二孩人口模型-數(shù)學模型

1、有關(guān)重慶市人口老齡化的模型建立與求解目錄1.問題重述32.問題分析33.模型假設(shè)34.名詞解釋與符號說明441名詞解釋442符號說明45.模型的建立與求解45.1重慶市人口老齡化發(fā)展現(xiàn)狀分析45.2重慶市人口老齡化發(fā)展的動態(tài)模型65.3考慮“二孩政策”后重慶市人口老齡化發(fā)展的動態(tài)模型86模型的評價及推廣9附錄10附錄1 計劃生育政策下未來50年老年人口數(shù)量圖程序10附錄2 計劃生育政策下未來50年老年人口所占比例圖程序11附錄3二胎政策下65歲以上老齡人口占總?cè)丝诘谋壤龍D程序11附錄4二胎政策下各年齡段的人口預測圖程序12摘要本文通過對重慶市第五次人口普查數(shù)據(jù)和歷史人口數(shù)據(jù)的系統(tǒng)分析，建立了重

2、慶市人口增長的Leslie動態(tài)模型。根據(jù)2000年各年齡組人口數(shù)量，生育率及死亡率數(shù)據(jù)，應用Matlab2015b軟件編輯計算機程序，按照五年為一個時間段，考慮從2015年10月開始的“二胎政策”對人口數(shù)量的影響，求出了2050年前重慶市人口老齡化的各項動態(tài)指標的系列預測數(shù)據(jù)。 關(guān)鍵詞：Leslie人口模型，人口老齡化，二孩政策，數(shù)學模型，統(tǒng)計預測，MATLAB1. 問題重述近20年來，隨著計劃生育政策的進一步貫徹落實，全國生育率迅速大幅度下降，同時隨著醫(yī)療事業(yè)的發(fā)展，人口死亡率不斷降低。這種低生育低死亡的人口發(fā)展狀態(tài)導致了我國人口老齡化速度的加快。重慶市是四個直轄市之一，2000年的人口普查

3、數(shù)據(jù)顯示重慶60歲以上老人所占比重相較于10年前上升不少。全面建設(shè)小康社會時期是我國社會快速轉(zhuǎn)型期，人口發(fā)展面臨著前所未有的復雜局面，人口安全面臨的風險依然存在，既2013年中共十八屆三中全會決定啟動實施“單獨二孩”政策之后，2015年10月，中共十八屆中央委員會第五次全體會議公報指出：促進人口均衡發(fā)展，堅持計劃生育的基本國策，完善人口發(fā)展戰(zhàn)略，全面實施一對夫婦可生育兩個孩子政策，二孩的全面開放將為年齡結(jié)構(gòu)的演變帶來一定的影響。需要解決問題：1、收集數(shù)據(jù)，查閱文獻，建模分析重慶市的人口老齡化現(xiàn)狀；2、討論“二孩政策”對重慶市人口年齡結(jié)構(gòu)的影響2. 問題分析問題一：收集從1953年第一次人口普查

4、到2000年第六次人口普查數(shù)據(jù)，畫出老齡人口數(shù)量變化曲線，再利用2000年重慶市各年齡層人數(shù)，各年齡層女性人數(shù)，各年齡層女性生育率，各年齡層存活率數(shù)據(jù)(設(shè)此時總和生育率R=1)推測出到2015年的人口數(shù)量變化，老齡人口數(shù)量變化曲線，計算出2015年重慶市人口數(shù)量。問題二：利用預測出的2015年的數(shù)據(jù)，修改建立模型中的參數(shù)，預計實行“二胎政策”后到2050年的重慶人口變化趨勢。3. 模型假設(shè)1、 本問題所研究的是一個封閉系統(tǒng)，即不考慮人口遷移問題；2、 各地各民族的人口政策相同；3、 不考慮生育率、死亡率和男女性別比隨著區(qū)域人口流動發(fā)生變化的情況；4、 假設(shè)用多胞胎的數(shù)量來抵消那些不結(jié)婚的成年男

5、女；5、 各年段人口死亡率不出現(xiàn)突變現(xiàn)象；6、 人民遵守法律，實行獨生子女政策時，只生一胎，開放二胎后，每戶家庭都哺育二胎；7、 社會穩(wěn)定，無自然災害和戰(zhàn)爭，無其他政策干預。4. 名詞解釋與符號說明41名詞解釋1、人口老齡化指人口中老年人比重日益上升的現(xiàn)象。 促使人口老齡化的直接原因是生育率和死亡率降低，主要是生育率降低。一般認為，如果人口中65歲及以上老年人口比重超過7%，或60歲及以上老年人口比重超過10%，那么該人口就屬于老年型。2、總和生育率指一定時期（如某一年）各年齡組婦女生育率的合計數(shù)，說明每名婦女按照某一年的各年齡組生育率度過育齡期，平均可能生育的子女數(shù)，是衡量生育水平最常用的指

6、標之一。3、負擔老年系數(shù)指老年人口（65歲以上人口）與15-64歲人口的比例。計算公式為：負擔老年系數(shù)=老年人口/15-64歲人口×100%。4、老少比老年人口數(shù)與少年兒童人口數(shù)的比值，用百分數(shù)表示。計算公式是：老少比（65周歲人口數(shù)÷014周歲人口數(shù)）×100%。42符號說明序號符號意義1t表示年份2X數(shù)組表示各個年齡層人數(shù)，以五年為一組3C數(shù)組表示對應女性人口比例4B數(shù)組表示各年齡層女性生育率5S數(shù)組表示各年齡層存活率6Y21行1列空數(shù)組，用于對X的次5年數(shù)據(jù)進行存放7R國家的生育政策允許生孩子數(shù)8N15歲以下青年數(shù)目9M16-64歲人群數(shù)目10O65歲以上老

7、年人數(shù)目11Z65歲以上老齡人口占總?cè)丝诘谋壤?. 模型的建立與求解5.1 重慶市人口老齡化發(fā)展現(xiàn)狀分析根據(jù)聯(lián)合國規(guī)定，60歲以上老年人口占做人口10%以上，或65歲以上老年人口占總?cè)丝?%以上，或老少比超過30%以上的國家或者地區(qū)被稱之為“老年型國家”或者“老年型地區(qū)”。由于我國已經(jīng)將退休年齡延后至65歲，所以本文將65歲以上人群成為老年人。根據(jù)重慶市第一、二、三、四及五次人口普查資料，對重慶市人口老齡化的歷史與現(xiàn)狀列表如下。表1 重慶市人口老齡化主要指標統(tǒng)計表年齡組（歲）人口X(0)女性人口女性比重C年平均死亡率女性人口女性比重C年生育率0-4231868310251690.44216.0

8、910251690.442105-9303438313972750.46050.4913972750.4605010-14405206519393320.47860.4419393320.4786015-19303710714499570.47740.7314499570.47744.9120-24241792511697720.48381.1911697720.4838119.3325-29316290415459480.48881.3315459480.488876.3730-34339834016450720.48411.4916450720.484118.3235-3930540721

9、4691450.4811.7714691450.4814.0740-44258595712363840.47812.4212363840.47811.445-49240723611731450.48733.611731450.48730.7250-5417625758541270.48465.688541270.4846055-5914065776888700.48979.26888700.4897060-6412282086042890.49215.676042890.492065-699277614550200.490427.34550200.4904070-745943152892140

10、.486651.212892140.4866075-793995952049820.51379.492049820.513080-841920131051240.5475136.421051240.5475085-8957395337790.5885185.2337790.5885090-941069067790.6341257.5567790.6341095-99216912020.5542231.9112020.55420100以上124980.7903240980.79030由表1數(shù)據(jù)可以看出，從1964年第二次人口普查之后，各項指標均成上升之勢，并從1960年以后開始加速上升，其增長趨

11、勢如圖1所示。圖 Error! Main Document Only. 重慶市人口老齡化主要指標變化趨勢圖雖然重慶市人口老齡化的各項指標在2000年前尚未到達聯(lián)合國規(guī)定的指標，但已經(jīng)非常接近聯(lián)合國規(guī)定的指標。各項指標顯示，從1990年第四次人口普查以來，重慶市老齡人口增長速度明顯快于人口增長速度，人口老齡化速度大有加速上揚之勢，在2005年前重慶市將進入“老年型地區(qū)”的行列。為了能準確地預測重慶市人口老齡化的發(fā)展程度，下文我們將建立一個動態(tài)的人口增長模型。5.2 重慶市人口老齡化發(fā)展的動態(tài)模型根據(jù)第五次人口普查結(jié)果，2000年10月底重慶市人口總數(shù)為3090.45萬人，按照每五歲為一個年齡組，

12、把099歲劃分為20個年齡組，即04歲為第一個年齡組，59歲為第二個年齡組，1014歲為第三個年齡組，9599歲為第20個年齡組，100歲以上為第21個年齡組，并設(shè)各年齡組構(gòu)成的初始人口列向量為X(0)=x1(0),x2(0),x3(0),x21(0)T；第5t年各年齡組人口構(gòu)成的人口列向量為x1(0),x2(0),x3(0),x21(0)T,稱X(t)為人口狀態(tài)向量。如果設(shè)所有年齡組女性人口占同一組人口比例的系數(shù)向量為C=c1,c2,c3,c21T，那么在5t年時，女性人口的列向量應為C X(t)=c1x1(t),c2x2(t), c3x3(t), c21x21(t)T。假定全市人口遷入與遷

13、出數(shù)量相等，各年齡組婦女在五年內(nèi)的平均生育向量為B=b1,b2,b3,b21T。根據(jù)統(tǒng)計信息，2001年11月1日初始狀態(tài)向量X(0)，人口年死亡率向量，女性在各組人口中所占比例向量，女性年生育率向量等的分量數(shù)據(jù)如表2所示。表2 各年齡組人口死亡率與育齡婦女生育率統(tǒng)計表年齡組（歲）人口X(0)女性人口女性比重C年平均死亡率女性人口女性比重C年生育率0-4231868310251690.44216.0910251690.442105-9303438313972750.46050.4913972750.4605010-14405206519393320.47860.4419393320.47860

14、15-19303710714499570.47740.7314499570.47744.9120-24241792511697720.48381.1911697720.4838119.3325-29316290415459480.48881.3315459480.488876.3730-34339834016450720.48411.4916450720.484118.3235-39305407214691450.4811.7714691450.4814.0740-44258595712363840.47812.4212363840.47811.445-49240723611731450.48

15、733.611731450.48730.7250-5417625758541270.48465.688541270.4846055-5914065776888700.48979.26888700.4897060-6412282086042890.49215.676042890.492065-699277614550200.490427.34550200.4904070-745943152892140.486651.212892140.4866075-793995952049820.51379.492049820.513080-841920131051240.5475136.421051240.

16、5475085-8957395337790.5885185.2337790.5885090-941069067790.6341257.5567790.6341095-99216912020.5542231.9112020.55420100以上124980.7903240980.79030暫且不考慮二孩政策，按照計劃生育政策，一個家庭只能育有一個孩子，設(shè)多胞胎的數(shù)量與不生孩子家庭數(shù)量保持平衡，則可設(shè)總和生育率R=1.15（平均一對夫婦終生只能生育R個孩子）。可取B=b1,b2,b3,b21T。若把t階段存活的全部新生兒劃分到t+1階段的第一年齡組，并設(shè)各年齡組人口在五年期內(nèi)的自然存活率向量為S=

17、s1,s2,s3,s21T。由于第t階段k-1年齡組的人存活到第t+1階段就是k年齡組的人，（k=2,3,4,20），且第21年齡組（即100歲以上）的老年人五年后存活下來的仍屬于第21年齡組。由此可得人口系統(tǒng)狀態(tài)X(t)關(guān)于離散時間變量t(t=1,2,3,n,)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程組：x1(t+1)=k=121ckbkxk(t)xk(t+1)=sk-1xk-1,k=2,3,4,20 (1)x21(t+1)=s20x20(t)+s21x21(t)將上表中的數(shù)據(jù)代入，不斷進行迭代，即可得到重慶市人口老齡化的時間序列動態(tài)數(shù)據(jù)，編輯程序（見附錄1和附錄2），即可得到如下兩張圖片:圖 Error! Main

18、 Document Only. 65歲以上老齡人口數(shù)量變化趨勢圖圖 Error! Main Document Only. 65歲以上老齡人口占總?cè)丝诒壤兓厔輬D根據(jù)預測數(shù)據(jù)，在不久后65歲以上人口即將超過7%，重慶將跨入老年地區(qū)行列中。指標顯示，人口老齡化發(fā)展來勢兇猛，到2025年，65歲以上老年人口比例將超過25%，負擔老年系數(shù)將達到48%，平均每兩個65歲以下的勞動力就要撫養(yǎng)一個65歲以上的老人，圖3和圖4體現(xiàn)了這一趨勢。這種發(fā)展趨勢將迸發(fā)出一系列社會問題。在西部經(jīng)濟尚不發(fā)達的條件下，如果這么發(fā)展下去，社會養(yǎng)老問題首當其沖。5.3考慮“二孩政策”后重慶市人口老齡化發(fā)展的動態(tài)模型由于我國2

19、015年11月開始我國開始全面實施“二孩計劃”，所以基于上述模型，修改總和生育率R為1.2，可編程做出如下兩張圖：圖 Error! Main Document Only. 二胎政策下65歲以上老齡人口占總?cè)藬?shù)比例變化趨勢圖圖 Error! Main Document Only. 二胎政策下各年齡段人口總數(shù)變化趨勢圖由圖4和圖5可以看出，實施二孩政策后，相對于不采取二孩政策，65歲以上老齡人口上升趨勢減緩，雖然青少年占比在2040年前依舊是持續(xù)降低，不過降低趨勢變緩，并且在2040年之后上升，上升幅度比不采取二孩政策要快。而負擔老年系數(shù)則更明顯的說明了問題，采取二孩政策的負擔老年系數(shù)上升變緩，并

20、且在2050年時數(shù)據(jù)為48，而不采取該政策，到2050年預計為51.以上充分說明二孩政策對人口年齡結(jié)構(gòu)有調(diào)控作用，只是效果不會很快的反應出來，需要20-30年的時間，年齡結(jié)構(gòu)才可以得到顯著調(diào)整。6模型的評價及推廣這個模型是建立在上文所提的7個假設(shè)之上，固然會因為考慮不足或者社會變化等原因帶來誤差，但所建立的模型和預測的數(shù)據(jù)還是有一定參考價值的，可針對此模型預測趨勢做出政策改變，以應對勞動力短缺，國家與企業(yè)、社會與家庭的負擔日益加重等問題。參考文獻i. 姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學模型(第三版)M.北京:高等教育出版社，2003:274-324；ii. 于學軍，中國人口信息網(wǎng).中國人口科學2000

21、年第2期，2000-4-6。iii. 王培勛，統(tǒng)計信息論壇.重慶市人口老齡化發(fā)展趨勢的數(shù)學模型與統(tǒng)計預測，2004年；iv. 于洪彥，Excel統(tǒng)計分析與決策M.北京:高等教育出版社，2006年4月。附錄附錄1 計劃生育政策下未來50年老年人口數(shù)量圖程序X=231.8683 303.4383 405.2065 303.7107 241.7925 316.2904 339.8340 305.4072 258.5957 240.7236 176.2575 140.6577 122.8208 92.7761 59.4315 39.9595 19.2013 5.7398 1.0690 0.2169 0

22、.0124'%t年各個年齡層人數(shù)，以五年為一組getC=0.4421 0.4605 0.4786 0.4774 0.4838 0.4888 0.4841 0.4810 0.4781 0.4873 0.4846 0.4897 0.4920 0.4904 0.4866 0.5130 0.5475 0.5885 0.6341 0.5542 0.7903'%對應女性人口比例getB=0 0 0 0.491 11.933 7.637 1.832 0.407 0.140 0.072 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0'%各年齡層女性年生育率getS=0.9939 0.999

23、5 0.9996 0.9993 0.9988 0.9987 0.9985 0.9982 0.9976 0.9964 0.9943 0.9908 0.9843 0.9727 0.9488 0.9205 0.8636 0.8148 0.7425 0.7681 0.7600'%各年齡層存活率get(1-死亡率)Y=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0'O=341.2273;%元年65歲以上老年人數(shù)目getfor t=2000:5:2050%輸出從2000年開始到2050年為止老齡人口數(shù)目與時間關(guān)系圖 Y(1,end)=sum(C.*B.*X)

24、;%新生兒(0-5歲)數(shù)目for i=2:1:20 Y(i,end)=S(i-1,end)*X(i-1,end);%各年齡段6100歲人口數(shù)量（5年為一組）endY(21,end)=S(20,end)*X(20,end)+S(21,end)*X(21,end);%100歲以上人口數(shù)量X=Y;plot(t,O,'or');hold on;O=Y(13,end)+Y(14,end)+Y(15,end)+Y(16,end)+Y(17,end)+Y(18,end)+Y(19,end)+Y(20,end)+Y(21,end);%更新為下一年65歲以上人口數(shù)目endtitle('6

25、5歲以上老齡人口預測');xlabel('t/年');ylabel('O/萬人');附錄2 計劃生育政策下未來50年老年人口所占比例圖程序X=231.8683 303.4383 405.2065 303.7107 241.7925 316.2904 339.8340 305.4072 258.5957 240.7236 176.2575 140.6577 122.8208 92.7761 59.4315 39.9595 19.2013 5.7398 1.0690 0.2169 0.0124'%t年各個年齡層人數(shù)，以五年為一組C=0.4421 0.

26、4605 0.4786 0.4774 0.4838 0.4888 0.4841 0.4810 0.4781 0.4873 0.4846 0.4897 0.4920 0.4904 0.4866 0.5130 0.5475 0.5885 0.6341 0.5542 0.7903'%對應女性人口比例B=0 0 0 0.491 11.933 7.637 1.832 0.407 0.140 0.072 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0'%各年齡層女性生育率S=0.9939 0.9995 0.9996 0.9993 0.9988 0.9987 0.9985 0.9982 0.99

27、76 0.9964 0.9943 0.9908 0.9843 0.9727 0.9488 0.9205 0.8636 0.8148 0.7425 0.7681 0.7600'Y=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0'O=341.2273;%元年65歲以上老年人數(shù)目for t=2000:5:2050%輸出從2005年開始到2050年為止老齡人口數(shù)目與時間關(guān)系圖 Z=O/sum(X);%65歲以上老齡人口占總?cè)丝诘谋壤?Y(1,end)=sum(C.*B.*X);for i=2:1:20 Y(i,end)=S(i-1,end)*X(i-

28、1,end);endY(21,end)=S(20,end)*X(20,end)+S(21,end)*X(21,end);X=Y;plot(t,Z,'*b');hold on;O=Y(13,end)+Y(14,end)+Y(15,end)+Y(16,end)+Y(17,end)+Y(18,end)+Y(19,end)+Y(20,end)+Y(21,end);endtitle('65歲以上老齡人口占總?cè)丝诘谋壤?#39;);xlabel('t/年');ylabel('Z');附錄3二胎政策下65歲以上老齡人口占總?cè)丝诘谋壤龍D程序X= 3660

29、.7 3824.9 3104.0 3013.5 230.1 302.6 403.7 302.3 240.4 314.1 336.7 301.3 253.2 232.6 166.2 126.6 102.7 68.1 36.5 19.2 10.2'%t年各個年齡層人數(shù)，以五年為一組C=0.4421 0.4605 0.4786 0.4774 0.4838 0.4888 0.4841 0.4810 0.4781 0.4873 0.4846 0.4897 0.4920 0.4904 0.4866 0.5130 0.5475 0.5885 0.6341 0.5542 0.7903'%對應女

30、性人口比例B=0 0 0 0.491 11.933 7.637 1.832 0.407 0.140 0.072 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0'%各年齡層女性生育率S=0.9939 0.9995 0.9996 0.9993 0.9988 0.9987 0.9985 0.9982 0.9976 0.9964 0.9943 0.9908 0.9843 0.9727 0.9488 0.9205 0.8636 0.8148 0.7425 0.7681 0.7600'Y=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0'R=2;O=1

31、015.3;%元年65歲以上老年人數(shù)目for t=2015:5:2050%輸出從2015年開始到2050年為止老齡人口數(shù)目與時間關(guān)系圖 Z=O/sum(X);%65歲以上老齡人口占總?cè)丝诘谋壤齓(1,end)=R*sum(C.*B.*X);for i=2:1:20 Y(i,end)=S(i-1,end)*X(i-1,end);endY(21,end)=S(20,end)*X(20,end)+S(21,end)*X(21,end);X=Y;plot(t,Z,'pentagramm');hold on;O=Y(13,end)+Y(14,end)+Y(15,end)+Y(16,end

32、)+Y(17,end)+Y(18,end)+Y(19,end)+Y(20,end)+Y(21,end);endtitle('二胎政策下65歲以上老齡人口占總?cè)丝诘谋壤?#39;);xlabel('t/年');ylabel('Z');附錄4二胎政策下各年齡段的人口預測圖程序X=3660.7 3824.9 3104.0 3013.5 230.1 302.6 403.7 302.3 240.4 314.1 336.7 301.3 253.2 232.6 166.2 126.6 102.7 68.1 36.5 19.2 10.2'%t年各個年齡層人數(shù)，以五年為