伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)(人與人交往的學(xué)習(xí))

1、5.7 伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)在經(jīng)典控制理論中，我們通常按前饋傳遞函數(shù)中的積分器數(shù)目來(lái)劃分系統(tǒng)的類(lèi)型，如0型系統(tǒng)、I型系統(tǒng)等。I型系統(tǒng)在前饋通道中有一個(gè)積分器，且此系統(tǒng)的階躍響應(yīng)不存在穩(wěn)態(tài)誤差。本節(jié)將討論I型伺服系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法，此時(shí)，將假定系統(tǒng)只有一個(gè)純量控制輸入u和一個(gè)純量輸出y，即僅考慮單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)。所謂伺服系統(tǒng)是用來(lái)控制被控對(duì)象的某種狀態(tài)，使其能自動(dòng)地、連續(xù)地、精確地復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)地變化規(guī)律，通常是閉環(huán)控制系統(tǒng)。 下面首先討論針對(duì)I型被控對(duì)象(被控對(duì)象含積分器)的I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題，然后討論針對(duì)0型被控對(duì)象(被控對(duì)象不含積分器)的I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題。5.7.1 被控系

2、統(tǒng)具有積分器的I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)考慮由下式定義的線性定常系統(tǒng)(5.89)(5.90)式中，。如前所述，假設(shè)控制輸入u和系統(tǒng)輸出y均為純量。選擇一組適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量，例如可以選擇輸出量等于其中的一個(gè)狀態(tài)變量，這里假定輸出量y等于x1。圖5.9給出了被控系統(tǒng)具有一個(gè)積分器時(shí)I型伺服閉環(huán)系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)。這里，假設(shè)y =x1。在分析中，假設(shè)參考輸入r是階躍函數(shù)。圖5.9 被控系統(tǒng)具有一個(gè)積分器的I型閉環(huán)伺服系統(tǒng) 在此系統(tǒng)中，采用如下的狀態(tài)反饋控制規(guī)律 (5.91)式中假設(shè)在t = 0時(shí)施加參考輸入（階躍函數(shù)）。因此t > 0時(shí)，該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性由式（5.89）和（5.91）描述，即 (5.92) 設(shè)

3、計(jì)I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)，使得閉環(huán)極點(diǎn)配置在期望的位置。這里設(shè)計(jì)的將是一個(gè)漸近穩(wěn)定系統(tǒng)，y()趨于常值r(r為階躍輸入)，u()趨于零。 在穩(wěn)態(tài)時(shí)， (5.93) 注意，r（t）是階躍輸入。對(duì)t > 0，有r()=r(t)=r(常值)。用式（5.92）減去（5.93），可得 (5.94) 定義因此，式（5.94）成為 (5.95)式（5.95）描述了誤差動(dòng)態(tài)特征。因此，I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為：對(duì)于給定的任意初始條件e(0),設(shè)計(jì)一個(gè)漸近穩(wěn)定的調(diào)節(jié)器系統(tǒng)，使得e(t）趨于零。如果由式（5.89）確定的系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則對(duì)矩陣A-BK，通過(guò)指定的期望特征值1，2，,n，可由5.2節(jié)介紹

4、過(guò)的極點(diǎn)配置方法來(lái)確定線性反饋增益矩陣K。x(t)和u(t)的穩(wěn)態(tài)值求法如下：在穩(wěn)態(tài)（）時(shí)，由式（5.92）可得 由于A-BK的期望特征值均在s的左半平面，所以矩陣A-BK的逆存在。從而，x()可確定為 同樣，u()可求得為-例5.7 考慮被控系統(tǒng)傳遞函數(shù)具有一個(gè)積分器時(shí)的I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。假設(shè)被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試設(shè)計(jì)一個(gè)I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)，使得閉環(huán)極點(diǎn)為。假設(shè)該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與圖5.9所示相同，參考輸入r是階躍函數(shù)。解 定義狀態(tài)變量x1,x2和x3為，則該被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 (5.96)(5.97)式中參見(jiàn)圖5.9并注意到n = 3，則控制輸入u為 (5.98) 式中 此時(shí)，就可用

5、極點(diǎn)配置方法確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。 現(xiàn)檢驗(yàn)系統(tǒng)的能控性矩性。由于的秩為3。因此，該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，并且可任意配置極點(diǎn)。 將式（5.98）代入式（5.96），可得 (5.99)式中的r為階躍函數(shù)。因此，當(dāng)t趨于無(wú)窮時(shí)，x(t)趨于定常向量x()。在穩(wěn)態(tài)時(shí)， (5.100) 從式（5.99）減去式（5.100），可得 定義那么 (5.101)式（5.101）確定了誤差的動(dòng)態(tài)特性。給定被控系統(tǒng)的特征方程為因此 由于A-BK的期望特征值為所以期望的特征方程為因此 為了利用極點(diǎn)配置方法來(lái)確定矩陣K，采用式（5.13），將其重寫(xiě)為 (5.102) 由于式（5.96）已是能控標(biāo)準(zhǔn)形，所以P = I。

6、因此 該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)容易由計(jì)算機(jī)仿真求得。由于 由式（5.99），可得此閉環(huán)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 (5.103) 輸出方程為 (5.104) 當(dāng)r為單位階躍函數(shù)時(shí)，求解式（5.103）和（5.104），即可得到y(tǒng)(t)對(duì)t的單位階躍響應(yīng)曲線。利用MATLAB Program 5.9，將可輕松地求出單位階躍響應(yīng)。相應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖5.10所示。注意到，因此由式（5.100），可得MATLAB Program 5.9% - Unit-step response -% * Enter the state matrix A,control matrix B, output matrix C，

7、% and direct transmission matrix D *A=0 1 0;0 0 1;-160 -56 -14;B=0;0;160;C=1 0 0;D=0;% * Enter step command and plot command *t=0:0.01:5;y=step(A,B,C,D,1,t);plot(t,y)gridtitle(Unit-Step Response)xlabel(t Sec)ylabel(Output y)圖5.10 例5.7設(shè)計(jì)的系統(tǒng)之y(t)對(duì)t的單位階躍響應(yīng)曲線 由于所以 顯然，。在階躍響應(yīng)中沒(méi)有穩(wěn)態(tài)誤差。 注意，由于所以即在穩(wěn)態(tài)時(shí)，控制輸入u為零。

8、-5.7.2 被控系統(tǒng)中不含積分器時(shí)的I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì)如果被控系統(tǒng)中沒(méi)有積分器（0型被控系統(tǒng)），則設(shè)計(jì)I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的基本原則是在誤差比較器和系統(tǒng)間的前饋通道中插入一個(gè)積分器，如圖5.11所示（當(dāng)不含積分器時(shí)，圖5.11所示方塊圖是I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的基本形式）。由圖中可得 (5.105) (5.106) (5.107) (5.108)式中，。假設(shè)由式（5.105）定義的系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為圖5.11 I型閉環(huán)伺服系統(tǒng) 為了避免插入的積分器在系統(tǒng)原點(diǎn)處與零點(diǎn)有相約的可能，假設(shè)在原點(diǎn)處沒(méi)有零點(diǎn)。假設(shè)在t = 0時(shí)施加參考輸入（階躍函數(shù)），則對(duì)t > 0，該系統(tǒng)的動(dòng)

9、態(tài)特性可由式（5.105）和（5.108）的組合來(lái)描述，即 (5.109) 試設(shè)計(jì)一個(gè)漸近穩(wěn)定系統(tǒng)，使得、和分別趨于常值。因此，在穩(wěn)態(tài)時(shí)，并且。 注意，在穩(wěn)態(tài)時(shí) (5.110)其中r(t)為階躍輸入，從而對(duì)t > 0，r() = r(t) = r（常值）。從式（5.109）中減去式（5.110），可得 (5.111) 定義則式（5.111）可改寫(xiě)為 (5.112)式中 (5.113) 由定義一個(gè)新的n+1維誤差向量e (t)，因此式（5.112）成為 (5.114)式中且式（5.113）成為 (5.115)這里 設(shè)計(jì)I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的基本思想是設(shè)計(jì)一個(gè)穩(wěn)定的n+1階調(diào)節(jié)器系統(tǒng)，對(duì)于給定的

10、任意初始條件e (0)，使新的誤差向量e (t)趨于零。 式（5.114）和（5.115）描述了該n+1階調(diào)節(jié)器系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征。如果由式（5.114）定義的系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，則通過(guò)指定該系統(tǒng)的期望特征方程，利用在5.2節(jié)中介紹的極點(diǎn)配置方法，即可確定矩陣。 x(t)、(t)和u(t)的穩(wěn)態(tài)值可確定如下：在穩(wěn)態(tài)（）時(shí)，由式（5.105）和（5.108）可得 將上述兩式合并為如下向量-矩陣方程為如果由(5.116)定義的矩陣的秩為n+1，則其逆存在，并且 同樣地，由式（5.107）可得因此 注意，如果由式（5.116）給出的矩陣的秩為n+1，則由式（5.114）定義的系統(tǒng)狀態(tài)完全能控（參見(jiàn)例5.1

11、5），該問(wèn)題的解可利用極點(diǎn)配置方法求得。 狀態(tài)誤差方程可通過(guò)將式（5.115）代入式（5.114）得到，即 (5.117) 如果矩陣的期望特征值（即期望閉環(huán)極點(diǎn)）確定為，則可確定狀態(tài)反饋增益矩陣和積分增益常數(shù)。在實(shí)際設(shè)計(jì)中，必須考慮幾個(gè)不同的矩陣（它對(duì)應(yīng)于幾組不同的期望特征值），且可進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真，以便找出使系統(tǒng)總體性能最好的作為最終選擇的矩陣。在通常情況下，不是所有的狀態(tài)變量均可直接量測(cè)。如果情況確實(shí)如此，我們必須采用觀測(cè)器。圖5.12所示為具有狀態(tài)觀測(cè)器的I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的方塊圖。圖5.12 具有狀態(tài)觀測(cè)器的I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)5.8 利用MATLAB設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)舉例考慮倒立擺控制系統(tǒng)，如圖5

12、.13所示。在該例中，我們僅討論擺和小車(chē)在圖面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的情形。希望盡可能地保持倒立擺垂直，并控制小車(chē)的位置。例如，以步進(jìn)形式使小車(chē)移動(dòng)。為控制小車(chē)的位置，需建造一個(gè)I型伺服系統(tǒng)。安裝在小車(chē)上的倒立擺被控系統(tǒng)沒(méi)有積分器(0型系統(tǒng))。因此，將位置信號(hào)y(表示小車(chē)的位置)反饋到輸入端，并且在前饋通道中插入一個(gè)積分器，如圖5.14所示（將該系統(tǒng)與5.4節(jié)討論的系統(tǒng)進(jìn)行比較，后者沒(méi)有輸入作用于小車(chē)上）。假設(shè)擺的角度和角速度很小，以致于，和。又假設(shè)M、m和l的值與5.4節(jié)討論的系統(tǒng)的對(duì)應(yīng)數(shù)值相同。也就是說(shuō)M = 2千克， m = 0.1千克， l = 0.5米圖5.13 倒立擺控制系統(tǒng)圖5.14 倒立擺系統(tǒng)

13、(當(dāng)被控對(duì)象不含積分器時(shí)的I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)) 參照5.4節(jié)（式（5.21）和（5.22），該倒立擺控制系統(tǒng)的方程為(5.118)(5.119) 代入給定的數(shù)值，式（5.118）和（5.119）成為 (5.120) (5.121)定義狀態(tài)變量為因此，參照式（5.120）和（5.121）和圖5.14，且考慮作為系統(tǒng)輸出的小車(chē)位置x，可得該系統(tǒng)的方程為 (5.122) (5.123)(5.124)(5.125)式中 對(duì)于I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)， 我們得到用式（5.114）給出的狀態(tài)誤差方程為 (5.126)式中及由式（5.115）給出的控制輸入為這里現(xiàn)用極點(diǎn)配置方法確定所需的狀態(tài)反饋增益矩陣，即采用式（5

14、.13）確定矩陣。下面首先介紹一種解析方法，然后再介紹MATLAB解法。在進(jìn)一步討論前，必須檢驗(yàn)矩陣的秩，其中即 (5.127)易知，該矩陣的秩為5。因此，由式（5.126）定義的系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，并可任意配置極點(diǎn)。相應(yīng)由式（5.126）給出的系統(tǒng)的特征方程為因此為了使設(shè)計(jì)的系統(tǒng)獲得適當(dāng)?shù)捻憫?yīng)速度和阻尼（例如，在小車(chē)的階躍響應(yīng)中，約有45秒的調(diào)整時(shí)間和15%16%的最大超調(diào)量），選擇期望的閉環(huán)極點(diǎn)為 (i=1,2,3,4,5)，其中這是一組可能的期望閉環(huán)極點(diǎn)，也可選擇其他的。因此，期望的特征方程為于是 下一步求由式（5.4）給出的變換矩陣P這里Q和W分別由式（5.5）和(5.6)給出，即于

15、是 矩陣P的逆為 參見(jiàn)式（5.13），矩陣計(jì)算為因此且5.8.1 所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)特性 確定了狀態(tài)反饋增益矩陣K和積分增益常數(shù)，小車(chē)位置的階躍響應(yīng)可通過(guò)下列狀態(tài)方程求得，即 (5.128) 由于 式（5.128）可寫(xiě)為(5.129)或 圖5.15給出了x1(t)、x2(t)、x3(t)、x4(t)和(t) ( = x5(t) ) 對(duì)t的響應(yīng)曲線。圖中，作用在小車(chē)上的輸入r(t)為單位階躍函數(shù)，即r(t) =1米。注意，x1=、x2=、x3 = x和x4=。所有的初始條件均等于零。圖5.15 x1(t)、x2(t)、x3(t)、x4(t)和x5(t) 對(duì)t的響應(yīng)曲線 x3 (t) ( =

16、 x(t) )的階躍響應(yīng)正如所希望的那樣，調(diào)整時(shí)間約為4.5秒，最大超調(diào)量約為11.8%。在位置曲線（x3(t) 對(duì)t的曲線）上，有一點(diǎn)很有趣，即最初的0.6秒左右，小車(chē)向后移動(dòng)，使得擺向前傾斜。然后，小車(chē)在正方向加速運(yùn)動(dòng)。 x3(t) 對(duì)t的響應(yīng)曲線清晰地顯示了x3()趨于r。同樣地，x1 () = 0、x2 () = 0、x4 () = 0和 = 1.1。這一結(jié)果可由以下分析方法予以證實(shí)。在穩(wěn)態(tài)時(shí)，由式（5.122）和（5.125）可得將其合并為由于已求出矩陣的秩為5，所以矩陣的逆存在。因此 參照方程(5.127)，可得因此從而 由于或可得由于，故由式 (5.125) 可得從而因此，對(duì)r

17、= 1，可得如圖5.15所示。應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，在任意的設(shè)計(jì)問(wèn)題中，如果響應(yīng)速度和阻尼不十分滿(mǎn)意，則必須修改期望的特征方程，并確定一個(gè)新的矩陣。必須反復(fù)進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真，直到獲得滿(mǎn)意的結(jié)果為止。5.8.2 用MATLAB確定狀態(tài)反饋增益矩陣和積分增益常數(shù) MATLAB Program 5.10可用于設(shè)計(jì)倒立擺控制系統(tǒng)。注意，在程序中，用符號(hào)A1、B1和KK分別表示、和，即MATLAB Program 5.10% - Design of an inverted pendulum control system -% * In this program we use Ackermanns formula f

18、or % pole placement *% * This program determines the state feedback gain matrix% K=k1 k2 k3 k4 and integral gain constant KI *% * Enter matrices A, B, C, and D *A=0100; 20.601000; 0 001; -0.4905000;B=0;-1;0;0.5;C=0 0 1 0;D=0;% * Enter matrices A1 and B1 *A1=A zeros(4,1);-C 0;B1=B;0;% * Define the co

19、ntrollability matrix Q *Q=B1 A1*B1 A12*B1 A13*B1 A14*B1 ;% * Check the rank of matrix Q *rank(Q)ans= 5% * Since the rank of Q is 5, the system is completely% state controllable. Hence, arbitrary pole placement is % possible *% * Enter the desired characteristic polynomial, which % can be obtained by

20、 defining the following matrix J and % entering statement poly(J) *J=-1+sqrt(3)*i0 0 0 0;0 -1-sqrt(3)*i 0 0 0;0 0 -5 0 0;0 0 0-5-5;0 0 0 0-5;JJ=poly(J)JJ=1.0000 17.0000 109.0000 335.0000 550.0000 500.0000% * Enter characteristic polynomial Phi *Phi=polyvalm(poly(J),A1);% * State feedback gain matrix

21、 K and integral gain constant% KI can be determined from *KK=00001*(inv(Q)*PhiKK=-157.6336 -35.3733 -56.0652 -36.7466 50.9684k1=KK(1), k2=KK(2), k3=KK(3), k4=KK(4), KI=-KK(5)k1= -157.6336k2= -35.3733k3= -56.0652k4= -36.7466KI= -50.96845.8.3 所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)特性一旦確定了反饋增益矩陣K和積分增益常數(shù)，小車(chē)的位置對(duì)階躍的響應(yīng)就可通過(guò)求解式（5.129）

22、求得，現(xiàn)將其重寫(xiě)為(5.130) 該系統(tǒng)的輸出為x3(t)，即(5.131) 將由式（5.130）和（5.131）給出的系統(tǒng)矩陣（狀態(tài)矩陣）、控制矩陣、輸出矩陣及直接傳輸矩陣分別記為AA、BB、CC和DD。 MATLAB Program 5.11可用于給出所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。注意，為了求得對(duì)單位階躍的響應(yīng)，需輸入命令圖5.16給出了x1、x2、x3 ( = 輸出y )、x4對(duì)t，以及x5（ =）對(duì)t的響應(yīng)曲線（在圖5.15中，這些響應(yīng)曲線均表示在同一個(gè)圖上）。MATLAB Program 5.11% - Step response of the designed system -% *

23、The following program is to obtain step response% of the inverted pendulum system just designed *% * Enter necessary matrices *A=0 1 0 0;20.601 0 0 0;0 0 0 1;-0.4905 0 0 0;B=0;-1;0;0.5;C=0 0 1 0;D=0;K=-157.6336 -35.3733 -56.0652 -36.7466;KI=-50.9684;AA=A-B*K B*KI;-C 0;BB=0;0;0;0;1;CC=C 0;DD=0;% * Ne

24、xt, enter the following command *t=0:0.02:6;y,x,t=step(AA,BB,CC,DD,1,t);plot(t,x)gridtitle(Response Curves x1, x2, x3, x4, x5 versus t)xlabel(t Sec)ylabel(x1, x2, x3, x4, x5)text(1.3,0.04,x1)text(1.5,-0.34,x2)text(1.5,0.44,x3)text(2.33,0.26,x4)text(1.2,1.3,x5)% * The above response curves were prese

25、nted in Figure 5.15 *% * To obtain response curves x1 versus t, x2 versus t,% x3 versus t, x4 versus t, and x5 versus t, separately, enter% the following command *x1=10000*x;x2=01000*x;x3=00100*x;x4=00010*x;x5=00001*x;subplot(3,2,1);plot(t,x1) ;gridtitle(x1 versus t)xlabel(t Sec)ylabel(x1)subplot(3,2,2);plot(t,x2);gridtitle(x2 versus t)xlabel(t Sec)ylabel(x2)subplot(3,2,3);plot(t,x3);gr