初中數(shù)學(xué)相似三角形專項(xiàng)練習(xí)題：X字型相似3(附答案)

1、初中數(shù)學(xué)相似三角形專項(xiàng)練習(xí)題：X字型相似3 （附答案）1. 如圖，在矩形BCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE丄AC于點(diǎn)F,連接DF,給出下列四個(gè)結(jié)論：ZkAEFs2XCB;CF=2AF, （S）DF=DC;SM陰=2： 5,其中正確的結(jié)論有（）B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)2. 如圖，已知E是平行四邊形ABCD中Ar）邊上一點(diǎn)，且AEDE = 3>.2, CE交BD于點(diǎn)F, BF = 15cm ,求DF的長(zhǎng).3. 已知，如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.若嚴(yán)=AACD4. 如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC. BD相交于點(diǎn)0,過(guò)0點(diǎn)作OE丄AC交AB于E，連EC交O

2、B于M，若BC = 4, ZkAOE的而積為5,求鼻的值. MC5. 如圖，在等腰ZXABC中，AB = AC,分別過(guò)點(diǎn)3、C 作兩腰的平行線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與兩平行線分別交于點(diǎn) D、E，連結(jié)DC、BE, DC與AB邊相交于點(diǎn)M，BE 與AC邊相交于點(diǎn)N ,求證：AM = NC.（提示：關(guān)鍵是 找岀題中的“A”型與“X”型寫(xiě)岀比例線段進(jìn)行等比線段的代 換）6. 我們知道，三角形的三條中線一定會(huì)交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性質(zhì)，如：在線段比、而積比就有一些“漂亮“結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問(wèn)題，請(qǐng)你利用重心的槪念完成如下問(wèn)題：Ar） O（1）若O是aA3C的

3、重心（如圖），連結(jié)Ao并延長(zhǎng)交3C于證明： =-：AD 3AQ O（2）若Ar）是厶ABC的一條中線（如圖），D是AD上一點(diǎn)，且滿足一=一，試判AD 3斷0是厶ABC的重心嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由：（3）若0是的重心，過(guò)0的一條直線分別與AB. AC相交于G、H （均不 與初C的頂點(diǎn)重合）（如圖），求證：÷ = 1.7. 已知在AA3C中，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn),點(diǎn)E為邊AC的中點(diǎn)，AD與BE交于點(diǎn)P.（1）如圖，當(dāng)BD = CD時(shí),PE（2）如圖，當(dāng)CD = 2BD時(shí)，求證：PE = PB 8如圖，CD、BE是 ABC的兩條髙，連DE(1) 求證：AE AC = AB

4、AD,DE(2) 若ZBAC = I20°,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求 B 的值.DM9.如圖，在四邊形AFQD中，ZQAF = 45°, AD丄DQ, AQ與FQ相交于O點(diǎn),線段OA = 3, Do = 2, OF = -. OQ = -試問(wèn)：AQ與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)23系？DQ10如圖，是一個(gè)照相機(jī)成像的示意圖.(1) 如果像高M(jìn)N是35InnK焦距是50mn拍攝的景物高度AB是4.9m,拍攝點(diǎn)離景物有多遠(yuǎn)？(2) 如果要完整的舶攝高度是2m的景物，拍攝點(diǎn)離景物有4m,像髙不變，則相機(jī)的 焦距應(yīng)調(diào)整為多少？11. 如圖，aA3C是Oo的內(nèi)接三角形，為Oo的切線，B為切點(diǎn),

5、P為線段AB上一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作8C的平行線，交直線于點(diǎn)E，交直線AC于F ,求證：AP PB = PE Pf 12. 已知如圖，在梯形ABCD中，CDlIAB . AD 3C的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E , AC.BD相交于點(diǎn)O,連結(jié)EO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N 那么線段AM與BM 是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由.,3 (I)如圖若A"心眈的內(nèi)角平分線，請(qǐng)問(wèn)：護(hù)鴛成立嗎？并說(shuō)明你的理由(2)如圖，RtAABC 中，ZACB = 90o, AC = S9 AB = 9 E 為 ABk 一點(diǎn)且 3AE = 5. CE交其內(nèi)角角平分線AD與F試求學(xué)的值.FA14. 在圖中：如圖1,在正方形ABCD中，延

6、長(zhǎng)BC至M ,使EM = DN ,連結(jié)MN 交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E(1)求證：BD + 2DE =近BM ;(2)如圖2,連結(jié)BN交AD于點(diǎn)F,連結(jié)MF交BD于點(diǎn)G 若AF:FQ = I:2 ,且CM = 2,則線段DG=.vC M15. 如圖，已知一次函數(shù)y = x + 2的圖象交y軸于點(diǎn)A,交X軸于點(diǎn)B,點(diǎn)E在X軸正半軸上，點(diǎn)F在射線BA±,且OE = OF = 10. FH垂直X軸于點(diǎn)H .(1) 點(diǎn)E坐標(biāo)為'點(diǎn)F坐標(biāo)為(2) 操作：將一足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始 終過(guò)點(diǎn)E,另一直角邊與y軸相交于點(diǎn)P問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)Q,使以點(diǎn)P,Q，E

7、為頂點(diǎn)的三角形與POE全等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.16. 如圖，C為等邊三角形，過(guò)AB邊上點(diǎn)D作DGllBC ,交AC于點(diǎn)GJ£GD 的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,使DE = DB,連接AE > CD.過(guò)點(diǎn)E作EFHDC、交BC于 點(diǎn)、F,交AB于點(diǎn)H,連接AF.(1) 求證：ZAEG = ZACD:(2) 設(shè)CD = X, S叔EP=y,求y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式；(3) 連接D若DF丄BC于點(diǎn)、F,求型的值A(chǔ)H17.如圖(1), aA3C 中,M是AC的中點(diǎn)，E是AB ±一點(diǎn)，且BE = 3AE,諸分別在圖(1),圖(2),圖(3),圖(4)中用四種不同的

8、方法求岳的值.圖圖(2)A圖(3)A圖18如圖,在ZXABC中，AQ是3C邊上的中線，F(xiàn)是ADt的一點(diǎn),且AF.FD = 5,連結(jié)CF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E,則AE. EB等于（）.19.如圖，已知A3C和ADCE是等邊三角形，連結(jié)BE,連結(jié)D4并延長(zhǎng)交CE于點(diǎn)F、交BE于點(diǎn)G , CD = 6. EF = 2,那么EG的長(zhǎng)為參考答案1. D【解析】【分析】 根據(jù)四邊形ABCD是矩形，BElAC,可得ZABC=ZAFB=90。，XZBAF=ZCAB,于是AEFCAB,故正確： 根據(jù)點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，以及ADBC,得出 AEFS ACBF,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊 成比例，可得CF=2AF,故正確：

9、過(guò)D作DN1BE交AC于N,得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=IBC,得到CN=NF,根據(jù)線段的垂宜平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故正確： 根據(jù)aAEFsCBF得到EF與BF的比值，以及AF與AC的比值,據(jù)此求出SAAE尸丄SAAB山2SUBI=丄 S 啊 ABCD,可得 S N邊影CDEi=SAarSAAEF=三"S 蠻彤 ABd 即 可得到 SCDEP= SAABIJ6 12 2故正確【詳解】如圖，過(guò)D作DMBE交AC于M四邊形ABCD是矩形，:ADBC, ZABC=90o, AD=BC, ：BE丄AC于點(diǎn)凡：.ZEAC=ZACB. ZABC=ZAFE=90。,.AEFAC

10、Bt 故正確；9JADBC,:'AEFsHCBF、,BC CF119： AE=-AD=-BC.22AF 1.I =.: CF= 2AF,故正確,C卜 29JDE/BM. BEDM,四邊形BMDE是平行四邊形，：.BM=DE= - BC, ：. BM=CM92. CN=NF9TBE丄AC于點(diǎn)幾DM/BE,.DN丄 CFt ：.DF=DCt 故正確：J'AEFs'CBF、Bc _ 1 SbAEF= S 址形 ABeD、12乂 TS M 邊形 C DEF=SwD - SMEF= -S ABCD - S BCD = 一S ABCDf2 12 12.* SaaBF： S -CDE

11、F=5,故匸確；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考査了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形而積的計(jì)算，正確的作出輔助線是 解題的關(guān)鍵.2. 6cm【解析】【分析】由已知可得EDF-CBF,由三角形相似，可得對(duì)應(yīng)邊成比例，由對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系進(jìn)而 可求解DF的長(zhǎng).【詳解】解：.四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在邊AD上 DE/7 BC, KAD=BC, ZDEF=ZBCF:ZEDF=ZCBF ZEDFs ACBFBC _ BF EDDFAE _ 3dF"2=6cm ,2BF 2x15設(shè) AE = St.則 DE = Z ,則 A DF = = VBF=I 5cm.DF = 2BF = 2xl5

12、=6cm55故答案為6cm【點(diǎn)睛】 熟練掌握平行四邊形及相似三角形的性質(zhì)，能夠靈活運(yùn)用各圖形的判怎左理和性質(zhì).4【解析】【分析】由題意可知三角形AOD和三角形DOC中AO和CO邊上的髙相等，所以而積比等于對(duì)應(yīng)邊 AO, CO的比值，進(jìn)而求出AO： Co的值，又因?yàn)?AODsABOC,利用兩三角形相似， 面積比等于相似比的平方即可求出Saaod： SABoC的值：從而求出AOD的而積.【詳解】過(guò)點(diǎn)D作DE丄AC于£, Laode I則= j=-,%s LACDE 52.AO = *、AC 3又 9A0+0C=AC.AO ,OC 29ADBC.字竺=(竺)2=丄，即沁=丄，ABOC OC

13、 4 m 4*S.wD=44. 邏4【解析】【分析】先由矩形的性質(zhì)和勾股左理求得0A=2點(diǎn)，OE= F 然后證OEBC四點(diǎn)共圓得zjZEOM=ZECB,再證得AOEM saCBM.最后由相似的性質(zhì)求出二一的值.MC【詳解】如題圖，TO為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，0為4C的中點(diǎn).又； Eo 丄 C4, EC = AE , SM0E = S'AOE = 5 '.*. SMCE = EA CB = 0, ：. AE = 5 = EC.在Rt ACBE中根據(jù)勾股定理可知EB=3.在 RtABC 中 OA =丄ac =丄VabGbc 亍=182+4 亍= 2L2 2 2.在RtZXAOE

14、中 OE = yAE2-OA2 =y52- (25)2 = 5 又 V EO 丄 C4, ZCBE=90° ,/. OEBC四點(diǎn)共圓, ZEoM = ZECB, LOEM S CBM .OM _OE . CM BC 4【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股趙理以及相似三角形的判定和性質(zhì).此題難度適中，注意四點(diǎn) 共圓在本題中的應(yīng)用.5. 見(jiàn)解析【解析】【分析】首先延長(zhǎng)DB、EC交于點(diǎn)P,由BD/7 AC, AB/7EC,可得四邊形ABPC為平行四邊形，又 Fh AB=AC,即可IiE得：UABPC 是菱形，可得 AB=BP=PC=CA,又可證得：aEACsEDP 與aAMCsPCD,根據(jù)相

15、似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，則可證得：CN=AM.【詳解】PVBDAC, AB/EC,.四邊形ABPC為平行四邊形,VAB=AC,A=ABPC是菱形，AAB=BP=PC=CA,V BD AC,EACEDP.AC EC 同理:NC ECBP EPAC _ NC"DPBP.四邊形ABPC是平行四邊形，AZBAC=ZP,V AC/7 DP,ZACD=ZCDP,. ZkAMCsAPCD,MA _ CP''CADPVAC=CP,MA _ NC"CABPVAC=BP, AM=CN.【點(diǎn)睛】此題考査了平行四邊形，菱形的判立與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì).此題綜合性很強(qiáng),注意

16、掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.6. （1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）如圖，作出中位線PD,證明>PDS AOCA,可以證明結(jié)論：（2）如圖，作厶ABC的中線CP,與AB邊交于點(diǎn)P，與a4BC的另一條中線4D交于點(diǎn)An 2AO 2Q,則O是AABC的重心，由（1）中的證明可知- = -,而由條件一只點(diǎn)0與 AD 3AD 3點(diǎn)。重合（是同一個(gè)點(diǎn)），所以點(diǎn)0是厶ABC的重心.（3）如圖，分別過(guò)A、B、D、C作GH的垂線，垂足分別為M、N、F、O ,證得HBNGSMG和AC0H sSMH,利用相似三角形的性質(zhì)得到÷ = Z÷S =*

17、在四邊形盹C中證得陽(yáng)+ 32也所以BG CH BN + CQ 2FDJ1=AG AH AM AM,再證ZFDOso得孚=糾AM AO,最后根據(jù)點(diǎn)O是遊的重心證得等+專BN + CQ 2FD I=1.AM AM【詳解】（1）證明：如圖，連結(jié)Co并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)P,連結(jié)PD.A點(diǎn)0是厶ABC的重心，.P是AB的中點(diǎn)，D是3C的中點(diǎn)，PD是4ABC的中位線， AC = IPD , ACllPD,：.ADPO = ZACO, APDO = ZCAO,： AOPD S OCA ,.OD PD _ OD + OA1 + 23花一走一廠OA" 2 * AO 2''AD3'（

18、2）點(diǎn)0是厶ABC的重心.證明：如圖，作zMBC的中線CP,與4B邊交于點(diǎn)P，與厶ABC的另一條中線4D交于點(diǎn)Q，則O是AABC的重心，AD 3AQ 2而由條件點(diǎn)O與點(diǎn)0重合（是同一個(gè)點(diǎn)）,AD 3所以點(diǎn)0是aA3C的重心.（3）如圖，分別過(guò)A. B、D、C作GH的垂線，垂足分別為M、N、F、Q,證明:-BNlIAM . 'BNG SAAMG、.BG _ BN忌一而又 CQIIAM , ACQH S AMH >.CH _ CQ喬一而.BG CH _ BM CQ _ BN+ CQ eAG 777" AM AMAM又在四邊形BNQC中可證BN + CQ = 2FD,.BG

19、CH BN+ CQ 2FD：1=AG AH AM AM又 V FD H AM , HFDO S ZMAO ,FD OD =而一忌.點(diǎn)0是厶ABC的重心,OD 1 ,AO 2FD OD 1 = _而一花一?。?AM=2FD,BG GHAG + AHBN + CQ _2FDAM AM=1,即原命題得證.【點(diǎn)睛】 本題是幾何綜合題，以三角形的重心為背景.考查了重心的概念、性質(zhì)以及應(yīng)用，考查了相 似三角形、中位線等的性質(zhì)和應(yīng)用.7. (1) - ; (2)見(jiàn)解析.2【解析】【分析】(1) 連接DE,利用三角形中位線的性質(zhì)得岀DEAB. DE=-AB.貝IJaABPsDEP,進(jìn)2而得出答案：(2) 過(guò)點(diǎn)

20、E作EF AD交BC于點(diǎn)F,利用平行線分線段成比例左理得岀F是CD的中點(diǎn), 進(jìn)而得出BD=DF=FC,進(jìn)而得出即可.【詳解】(1) 解：連接DE,點(diǎn)E為邊AC的中點(diǎn)，BD=CD>.DE是AABC的中位線， DEAB. DE=丄 AB,2ABPDEPfPE DE 1 _莎一喬二 故答案為丄2(2) 證明：過(guò)點(diǎn)E作EF AD交BC于點(diǎn)F,點(diǎn)E為邊AC的中點(diǎn)，EFAD,F是CD的中點(diǎn),VCD=2BD,ABD=DF=FC,又 V PD EF,ABP=PE 【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形中位線的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理等知識(shí)，正確作出平行線是解題關(guān)鍵.8. (1)見(jiàn)解析;(2)1.【解析】【分

21、析】(1) 由BE、CD是厶ABC的髙得ZAEB=ZADC=90%加上ZEAB=ZDAC,根據(jù)相似三角形的判定方法得到AaebsAADC,則AB： AC=AE: AD,利用比例性質(zhì)即可得到結(jié)論：(2) 連結(jié) ME, ZBAC=120。得到ZBAE=60°,則ZEBA=30°,由點(diǎn) M 為 BC 的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到MB=ME=MD=MC,于是可判斷點(diǎn)B、E、D、C在以M點(diǎn)為圓心，MD為半徑的圓上，根據(jù)圓周角泄理得ZDME=2ZEBD=60o,則可DE判斷AMED為等邊三角形，所以DE=DM.所以的值為1DM【詳解】(1) 證明：BE、CD 是

22、AABC 的高， ZAEB=ZADC=90°,jTu ZEAb=ZDAC,: AEB S AADC,AB: AC=AE: AD,/. AEAC=ABAD:(2) 連結(jié)ME,如圖，VZBAC= 120 °, ZBAE=60o,ZEBA=30o,.點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，AMB=ME=MD=MC,.點(diǎn)B、E、D、C在以M點(diǎn)為圓心，MD為半徑的圓上， ZDME=2ZEBD=2×30o=60otMED為等邊三角形， DE=DM.匹“DM【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似：相似三角形對(duì) 應(yīng)邊的比等于相等，都等于相似比也考査了直角三角形斜邊上

23、的中線性質(zhì)以及圓周角定理.9. AQ =迥AF【解析】【分析】55AO OF根據(jù)OA = 3, Do = 2、OF = -. OQ =二得到冷 =K7；，進(jìn)一步證明23DO OQAOF ADOQ ,因?yàn)锳D丄DQ,于是可得ZODA = 45。，因此可證得ZOD s 'FOQ .并推岀AAF0為等腰三角形，因此AQ =迥AF【詳解】解：如圖，線段QA = 3, Do = 2, OF = -9 OQ = I,23.AO _ OF''DOOQ'又 ZAOF = ZDOQ 9：.AOF S ADOQ , ZODQ = ZFAO = 45° .而 ZDQ = 9

24、0o , ZozM = 45。AOFO八DO-如 BOD-FOQ, AOD S AFOQ.：.ZAQF = ZODA = 45o, 2AF0為等腰三角形, AQ = 42AF 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì) 泄理和判泄左理是解題的關(guān)鍵.10(1) 7m(2) 70mm.【解析】試題分析：(1)利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高等于相似比即可列出比例式求解.(2)和(1) 一樣，利用物體的髙和舶攝點(diǎn)距離物體的距離及像髙表示求相機(jī)的焦距即可.MN LC解：根摒物體成像原理知：LMN-LBA, -=卞.AB LD(I) 像高M(jìn)N是35mm,焦距是50

25、mm,拍攝的景物高度AB是4.9mt35=,解得：LD=7.4.9 LD舶攝點(diǎn)距離景物7m.(2)拍攝高度AB是2m的景物,拍攝點(diǎn)離景物L(fēng)C=4n像高M(jìn)N不變,是35mm,35 LC三 =解得：LC=70.24相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為70mm.11. 見(jiàn)解析【解析】【分析】PA PF欲證PA-PB=PE-PF即證=,觀察圖形可得：證明線段所在的兩個(gè)三角形APAF與PE PBPEB相似即可.再根據(jù)弦切角和平行線的性質(zhì)i正出對(duì)應(yīng)角相等，利用相似三角形的判定證 出厶PAFSPEB,從而使命題得證【詳解】證明：如圖TBT為切線,BA為弦,AZABE=ZC,又 V EF BC,/.ZC=ZAFPt ZABE=

26、ZAFpVZAPF=ZEPB,apfepb,PA PF PAPB=PEPF.【點(diǎn)睛】本題給岀圓內(nèi)接三角形和圓的切線，求證線段的積相等.著重考查了弦切角定理、平行線的性質(zhì)和相似三角形的判左與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題.12. 見(jiàn)解析【解析】【分析】由 CDlIAB可得到ZXEDV s AE4M , £?VCS少廁，AEDCEAB .以及 ONDAOMB , 40NCSboMa ,CDSqAB.再由相似三角形的性質(zhì)得到比例式，變形整理可得出結(jié)論【詳解】相等.理由如下： CDlIABy AEDN s EAM , ENCEMB, EDC EAB .DN DE CN _ CE DE _ CE

27、9;'ME' BMBE' AEBE'.DN cN''AMBM'.BM _ CN',AMDN'： CDlIABy： 2NDSZMB , ONC s 2MA , qCDSbOAB.DN OD CN OC OD OC"bmob' amoa, oboa'.DN _ CN"BMAM'.AM _ CN''BMDN'.BM _ AM,a7b7' AM2=BM2 >/. AM = BM 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)立理的應(yīng)用，利用比例式進(jìn)行變形推

28、理是本題的一個(gè)關(guān) 鍵.13. 見(jiàn)解析;二O【解析】【分析】(1) 過(guò)3點(diǎn)作BG/AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.由BG/ AC , AD平分ZBAC證得GBD s /CD,再由相似的性質(zhì)證岀結(jié)論；CD AC _ 8 _3(2) 連結(jié)££>由(1)得DF = TF= 40 =5»然后證得DElIAC .再證明TDEF s “CF .最后利用相似的性質(zhì)可求得結(jié)果?！驹斀狻?1)結(jié)論成立.理由如下：如圖，過(guò)3點(diǎn)作BGlIAC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.V BGlIAC , AD平分 ABAC,. ZG = ZCAD = BAD, BG = AB, MBD s /CD, .AC

29、 CD"GBBD,.AC cD,'abbd'（2）如圖，連結(jié)EDV AD為 8BC的內(nèi)角角平分線，AC=S, AB = -,CD AC _ 8 _3.由（1）得，5b AB 40 _5 又Y AE = S.3CD AE =麗一麗 DElIA C. DEF S ACF .DF EF DE _5',FAFCAC8'【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握添加輔助線的方法和能靈活應(yīng)用判左定理、性質(zhì)左理是解題關(guān)鍵。14. (1)見(jiàn)解析；(2) DG = -.2【解析】【分析】(1) 過(guò)點(diǎn)M作MP丄BC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,首先證明厶DENPEM,得到

30、DE=PE,由ABMP是等腰直角三角形可知BP =近BM，即可得到結(jié)論：(2) 由 AF： FD=L 2,可知 DF： BC=2： 3,由厶BCNFDN,可求出 BC=2,再由DFGBN4G即可求岀DG的長(zhǎng).【詳解】(1)證明：過(guò)點(diǎn)M作MP丄BC交BZ)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，.四邊形ABCD是正方形， ZBCr) = 90o, ZDBC = ZBDC = 45。,：.PMHCN,： ZN = AEMP, ZBDC = ZMPB = 45。,： BM = PM ,： BM=DN,： DN = MP,乙 DEN = ZPEM在 ADEN 和 APEM 中 < ZP = ZNDE = 45°

31、; ,DN = MP：.ADEN APEM»: DE = EP,Y ABAZP是等腰直角三角形 BP = y2BM，:2DEy2BM (2)解：VAF:ED=I:2, DF: BC = 2:3、 :ABCN-AFDN.DF DN =設(shè)正方形邊長(zhǎng)為"，又知CM=2,BM = DN = a + 2, CN = Ia+2. + 22u + 22F解得:a = 2.4 DF = ；, BM=4，BD = 22 >又DFGBMG,DG DF _而一而4DG 亍, 2近_DG_ 4ADG = T閭2【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判左與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、

32、相似三 角形的判定與性質(zhì)以及勾股立理的綜合運(yùn)用，運(yùn)用三角形相似求岀正方形的邊長(zhǎng)是解決第2 小題的關(guān)鍵.15. (1) (10,0)(6,8) (2)存在這樣的點(diǎn)Q,使以點(diǎn)P, Q, E為頂點(diǎn)的三角形與aPOE 全等【解析】【分析】(1) 根據(jù)點(diǎn)E在X軸正半軸上，OE=OF=W,即可得出E (10, 0),再根據(jù)點(diǎn)F在射線BA上，可設(shè)F (x, a-÷2),則OH=X, FH=X+2,最后根據(jù)勾股左理求得X即可；(2) 當(dāng)點(diǎn)。在射線HF上時(shí)，分兩種情況：(T)QE=OE=IO,QP=OE=W;當(dāng)點(diǎn)。在射線 AF上時(shí)，分兩種情況：。民O民10, ®QP=OE=0,分別作輔助線構(gòu)

33、造直角三角形或相 似三角形，求得OH的長(zhǎng)，即可得岀點(diǎn)Q的坐標(biāo).【詳解】(1)點(diǎn)£在X軸正半軸上，OE=OF=W, .E (10, 0).T點(diǎn)F在射線 朋上，.可設(shè)F(X, x+2),則0H=x, FW=X+2,如圖，連接OF,貝IJRtAOHF 中，X2+ (x+2) 2=1()2,解得:=6, x+2=8, ：.F (6, 8) 故答案為(10, 0) ,(6, 8):(2)存在這樣的點(diǎn)0,使以點(diǎn)P, 0, E為頂點(diǎn)的三角形與APOE全等.當(dāng)點(diǎn)0任射線HF上時(shí)，分兩種情況：如圖所示，若 QE=OE=W,而 HE=IO-6=4, .在 RtAQHE中，QHQEl-HEI =102 -

34、42 =2T:Q <6, 2 ):如圖所示，若QP=OE=10,作PK丄FH于K,則ZPKQ=ZQHE=9F, C=102-62 =8 ZPQK+ ZEQH= ZQEH+ ZEQH=9(幾：.ZPQK=ZQEH,:仏 PQKSHQEH, QfL PK , QH = 土,解得：QH=3、：Q (6, 3):KQ 68當(dāng)點(diǎn)Q任射線AFk時(shí)，分兩種情況：如圖所示，若QE=OE=10,設(shè)Q（兒 對(duì)2）,作0?丄兀軸于乩 則RE=IO-X9 QR=X+2, ：.RtAQKE 中，（10x） 2+ （+2） 2=102,解得：x=4± y4，'O(4+AZrJ 6+J)或(4 y4

35、，6 - 14)；如圖所示，若QP=OE=W,貝J QE=OP,設(shè)0 (x, +2)V ZPoE=90°, 四邊形 OPQE 是矩形，Ax=OE=IOTQ在射線AF上，.x÷2=QE=2, ：.Q (10, 12)【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，矩形 的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用.解決第(2)題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論，運(yùn)用勾股左理以及相 似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行汁算求解.分類(lèi)時(shí)注意不能遺漏，也不能重復(fù).16. (1)證明見(jiàn)解析：(2) y = l根據(jù)已知易得四邊形EFCD是平行四邊形，再結(jié)合(1)中的全等可證明aAEF為等 邊三

36、角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及而積公式可得出結(jié)果： 先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出BF = BD ,令BF = a,由平行可得BHFsDHE,再根據(jù)- = = =然后用含a的式子表示出BH, AH,即可得出結(jié)果.DH DE 2a 2【詳解】(I)證明：TaABC是等邊三角形， AB = AC = BC, ZBAC = ZABC = ZACB = 60° .： EGIlBC, ADG是等邊三角形. AD = DG = AG, ZAGE = ZzMC = 60。. DE = DB： EG = AB.: GE = AC ; (3)4AH 7【解析】【分析】(1) 先證明 ADG是等邊三角形，再

37、利用SASiIE明厶AGEDAC.然后可得出結(jié)論；在GE和厶DAC中,AG = DA< ZAGE = ZDAC ,GE = AC. AGEDAC(SAS), ZAEG = ZACD；(2)解:： EGllBC , EF/DC,.四邊形EFCD是平行四邊形. EF = CD, ZDEF = ADCF .由(1)知厶AGEDAC, AE = CD, ZAED = ZACD.Y EF = CD = AE, ZAEF = ZAED + ZDEF = ZACD+ZDCB = 60。, MEF為等邊三角形.'：AE = CD = X,(3) 解：TaABC為等邊三角形，.ZB = 60o.在

38、RwD中'BrBD 令 BF = a ,則 DB = DE = CF = 2d,. AB = BC = BF+ CF = 3a.*. AD = ABBD = a.： DEIIBF ,： 4 BHFSeHE.BH BF a 1 DH DE 2a 2又： BH + DH = 2a, ：. BH=Za, DH=-U33【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)與判立，相似的判立與性質(zhì)，平行四邊形的判泄與性質(zhì)以及 勾股左理等知識(shí)點(diǎn)，掌握基本性質(zhì)與判定左理是解題的關(guān)鍵.17. 見(jiàn)解析【解析】【分析】 方法一：過(guò)點(diǎn)C作CF AB交ED于點(diǎn)F,證出 AEMCFM,進(jìn)而得出AE=FC,再證得 BC = BE

39、-FC CD FC方法二：過(guò)點(diǎn)M作MFAB交BC于點(diǎn)F,證出ACMFS ACAB,然后應(yīng)用相似的性質(zhì)求FM FD 2BC得=一，再設(shè)BF=x,則FC=x, CD=x,代入可得=2：BE BD 3CDCD 2 方法三：過(guò)點(diǎn)E作EF/7 AC交BC于點(diǎn)F,證出 BEF-ABACt進(jìn)一步求得 =j,然后設(shè)FC=Xt則BF=3x, CD=2x,代入可得 = 2；CD方法四：過(guò)點(diǎn)E作EFBC交AC于點(diǎn)F,證出 AEFS AABC,進(jìn)一步證得ZMFEsMCD,并求得竺=空，可得竺CD MC 2 CD=2.VBE=3 AE,【詳解】 方法一：解：過(guò)點(diǎn)C作CF AB交ED于點(diǎn)F,VCFZ/AB, AEMCFM. TM是AC的中點(diǎn)，AM FC I MC AE AE=FC,CF "BE3VFCAB,BC BE-FC C=2CD FC方法二：解：過(guò)點(diǎn)M作MF AB交BC于點(diǎn)F,VMFZ/AB.CMFCAB,TM是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)C FM 1 * BC" 7F" 2VBE=3 AE,FM FD 2 辰一而一亍設(shè) BF=X,則 FC=Xt CD=X,.竺=2CD方法三：解：過(guò)點(diǎn)E作EF AC交BC于點(diǎn)F,方法二VEFZ/AC,BEFBACtBE EF BF 3* " AC " BC 4.21是AC的中點(diǎn)，.CM _ 2'