導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：含參函數(shù)的單調(diào)性討論(一)

1、精品資料歡迎下載導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：含參函數(shù)的單調(diào)性討論(一 )一、思想方法：f '( x)0xAB .f ( x)增區(qū)間為和A, B .f '( x)0xCD .f ( x)增區(qū)間為和C, D .xD時f '( x)0f (x)在區(qū)間 D上為增函數(shù)xD時f '( x)0f (x)在區(qū)間 D上為減函數(shù)xD時f '( x)0f (x)在區(qū)間 D上為常函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可化歸為求解導(dǎo)函數(shù)正或負的相應(yīng)不等式問題的討論。二、典例講解例 1討論 f (x)xa的單調(diào)性，求其單調(diào)區(qū)間x解： f ( x) xa,0)(0,)的定義域為 (xf ' (x) 1ax 2

2、a(x 0) (它與 g( x)x2a 同號 )x 2x 2I）當 a 0 時， f ' ( x)0( x0) 恒成立，此時 f ( x) 在 (,0) 和 (0,) 都是單調(diào)增函數(shù)，即 f ( x) 的增區(qū)間是 (,0) 和 (0,) ;II)當 a 0 時f ' (x)0( x0)xa或 xaf ' (x) 0( x 0)ax 0或 0 xa此時 f ( x) 在 (,a ) 和 (a ,) 都是單調(diào)增函數(shù)，f ( x) 在 (a ,0) 和 (0,a) 都是單調(diào)減函數(shù)，即 f (x) 的增區(qū)間為 (,a ) 和 (a ,) ;f (x) 的減區(qū)間為 (a,0) 和

3、 (0,a ) .步驟小結(jié)： 1、先求函數(shù)的定義域，2、求導(dǎo)函數(shù)（化為乘除分解式，便于討論正負），3、先討論只有一種單調(diào)區(qū)間的（導(dǎo)函數(shù)同號的）情況，4、再討論有增有減的情況（導(dǎo)函數(shù)有正有負，以其零點分界），5、注意函數(shù)的斷點，不連續(xù)的同類單調(diào)區(qū)間不要合并。變式練習(xí) 1 : 討論 f ( x)xa ln x 的單調(diào)性，求其單調(diào)區(qū)間解： f (x)xaln x的定義域為 (0, )f ' (x) 1ax a (x 0) (它與 g( x) xa 同號 )xxI）當 a 0 時， f ' ( x)0( x0) 恒成立，此時 f ( x) 在 (0,) 為單調(diào)增函數(shù)，即 f ( x)

4、的增區(qū)間為(0,) ，不存在減區(qū)間 ;精品資料歡迎下載II) 當 a0 時 f ' ( x) 0( x 0)xa ;f ' (x) 0(x 0)0xa此時 f ( x) 在 ( a,) 為單調(diào)增函數(shù)，f ( x) 在 (0, a) 是單調(diào)減函數(shù)，即 f (x) 的增區(qū)間為 (a,) ; f (x) 的減區(qū)間為 ( 0, a) .例 2討論 f ( x)axln x 的單調(diào)性解： f (x)axln x 的定義域為 (0,)f ' ( x) a1ax 1 ( x 0) (它與 g(x)ax 1 同號 )xxI）當 a0時， f ' (x)0(x0) 恒成立 （此時

5、 f '( x) 0x1沒有意義）a此時 f (x) 在 (0,) 為單調(diào)增函數(shù)，即f (x) 的增區(qū)間為 (0,)II ）當 a0 時， f ' (x)0(x0) 恒成立，（此時 f '( x)0x1不在定義域內(nèi)，沒有意義）a此時 f ( x) 在 (0,) 為單調(diào)增函數(shù)，即f ( x) 的增區(qū)間為 (0,)III)當 a0時 ,令 f ' (x)01xa于是，當 x 變化時， f ' ( x),f ( x) 的變化情況如下表： (結(jié)合 g(x) 圖象定號 )x(0,1)1(1, )aaaf ' (x)0f ( x)增減所以，此時 f ( x)

6、 在 (0,1 ) 為單調(diào)增函數(shù)， f ( x) 在 ( 1 , ) 是單調(diào)減函數(shù)，aa即 f (x) 的增區(qū)間為 (0,1 ) ; f (x) 的減區(qū)間為 ( 1 , ) .aa小結(jié)：導(dǎo)函數(shù)正負的相應(yīng)區(qū)間也可以由導(dǎo)函數(shù)零點來分界，但要注意其定義域和連續(xù)性。即先求出f ' ( x)的零點，再其分區(qū)間然后定f ' (x) 在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的符號。一般先討論f ' (x)0 無解情況，再討論解f ' (x)0 過程產(chǎn)生增根的情況（即解方程變形中諸如平方、去分母、去對數(shù)符號等把自變量x 范圍擴大而出現(xiàn)有根，但根實際上不在定義域內(nèi)的），即根據(jù)f ' ( x) 零點個

7、數(shù)從少到多，相應(yīng)原函數(shù)單調(diào)區(qū)間個數(shù)從少到多討論，最后區(qū)間（最好結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象）確定相應(yīng)單調(diào)性。變式練習(xí) 2.討論 f (x)1 ax 2 ln x 的單調(diào)性2精品資料歡迎下載解： f (x)1 ax 2ln x 的定義域為 (0, )2f ' (x) ax1ax21ax21同號 .x( x 0) , 它與 g(x)x令 f ' (x) 0ax 21 0( x 0) ，當 a 0 時，無解；當 a 0時, x1aa(另一根不在定義域內(nèi)舍去 )ai) 當 a0 時， f ' ( x)0(x0) 恒成立 （此時 f ' ( x) 0x 21 沒有意義）a此時 f (

8、x) 在 (0,) 為單調(diào)增函數(shù)，即f (x) 的增區(qū)間為 (0,)ii) 當 a0 時， f '( x)0( x0) 恒成立，(此時 方程ax 210 判別式0 ,方程無解 )此時 f ( x)在 (0,) 為單調(diào)增函數(shù)，即f ( x) 的增區(qū)間為 (0,)iii) 當 a 0時 ,當 x 變化時，f ' (x), f (x) 的變化情況如下表：(結(jié)合 g(x) 圖象定號 )x(0,1 )1(1 ,)aaaf ' (x)0f ( x)增減所以，此時 f (x) 在 (0,1 ) 為單調(diào)增函數(shù)，f ( x) 在 (1, ) 是單調(diào)減函數(shù)，aa即 f (x) 的增區(qū)間為

9、( 0,1 ) ; f ( x) 的減區(qū)間為 (1 ,) .aa小結(jié)：一般最后要綜合討論情況，合并同類的，如i),ii) 可合并為一類結(jié)果。對于二次型函數(shù)（如g( x)ax 21）討論正負一般先根據(jù)二次項系數(shù)分三種類型討論。例3求 f ( x)a 2 x3解： f (x)a 2 x 3ax 2f ' ( x)3a 2 x 22axI) 當 a 0 時， f ' ( x)II) 當 a0 時 3a 20 ，令 f ' ( x)0得 x1i)當 a0 時，ax 2x1 的單調(diào)區(qū)間x 1的定義域為 R，1(3ax 1)(ax 1)10f (x) 在 R 上單調(diào)遞減，f (x)

10、 減區(qū)間為 R，無增區(qū)間。f '( x) 是開口向上的二次函數(shù)，11f ' ( x) 的圖象）, x2(a 0) , 因此可知（結(jié)合3aax1x2f ' (x)0x11011或 x; f ' ( x)axa3a3a所以此時，f (x) 的增區(qū)間為 (1和1； f (x) 的減區(qū)間為11),) (, )(,a3aa3a精品資料歡迎下載ii)當 a0時， x1x2f ' (x)0x11;或 xa3af ' (x)01x13aa所以此時，f (x) 的增區(qū)間為 (,1)和(1,) ； f ( x) 的減區(qū)間為 (1,1 )3aa3aa小結(jié)：求函數(shù)單調(diào)區(qū)

11、間可化為導(dǎo)函數(shù)的正負討論 （即分討論其相應(yīng)不等式的解區(qū)間） ，常見的是化為二次型不等式討論，當二次函數(shù)開口定且有兩根時，一般要注意討論兩根大?。ǚ执?、小、等三種情況）。含參二次不等式解時要先看能否因式分解， 若能則是計算簡單的問題， 需看開口及兩根大小，注意結(jié)合圖象確定相應(yīng)區(qū)間正負。變式練習(xí) 3求 f ( x)1x31ax 2x1的單調(diào)區(qū)間32解： f (x) 的定義域為 R， f ' ( x)x 2ax1f ' ( x) 是開口向上的二次函數(shù)，a 24I)當02a2 時， f ' (x)0 恒成立所以此時f (x) 在 R 上單調(diào)遞增，f ( x) 增區(qū)間為 R，無減

12、區(qū)間。II)當0a2或a2 時令 f ' ( x)0得 x1aa 24 , x2aa 24 , x1x222因此可知（結(jié)合f ' ( x) 的圖象）f (x) 與 f ' (x) 隨 x 變化情況如下表x(, x1 )x1( x1 , x2 )x2( x2 , )f ' (x)00f (x)增減增所以此時，f ( x) 的增區(qū)間為 (,aa24 )和(aa 24 ,) ；22f (x) 的減區(qū)間為 (aa 24 ,aa 24 )22小結(jié)：三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是常見二次函數(shù)，當二次函數(shù)開口定時對其正負進行討論的，要根據(jù)判別式討論：無根的或兩根相等的導(dǎo)函數(shù)只有一種符號，

13、相應(yīng)原函數(shù)是單調(diào)的較簡單應(yīng)先討論；然后再討論有兩不等根的，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象列變化表，注意用根的符號x1 , x2 代替復(fù)雜的式，最后結(jié)論才寫回。個別點處導(dǎo)數(shù)為0 不影響單調(diào)性。只有在某區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)恒為0 時，相應(yīng)區(qū)間內(nèi)原函數(shù)為常數(shù)，一般中學(xué)所見函數(shù)除分段函數(shù)和常函數(shù)外不會出現(xiàn)此種情況。三、鞏固作業(yè)：1. 已知函數(shù) f (x) ln xa . ，求 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間 .x精品資料歡迎下載解：函數(shù)的定義域為（0，+）， fx1axa,xx2x2令 f 'x0得： xa若即，則fx0 ,f在( 0 ,上單調(diào)遞增；a 0a 0x)若a即a，則由fx得 x>-a由fx得 x<-a

14、000,0fx在(a,上單調(diào)遞增, 在 0,-a上單調(diào)遞減 .)總之，當a0時， fx 在 ( 0,上)單調(diào)遞增；當a0時，fx在(a,上單調(diào)遞增, 在 0,-a 上單調(diào)遞減 .)2. 已知函數(shù) f(x)= 1x2 ax+( a 1) ln x ，討論函數(shù) f (x) 的單調(diào)性 ,求出其單調(diào)區(qū)間。2解：f ( x) 的定義域為 (0,) .f ' ( x) x aa 1 x2ax a 1 ( x 1)( x 1 a)x1x a 1=xxxx令f 'x0得: x 1, xa 112(1) 若 a10即 a1時， f ' (x)0x1; f ' (x)00x1此時

15、f ( x)在(1,)單調(diào)遞增 ,在 (0,1)單調(diào)遞減(2) 若 a 1 0即 a 1時，若 a 11即 a2 時， f ' ( x)( x 1)2>0, 故 f (x) 在 (0,) 單調(diào)遞增 .x若 0< a 1 1 ,即 1 a2 時，由 f ' ( x)0 得， a 1x 1 ；由 f ' ( x)0得， 0x a 1或x 1故 f ( x)在 (a1,1) 單調(diào)遞減，在 (0, a1),(1,) 單調(diào)遞增 .若a 11,即a2時，由 f ' ( x)0 得， 1 xa 1 ；由 f ' ( x)0得， 0x 1或x a 1故 f ( x) 在 (1