格林(Green)公式及其應(yīng)用課件

1、一、格林（一、格林（Green)公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用4. .平面上曲線積分與路徑無關(guān)的平面上曲線積分與路徑無關(guān)的 等價(jià)條件等價(jià)條件D1L2Lyxo 1LQdyPdx4. .平面上曲線積分與路徑無關(guān)的平面上曲線積分與路徑無關(guān)的 等價(jià)條件等價(jià)條件 2LQdyPdxBA如果在區(qū)域如果在區(qū)域D內(nèi)內(nèi), , LQdyPdx則稱曲線積分則稱曲線積分否則與路徑有關(guān)否則與路徑有關(guān). .在在D內(nèi)內(nèi)與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), ,有有12, L L積分與路徑無關(guān)時(shí)積分與路徑無關(guān)時(shí), , 曲線積分可記為曲線積分可記為 ddBAP xQ y ddABP xQ y 說明說明: :定理定理2 設(shè)設(shè)D是單連通域是單連通域,(

2、, ),( , )P x y Q x y在在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿沿D 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線C,有有dd0.CP xQ y (2)對(duì)對(duì)D中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線L, 曲線積分曲線積分(3)yQxPdd ),(yxu( , ).du x yPdxQdy (4)在在D 內(nèi)每一點(diǎn)都有內(nèi)每一點(diǎn)都有.xQyP ddLP xQ y 與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān)只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)函數(shù)則以下四個(gè)條件則以下四個(gè)條件等價(jià)等價(jià): :在在D內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分, ,即存在可微函數(shù)即存在可微函數(shù) 使使 ),(yxu證明證明 dd0C

3、P xQ y (1)(2):GyxoLL BA()ddLLP xQ y ()LLC C即即ddLP xQ y dd0LP xQ y ,A BG故積分與路徑無關(guān)故積分與路徑無關(guān).有有采用循環(huán)方式：采用循環(huán)方式：(1)(2)(3)(4)(1),L L 得得ddLP xQ y ddLP xQ y ddLP xQ y (封閉曲線封閉曲線)( , ).M x y(2)(3):ddLP xQ y 設(shè)設(shè)取起點(diǎn)為定點(diǎn)取起點(diǎn)為定點(diǎn)與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),只與起終點(diǎn)有關(guān)只與起終點(diǎn)有關(guān). 000(,),Mxy終點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)終點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)ddP xQ y 0M M00( , )(,)ddx yxyP xQ y ( , )u x

4、 y 只須證只須證,.uuPQxy ddduP xQ y與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)ddLP xQ y ( , )uudu x ydxdyxy 00(, )(,)ddxx yxyP xQ y 00( , )(,)ddx yxyP xQ y (, )( , )u xx yu x y 0000( , )(, )( , )(,)( , )(,)ddx yxx yx yxyx yxyP xQ y (, )( , )ddxx yx yP xQ y (, )(, )( , )( , )ddxx yxx yx yx yP xQ y 0 (, )( , )u xx yu x y ( , )Pyx (, )( , )(

5、 , )dxx yx yP x yx 由積分中值定理由積分中值定理 ,x xx 偏增量偏增量定積分定積分(, )( , )u xx yu x y ( , )Pyx (, )( , )u xx yu x yx ( , )Pyxx 0limx 0limx lim( , )( , )xPyP x y ux 同理可證：同理可證：( , )uQ x yy 因因 可微，可微，),(yxu的偏導(dǎo)數(shù)存在，的偏導(dǎo)數(shù)存在，( , )u x y(3)(4):( , ).PQdu x yPdxQdyyx ( , )du x yPdxQdy , .uuPQxy22, .PuQuyx yxy x ,PQyx因因 連續(xù)，連

6、續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從而相等，偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從而相等，于是于是.xQyP 有有故故 的二階混合的二階混合( , )u x y(4)(1)dd0 .CPQP xQ yyx 由格林公式，對(duì)任何閉曲線由格林公式，對(duì)任何閉曲線C，它所圍成，它所圍成的區(qū)域?yàn)榈膮^(qū)域?yàn)镈,有有dd00.CDP xQ ydxdy 證畢證畢.yx0y0 x , x y 00,x y由定理由定理2 知：知：QPxy 當(dāng)當(dāng)滿滿足足時(shí)時(shí)，曲線積分與路徑無關(guān)，可以取路徑為平行于曲線積分與路徑無關(guān)，可以取路徑為平行于 00( , )(,),x yxyP x y dxQ x y dy 坐標(biāo)軸的坐標(biāo)軸的折線折線，即，即00( ,)dxxP x y

7、x 0( , )dyyQ x y y 00(, )dyyQ x yy 或或0( , )dxxP x yx 000,x yx yx y 0,x yyxO注注1： 0,xyxyO)1 , 1(BxxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解 PQyx原積分與路徑無關(guān)原積分與路徑無關(guān)224 (2)()(0,0)(1,1)Lxxy dxxydyLOB 計(jì)計(jì)算算，其其中中 為為由由點(diǎn)點(diǎn)到到點(diǎn)點(diǎn)的的曲曲線線弧弧例例6 6sin.2xy .1523 224(2)()Lxxy dxxy dy 101042)1(dyydxx (1,1)224(0,0)(2)()BOxxy dxxy dy xyO)1 ,

8、 1(B11 00( , )(,),x yxyP x y dxQ x y dy 00( ,)dxxP x yx 0( , )dyyQ x y y 由定理由定理2知：知： ,QPu x yxy 當(dāng)當(dāng)滿滿足足時(shí)時(shí), ,存存在在00( , )(,)( , )x yxyu x yPdxQdy 且且 ,duP x y dxQ x y dy使使 由于積分與路徑無關(guān)，可以取路徑為平由于積分與路徑無關(guān)，可以取路徑為平行于坐標(biāo)軸的折線行于坐標(biāo)軸的折線,這樣就可求出這樣就可求出u(x,y). ,.u x yPdxQdy 稱稱的的原原函函數(shù)數(shù)為為 ,0.u x yCPdxQdy 是是微微分分方方程程的的通通解解稱全

9、微分方程稱全微分方程全微分全微分注注2：例例7 7 驗(yàn)證驗(yàn)證yyxxyxdd22 是某個(gè)函數(shù)的是某個(gè)函數(shù)的全微分全微分, 并求出這個(gè)函數(shù)并求出這個(gè)函數(shù). 證證 設(shè)設(shè)22,Px yQx y 2PQxyyx則則由定理由定理2可知可知,存在函數(shù)存在函數(shù) u (x , y) 使使22ddduxyxx y y ( , )22(0,0)( , )ddx yu x yxyxx yy 。)0 , 0(。),(yx)0 ,(x00dxxx 20dyx yy 20dyx yy 2212x y 22ddduxyxx y y 2212x yC 是全微分方程是全微分方程22dd0 xyxx y y 的通解的通解. .注

10、注2(1,1)2(0,0) ( )(0)0 ( ).Lxy dxyx dyxy dxyx dy 設(shè)設(shè)曲曲線線積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)，其其中中 具具有有連連續(xù)續(xù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且，計(jì)計(jì)算算例例8 8解解,2)(2xyxyyyP ( )( ),Qyxyxxx ,),(2xyyxP ( ,)( ),Q x yyx 因積分與路徑無關(guān)因積分與路徑無關(guān)xQyP 2( )Lxy dxyx dy ( )2yxxy 故故 10100ydydx.21 0)0( 0 c2)(xx 又又，知，知故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy ( )2yxxy 2( )xxc 由由 小 結(jié)四個(gè)等價(jià)命題四個(gè)等

11、價(jià)命題 設(shè)設(shè)D是平面是平面單連通區(qū)域單連通區(qū)域,( , ),( , )P x y Q x y在在D內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則以下四個(gè)命題等價(jià)：則以下四個(gè)命題等價(jià)：在在D內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān).QPxy 1.對(duì)對(duì)D內(nèi)任意閉曲線內(nèi)任意閉曲線L有有dd0LPxQy 4.在在D內(nèi)有內(nèi)有3.在在D內(nèi)有內(nèi)有duPdxQd y 2.ddLPxQy 若在某若在某單連域單連域內(nèi)內(nèi), ,函數(shù)函數(shù)P,Q偏導(dǎo)連續(xù)偏導(dǎo)連續(xù), ,PQyx 則則且且等價(jià)命題的應(yīng)用等價(jià)命題的應(yīng)用(1)利用等價(jià)命題簡(jiǎn)化第二類曲線積分的計(jì)算利用等價(jià)命題簡(jiǎn)化第二類曲線積分的計(jì)算可選擇方便的積分路徑可選擇方便的積分路徑( (2)

12、 ) 可用積分法求可用積分法求duPdxQd y 00( , )(,)( , )( , )d( , )dx yxyu x yP x yxQ x yy 在在D內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù): : 因積分與路徑無關(guān)，故可選擇方便的因積分與路徑無關(guān)，故可選擇方便的積分路徑積分路徑. .比如，平行于坐標(biāo)軸的折線比如，平行于坐標(biāo)軸的折線.00( ,)dxxP x yx 0( , )dyyQ x y y 00(, )dyyQ x yy 或或00( , )(,)( , )( , )d( , )dx yxyu x yP x yxQ x yy 0( , )dxxP x yx yx0y0 x ,x y 00,x y 0,x yyxO 0,xy 設(shè)設(shè), )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu ).,(yxu求求思考題d ( , )u