第八章 組合變形

1、第第8 8章章 組合變形組合變形 8.1 8.1 組合變形和疊加原理組合變形和疊加原理8.2 8.2 拉伸（壓縮）與彎曲的組合拉伸（壓縮）與彎曲的組合8.4 8.4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合8.3 8.3 偏心壓縮和截面核心偏心壓縮和截面核心FaM FF N這類由兩種或兩種以上基本變形組合的情況，稱為這類由兩種或兩種以上基本變形組合的情況，稱為組合變形組合變形。 FFN M mmMF壓縮和彎曲的組合壓縮和彎曲的組合 FeFyyZx彎曲和彎曲的組合彎曲和彎曲的組合 偏心壓縮偏心壓縮 F yF zFrBFBMBFrCFCMCFrBFBFrCFC扭轉(zhuǎn)和彎曲的組合變形扭轉(zhuǎn)和彎曲的組合變形 分析

2、組合變形時(shí)，可先將外力進(jìn)行簡(jiǎn)化或分解，把分析組合變形時(shí)，可先將外力進(jìn)行簡(jiǎn)化或分解，把構(gòu)件上的外力轉(zhuǎn)化成幾組靜力等效的載荷，其中每一組構(gòu)件上的外力轉(zhuǎn)化成幾組靜力等效的載荷，其中每一組載荷對(duì)應(yīng)一種基本變形。載荷對(duì)應(yīng)一種基本變形。這樣，可分別計(jì)算每一種基本變形各自引起的應(yīng)力、這樣，可分別計(jì)算每一種基本變形各自引起的應(yīng)力、內(nèi)力、應(yīng)變和位移，然后將所得結(jié)果疊加，便是構(gòu)件在內(nèi)力、應(yīng)變和位移，然后將所得結(jié)果疊加，便是構(gòu)件在組合變形下的應(yīng)力、內(nèi)力、應(yīng)變和位移，這就是疊加原組合變形下的應(yīng)力、內(nèi)力、應(yīng)變和位移，這就是疊加原理。理。應(yīng)用疊加原理的條件：應(yīng)用疊加原理的條件： 1. 1. 應(yīng)力、內(nèi)力、應(yīng)變和位移與外力成

3、線性關(guān)系。應(yīng)力、內(nèi)力、應(yīng)變和位移與外力成線性關(guān)系。 2. 2. 小變形。小變形。 F1F2拉伸：拉伸： 1NFF AFAF1N彎曲：彎曲： xlFM2zIMy +=zIMyAF N由疊加原理，得由疊加原理，得 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 tNmax, tzIMyAFcNmax,cAFIMyz例：例：簡(jiǎn)易吊車，簡(jiǎn)易吊車，F(xiàn)=20kN，AB為工字鋼梁，為工字鋼梁， =100MPa，試，試選擇工字鋼梁的型號(hào)。選擇工字鋼梁的型號(hào)。 F 解：解：取取AB梁為研究對(duì)象。梁為研究對(duì)象。 0330sin21FFkN6031 FF363cm200Pa10100Nm1020kN30kN5211yxFF作軸力圖和彎矩圖。作軸

4、力圖和彎矩圖。 初選（暫不考慮軸力）：初選（暫不考慮軸力）： maxMWz- -52kN - -20kNm 0AMFF1FAxFAyF1xF1y查型鋼表，選取查型鋼表，選取 20a 號(hào)工字鋼，查得號(hào)工字鋼，查得 23cm578.35cm237AWz再進(jìn)行強(qiáng)度校核再進(jìn)行強(qiáng)度校核 zWMAFmaxNmax363243m10237mN1020m10578.35N1052 MPa99所以，初選所以，初選 20a 工字鋼適用，無(wú)需重選。工字鋼適用，無(wú)需重選。 例：例：壓力機(jī)機(jī)架壓力機(jī)機(jī)架, F = 1250kN, =100MPa, =140MPa, 試校核機(jī)架立柱試校核機(jī)架立柱 部分的強(qiáng)度。部分的強(qiáng)度。

5、 tc解：解：1.1. 求偏心距求偏心距 e ： 2cm)675 . 9755 .17(A2cm676cm5 .66cm)5 .3630(e2. 2. 計(jì)算慣性矩計(jì)算慣性矩 Iz 423cm755 .175 .365 .3712755 .17zI 3249.5 6733.531.59.5 67cm1245cm103.763. 3. 計(jì)算內(nèi)力計(jì)算內(nèi)力 kN1250N FFkN1250m105 .662 eFMmkN8314.4.強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核 zIMyAF1Nmax, tPa1076. 3105 .36108311067610125032343tMPa1 .99AFIMyzN2max, cPa

6、106761012501076. 3105 .381083143323cMPa6 .66所以，立柱部分滿足強(qiáng)度條件。所以，立柱部分滿足強(qiáng)度條件。 壓力與軸線平行但不與軸線重合時(shí)，即為壓力與軸線平行但不與軸線重合時(shí)，即為偏心壓縮偏心壓縮。 FzFyM FFzMy橫截面上任一點(diǎn)橫截面上任一點(diǎn) B ),(zyBAFzFzzIyFyIyM yFyyIzFzIzM ByzyzB點(diǎn)的應(yīng)力為點(diǎn)的應(yīng)力為 yFzFIzFzIyFyAF2zzAiI 221yFzFizziyyAF確定中性軸的位置。若中性軸上各點(diǎn)坐標(biāo)為確定中性軸的位置。若中性軸上各點(diǎn)坐標(biāo)為 y0，z0，則，則 012020yFzFizziyyAF1

7、2020yFzFizziyy或或 2yyAiI 12020yFzFizziyy這是一個(gè)直線方程。即中性軸方程。這是一個(gè)直線方程。即中性軸方程。 令令 yayz00, 0則則 Fzyyia2令令 0,00yazz則則 Fyzzia2若壓力若壓力F逐漸靠近形心，則中性軸逐漸遠(yuǎn)離形心。當(dāng)中性逐漸靠近形心，則中性軸逐漸遠(yuǎn)離形心。當(dāng)中性軸與邊緣相切時(shí)，整個(gè)截面上就只有一種壓應(yīng)力。軸與邊緣相切時(shí)，整個(gè)截面上就只有一種壓應(yīng)力。（偏心拉、壓?jiǎn)栴}的）（偏心拉、壓?jiǎn)栴}的）截面核心：截面核心：002210FFzyyzy yz ziiyzaa軸、 軸為、 ，則若若中中性性在在上上的的截截距距210Fyzyai210F

8、zyzai中中性性軸軸ayaz截面核心截面核心 當(dāng)偏心距較小時(shí)，橫截面上可能不出現(xiàn)壓應(yīng)當(dāng)偏心距較小時(shí)，橫截面上可能不出現(xiàn)壓應(yīng)力或拉應(yīng)力，中性軸就不穿過(guò)截面。力或拉應(yīng)力，中性軸就不穿過(guò)截面。()FFF y ,z保證中性軸不穿過(guò)截面的外力作用區(qū)域稱為截面核心。保證中性軸不穿過(guò)截面的外力作用區(qū)域稱為截面核心。由此可求得由此可求得F力的一個(gè)作用點(diǎn)力的一個(gè)作用點(diǎn)(yF ， zF)當(dāng)外力作用在截面核心的邊界上時(shí)，與此對(duì)應(yīng)的中性當(dāng)外力作用在截面核心的邊界上時(shí)，與此對(duì)應(yīng)的中性軸正好與截面相切。據(jù)此可確定核心邊界。軸正好與截面相切。據(jù)此可確定核心邊界。bhyzx例：例：h=200mm, b=100mm, F=2

9、0kN, 試計(jì)算最大正應(yīng)力。試計(jì)算最大正應(yīng)力。My Mz2bFMy2hFMzzzyyWMWMAFmax2266bhMhbMbhFzybhFbhFbhF33MPa7解：解： 最大正應(yīng)力最大正應(yīng)力 bhF7)m1 . 0)(m2 . 0(N102073F bhyzF x23 . 02 . 06503503 . 02 . 0350000例：例：圖示不等截面與等截面桿，受力圖示不等截面與等截面桿，受力P=350kN, 試分別求試分別求出兩柱內(nèi)的絕對(duì)值最大正應(yīng)力。出兩柱內(nèi)的絕對(duì)值最大正應(yīng)力。Pa2 . 02 . 0350000max2AP11max1zWMAPMPa7 .11解：解：兩柱均為兩柱均為壓應(yīng)

10、力壓應(yīng)力MPa75. 8例：例：簡(jiǎn)支梁由簡(jiǎn)支梁由28a號(hào)工字鋼制成，已知號(hào)工字鋼制成，已知F=25kN，l=4m， =15， =170MPa，試按正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核此梁。，試按正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核此梁。 Fl/2l/2FACBMz24.1kNmMy6.47kNm解：解：kN1 .24cosFFykN47. 6sinFFz最大彎矩最大彎矩 mkN1 .2441max,lFMyzmkN47. 641max,lFMzy查型鋼表，得查型鋼表，得 33cm6 .56cm508yzWWC截面為危險(xiǎn)截面。截面為危險(xiǎn)截面。FzFy所以所以 yyzzWMWMmax,max,max363363m106 .56mN1

11、047. 6m10508mN101 .24Pa103 .1144 .476MPa7 .161 梁滿足強(qiáng)度條件。梁滿足強(qiáng)度條件。 zzWMmax,max363m10508mN1025Pa102 .496MPa2 .49如如 =0，即，即 F 沿沿 y 軸方向，則軸方向，則 可見，對(duì)于工字形這樣窄而高的截面梁，如外力稍有一可見，對(duì)于工字形這樣窄而高的截面梁，如外力稍有一點(diǎn)偏斜，就會(huì)使梁的最大正應(yīng)力顯著增大。點(diǎn)偏斜，就會(huì)使梁的最大正應(yīng)力顯著增大。例：例：矩形截面木梁，跨長(zhǎng)矩形截面木梁，跨長(zhǎng)l=3m，h=2b，受集度，受集度 q=700N/m的均布力作用，的均布力作用，=10MPa, 容許撓度容許撓度

12、f=l/200, E=10GPa,試選擇截面尺寸并校核剛度。試選擇截面尺寸并校核剛度。bhzy 26lqqqzqyN/m307438. 0700sinqqz解：解：N/m629899. 0700cosqqyNm4 .34583307822lqMzyNm6 .70783629822lqMyz危險(xiǎn)截面上彎矩為危險(xiǎn)截面上彎矩為顯然，跨中為危險(xiǎn)截面顯然，跨中為危險(xiǎn)截面確定截面尺寸確定截面尺寸2)2(366322maxbMMhbMbhMWMWMyzyzyyzzmm4 .59m10102)4 .34526 .707(3 2)2(3363yzMMb校核剛度校核剛度2242max2maxmax)()(3845

13、yzzyzyIqIqElfffmm8 .1182 bhm105 . 1200m1044. 122lf 截面核心 土建工程中的混凝土或磚、石偏心受壓柱，往往不允許橫截面上出現(xiàn)拉應(yīng)力。這就要求偏心壓力只能作用在橫截面形心附近的某個(gè)范圍內(nèi)；這個(gè)范圍稱之為截面核心（core of section）。 要使偏心壓力作用下桿件橫截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力，那么中性軸就不能與橫截面相交，一般情況下充其量只能與橫截面的周邊相切，而在截面的凹入部分則是與周邊外接。截面核心的邊界正是利用中性軸與周邊相切和外接時(shí)偏心壓力作用點(diǎn)的位置來(lái)確定的。 圖中所示任意形狀的截面，y軸和z軸為其心主慣性軸。為確定截面核心的邊界(圖中的封

14、閉曲線1-2-3-4-5-1)，可作一系列與截面周邊相切和外接的直線把它們視為中性軸。Fzyyia2Fyzzia2得出每一與圓邊相切或外接的直線（中性軸）所對(duì)應(yīng)的偏心壓力作用點(diǎn)的位置，亦即截面核心邊界上相應(yīng)點(diǎn)的坐yFi,zFiyizFiaiy2ziyFiaiz2 根據(jù)這些直線中每一直線在y軸和z 軸上的截距ayi和azi即可由前面已講過(guò)的中性軸在形心主慣性軸截距的計(jì)算公式連接這些點(diǎn)所得封閉曲線其包圍的范圍就是截面核心。應(yīng)該注意的是，截面核心的每一邊界點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的截面周邊上的切線和外接的直線（中性軸）總是位于截面形心的相對(duì)兩側(cè)。例：例：確定圓截面的截面核心：確定圓截面的截面核心： 圓截面對(duì)圓心（形

15、心）O是極對(duì)稱的，因而其截面核心的邊界必然也是一個(gè)圓心為O的圓。作一條如圖所示與截面周邊相切的直線，它在形心主慣性軸y和z上的截距為11, 2/zyada而對(duì)于圓截面有164/64/22422dddAIAIiizyzy從而82/16/2121dddaiyyzF0121zyFaiz這就是截面核心邊界上點(diǎn)1的坐標(biāo)。以O(shè)為圓心，以d /8為半徑所作的圓其包圍的范圍就是圓形截面的截面核心。xzyF1F2ACB0.5m0.5m例：例：F1=1kN，F(xiàn)2=2kN 解：顯然，固定端彎矩最大。最大彎矩為解：顯然，固定端彎矩最大。最大彎矩為 mkN12/2lFMy各點(diǎn)應(yīng)力為各點(diǎn)應(yīng)力為 yyzzaWMWMmkN1

16、1lFMzMPa3 .70Pa109 .464 .23622m04. 0m08. 0mN10006m08. 0m04. 0mN10006危險(xiǎn)截面上危險(xiǎn)截面上 max, cmax, t,dcba,2.2. 求：求：1.40dcab80zy yyzzdWMWMyyzzcWMWMyyzzbWMWM所以所以 MPa3 .70max, taA 截面上的截面上的 a 點(diǎn)。點(diǎn)。 MPa3 .70max, ccA 截面上的截面上的 c 點(diǎn)。點(diǎn)。 MPa5 .23Pa109 .464 .236MPa3 .70Pa109 .464 .236MPa5 .23Pa109 .464 .236ACBF MFl - -T

17、Fa - -AB段任一截面段任一截面mm上的內(nèi)力上的內(nèi)力 )()(xlFxMFaxT)(作彎矩圖和扭矩圖。作彎矩圖和扭矩圖。 FaTFlM可知可知 A截面為危險(xiǎn)截面，其截面為危險(xiǎn)截面，其上彎矩和扭矩上彎矩和扭矩( (取絕對(duì)值取絕對(duì)值) )為為 A截面上、下緣兩點(diǎn)截面上、下緣兩點(diǎn) K1、K2為危險(xiǎn)點(diǎn)，取單元體。為危險(xiǎn)點(diǎn)，取單元體。 K1K2K1K1tWTWM按第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為按第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為 223r4 223r1TMW按第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為按第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為 224r3 224r75. 01TMWWW2t其中其中 例：例：傳動(dòng)軸傳動(dòng)軸AB: d=35mm, =85

18、MPa, P=2.2kW, n=966r/minD1=50mm，D2=132mm，F(xiàn)+F=600N，試按第三強(qiáng)度理論，試按第三強(qiáng)度理論校核軸的強(qiáng)度。校核軸的強(qiáng)度。 zxyABFrFtMeMeFz+FzFy+Fy解：解：帶輪傳給軸的力矩帶輪傳給軸的力矩 mN9662 . 29549eMmN7 .21力矩力矩Me是通過(guò)皮帶拉力是通過(guò)皮帶拉力F和和F傳遞的，應(yīng)有傳遞的，應(yīng)有e22MDFFN329m10132Nm7 .212232eDMFFN600 FF又已知又已知 解得解得 N135N465FF44.523.565zxyABFrFtMeMeFz+FzFy+Fy由平衡方程，得由平衡方程，得 e1ne2

19、20cosMDFM20cos21enDMFN20cos05. 07 .212N87020cosntFFN31620sinnrFF30cos24cosFFFFyy30sin24sinFFFFzzN542N257N925+ +T 21.7Nm11.4Nm- -My7.43Nm+ +Mz20.4Nm24.1NmM26.7Nm21.7Nm顯然，顯然，B截面為危險(xiǎn)截面。截面為危險(xiǎn)截面。B截面上扭矩和合成彎矩為截面上扭矩和合成彎矩為 mN7 .21TmN7 .26mN1 .244 .112222zyMMM按第三強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度校核按第三強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度校核 MPa18. 8Pa1018. 86223r1T

20、MW2233m)N7 .21()mN7 .26()m1035(32傳動(dòng)軸滿足強(qiáng)度條件。傳動(dòng)軸滿足強(qiáng)度條件。例：例：一鋼制實(shí)心圓軸一鋼制實(shí)心圓軸, 受力如圖。齒輪受力如圖。齒輪C節(jié)圓節(jié)圓: dC=400mm，齒輪齒輪D節(jié)圓節(jié)圓: dD=200mm， =100MPa。試按第四強(qiáng)度理論。試按第四強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)軸的直徑。設(shè)計(jì)軸的直徑。 100300300zxyABDC1003003003.64kN10kN1.82kN5kN1kNm1kNm解：解：受力分析受力分析 kN1 . 064. 33 . 056 . 01AzFkN3 . 082. 11 . 0106 . 01AyFkN893. 1kN757. 0

21、作內(nèi)力圖。作內(nèi)力圖。 FAz FAy 0.364kNmzxyABDC1003003003.64kN10kN1.82kN5kN1kNm1kNm- -1kNmT + +0.568kNmMy 0.277kNm1kNmMz + +22364. 01 BM22568. 0227. 0CMmkN064. 1mkN612. 0B截面為危險(xiǎn)截面。截面為危險(xiǎn)截面。 224r75. 01TMWB 22375. 032TMdB第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件：第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件： FAz FAy 所以軸的直徑為所以軸的直徑為 32275. 032TMdB3226m)N1000(75. 0)mN1064(1010032Pamm9 .51m0519. 0例：例：水輪機(jī)主軸，水輪機(jī)主軸，P=37500kW，n=15