偵察機(jī)搜索潛艇doc

1、偵察機(jī)搜索問題一、問題重述偵察機(jī)搜索潛艇，設(shè)時(shí)潛艇在點(diǎn)，飛機(jī)在點(diǎn)O處，OA6浬，此時(shí)潛艇潛入水中并沿著飛機(jī)不知道的某一方向以直線形式逃去，艇速20浬/時(shí)。飛機(jī)以速度公里/時(shí)按照待定的航線搜索潛艇，當(dāng)且僅當(dāng)飛到潛艇的正上方時(shí)才可發(fā)現(xiàn)它。（1）、以為原點(diǎn)建立坐標(biāo)（r，）系，點(diǎn)位于的向徑上，見下圖。分析圖中由P,Q,R組成的小三角形，證明在有限時(shí)間內(nèi)飛機(jī)一定可以搜索到潛艇的航線，上先從點(diǎn)沿直線飛到某點(diǎn)P0再從沿一條對數(shù)螺線飛行一周，而P0是一個圓周上的任一點(diǎn)。給出對數(shù)螺線的表達(dá)式，并畫出一條航線的示意圖。（2）、為了使整條航線是光滑的，直線段應(yīng)與對數(shù)螺線在點(diǎn)相切，找出這條光滑的航線。（3）、在所有一

2、定的可以發(fā)現(xiàn)潛艇的航線中哪一條航線是最短的，長度是多少。光滑的航線的長度又是多少？ A2、 問題分析證明存在航線，證明在有限時(shí)間內(nèi)飛機(jī)一定可以搜索到潛艇的航線，上先從點(diǎn)沿直線飛到某點(diǎn)P0再從沿一條對數(shù)螺線飛行一周，而P0是一個圓周上的任一點(diǎn)。并證明航線存在。3、 模型假設(shè)和符號說明 設(shè)對數(shù)螺線為=，飛到達(dá)點(diǎn)。4、 建立模型和求解：1、證明并找出可行航線。1）、確定對數(shù)螺線方程如圖，以為原點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)位于=的向徑上。設(shè)對數(shù)螺線為=。在某一時(shí)刻，飛機(jī)到達(dá)點(diǎn)，且潛艇恰好到達(dá)點(diǎn)，位于以圓心的同一圓周上，即。之后，飛機(jī)沿M由飛向，潛艇沿航向R，要使飛機(jī)搜索到潛艇，則必有飛機(jī)與潛艇同時(shí)到到達(dá)R，即=

3、，飛機(jī)的速度為潛艇的2倍，則可得： =2由數(shù)學(xué)分析中極坐標(biāo)下弧長的積分公式：=可得PR的長度為：=可得：=又有：=代入可得：=由式可得：=即對數(shù)螺線為：=（）2）、確定點(diǎn)的軌跡圓周設(shè)點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，其中，。如圖，要使飛機(jī)到達(dá)時(shí)，潛艇恰好與飛機(jī)在同一圓周（其圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)）上，要滿足：=即：將其化為極坐標(biāo)下的方程，可得的軌跡為：3）、確定可行航線,從而原命題得證綜上可得，在有限時(shí)間內(nèi)（最長為飛機(jī)到達(dá)后，再沿對數(shù)螺線飛行一周）飛機(jī)一定可以搜索到潛艇的航線，是先從點(diǎn)沿直線飛到，再沿一條對數(shù)螺線飛行一周。為圓周上任意一點(diǎn)：對數(shù)螺線表達(dá)式為： =（）其中一條可行航線如圖所示：2、尋找光滑航線。1）、確

4、定過的直線：由直角坐標(biāo)系下的直線方程令：，可得：，令：，則極坐標(biāo)下直線的方程為：（其中，為直線與向徑的夾角，為直線與向徑的交點(diǎn)。如圖所示）那么過點(diǎn)的直線的方程為：2）、確定對數(shù)螺線在點(diǎn)的斜率：令：，由直線的斜率=得：則對數(shù)螺線：在點(diǎn)的斜率為：3）、確定直線與對數(shù)螺線的切點(diǎn)：要使航線光滑，即直線與對數(shù)螺線在圓上切于點(diǎn)，須要滿足條件： 在圓上 在直線上=在對數(shù)螺線對數(shù)螺線在的斜率與直線的斜率相等聯(lián)立式可解得：， ，。即得：點(diǎn)： 直線：對數(shù)螺線：=從而得兩條對稱光滑航線（如圖a、圖b所示），飛機(jī)先沿直線由飛到，再由沿對數(shù)螺線飛行一周。3、計(jì)算最短航程及光滑航程。1）、求最短航程令最短直線航程為。如圖

5、所示，的軌跡為圓，易知到圓距離取最短時(shí)為，那么有：=4令最短螺線航程為。由前述對對數(shù)螺線=(,)的確定中可知在式中：表示螺線的開合程度，表示在螺線形狀不變的前提下將螺線繞極點(diǎn)（原點(diǎn)）進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，并且要保證一定能搜到潛艇 不要變，而()可變，即可以將對數(shù)螺線繞極點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)，其與圓的交點(diǎn)均滿足要求。分析對數(shù)螺線的特點(diǎn)可知螺線上距極點(diǎn)越近的點(diǎn)其繞螺線一周的航程越短，又由對數(shù)螺線與圓的位置關(guān)系可得，與交于時(shí)其螺線航程最短，將代入：=此時(shí)可得：。即：=由積分=可求得：=。如圖所示，綜上可知直線航程取最短時(shí)的與螺線航程取得最短時(shí)的重合，都為。那么總的最短航程就為最短直線航程與最短螺線航程之和，即最短總航程為：）、光滑航程取得光滑航程時(shí)為，此時(shí)=，令光滑直線航程為。=令光滑螺線航程為。由積分=可求得光滑螺線航程為：那么光滑航程就為光滑直線航程為與光滑螺線航程為之和，即光滑航程為：=+=5、 解的解釋： 上面解題過程中已經(jīng)說明。六、模型的局限性和推廣 該模型只是考慮艇速和偵察機(jī)速度以及距離確定的情況，對于這種情況，我們認(rèn)為在本質(zhì)和考慮問題的思想上來說模型是不變的，我想應(yīng)該更復(fù)雜應(yīng)該講艇速和偵察機(jī)速度設(shè)為變量以及兩者距離也設(shè)為變量這樣會更加實(shí)用。該模型還忽略了一些客觀存在但不易計(jì)算或影響較小的因素，飛機(jī)和潛艇速度不是勻速等次要因素，在實(shí)際問題中的限制性因素遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過這些，但一些因素對研究問