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連結(jié)，作，垂足為，連結(jié)，過點(diǎn)作，交于求證：；ABCDFEMEA DB CNM28（2010年寧德市）（本題滿分13分）如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM. 求證：AMBENB； 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM的值最?。划?dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM的值最小，并說明理由； 當(dāng)AMBMCM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長.【答案】解：ABE是等邊三角形，BABE，ABE60°.FEA DB CNMMBN60°，MBNABNABEABN.即BMANBE.又MBNB，AMBENB（SAS）.當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AMCM的值最小.如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處