機械制圖3_立體表面交線的投影作圖

1、授課人： 第三章第三章 立體表面交線的投影作圖立體表面交線的投影作圖3.1 平面立體平面立體 由平面圍成的立體稱為平面體，其表面由若干多邊形圍由平面圍成的立體稱為平面體，其表面由若干多邊形圍成。相鄰兩表面的交線稱為棱線。繪制平面體的投影就是成。相鄰兩表面的交線稱為棱線。繪制平面體的投影就是把組成立體的所有平面和棱線表示出來，可見的棱線畫成把組成立體的所有平面和棱線表示出來，可見的棱線畫成實線，不可見的畫成虛線。實線，不可見的畫成虛線。一一 棱柱棱柱2 2 棱柱的三視圖棱柱的三視圖3 3 棱柱表面上取點棱柱表面上取點1 1 棱柱的組成棱柱的組成 兩個底面是平行且相等的多邊形，兩個底面是平行且相等

2、的多邊形，側面為若干個平行四邊形。側面為若干個平行四邊形。 一面投影為反映底面實形的一面投影為反映底面實形的多邊形，另外兩面投影輪廓為多邊形，另外兩面投影輪廓為矩形。矩形。 主要利用表面的積聚性進主要利用表面的積聚性進行作圖。行作圖。 a a a (b ) b b 二二. .棱錐棱錐2 2 棱錐的三視圖棱錐的三視圖3 在棱錐表面上取點在棱錐表面上取點1 1 棱錐的組成棱錐的組成 底面為多邊形，側面為三角形。底面為多邊形，側面為三角形。所有的側棱線交于頂點。所有的側棱線交于頂點。 當棱錐表面的投影沒有當棱錐表面的投影沒有積聚性時，可利用平面積聚性時，可利用平面上的輔助線進行作圖。上的輔助線進行作

3、圖。 一面投影反映底面實形。一面投影反映底面實形。另外兩面投影輪廓為三角形另外兩面投影輪廓為三角形 s s b a c abc a (c )b s R111rr22（2）平面與立體表面相交，即立體被平平面與立體表面相交，即立體被平面截切，此平面稱為截平面，截平面截切，此平面稱為截平面，截平面與立體表面的交線稱為截交線。面與立體表面的交線稱為截交線。 任何截交線都具有下列兩個基本性任何截交線都具有下列兩個基本性質：質：（1 1）截交線一定是一個封閉的平面）截交線一定是一個封閉的平面圖形。圖形。（2 2）截交線既在截平面上，又在立）截交線既在截平面上，又在立體表面上，截交線是截平面和立體體表面上，

4、截交線是截平面和立體表面的共有線。截交線上的點都是表面的共有線。截交線上的點都是截平面與立體表面上的共有點。截平面與立體表面上的共有點。所以求作截交線的實質，就是求出所以求作截交線的實質，就是求出截平面與立體表面的共有點。截平面與立體表面的共有點。三三 棱柱被平面截切的截交線棱柱被平面截切的截交線求截交線步驟：求截交線步驟： 1 求截平面與棱線的交點求截平面與棱線的交點 2 求截平面之間的交線求截平面之間的交線 3 連接成截面圖形并判別可連接成截面圖形并判別可 見性見性四四 棱錐被截切的截交線棱錐被截切的截交線3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 2

5、4 43 3 求截交線求截交線 分析棱線的投影分析棱線的投影檢查截交線投影的類似性檢查截交線投影的類似性123(4)1”3”4”1243 例例1 求做立體被截切后的投影求做立體被截切后的投影例例2 2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4 空間分析空間分析交線的形狀？交線的形狀？3 3 投影分析投影分析 求截交線求截交線 分析棱線的投影分析棱線的投影 檢查檢查 尤其注意檢查截尤其注意檢查截 交線投影的類似性交線投影的類似性截平面與體的截平面與體的幾個棱面相交？幾個棱面相交

6、？截交線在俯、截交線在俯、左視圖上的形左視圖上的形狀？狀？我們采用的是我們采用的是哪種解題方法？哪種解題方法？棱線法！棱線法！例例3 3：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。1 12 21 1 (2(2 ) )、兩點分別兩點分別同時位于三個面同時位于三個面上。上。三面共點：三面共點：2 2 1 1 注意：注意： 要逐個截平面分析和要逐個截平面分析和繪制截交線。當平面體只繪制截交線。當平面體只有局部被截切時，先假想有局部被截切時，先假想為整體被截切，求出截交為整體被截切，求出截交線后再取局部。線后再取局部。12(3)4(5)6(7)6”7”1”3”2”5”4”6

7、7例例4 補全俯視圖和左視圖的投影補全俯視圖和左視圖的投影 例例 5: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。截切后的俯視圖。P P 截交線的形狀？截交線的形狀？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交線的投影截交線的投影特性？特性？2 2 3 3 6 6 7 7 1 1 8 8 4 4 5 5 求截交線求截交線1 15 54 47 76 63 32 28 8分析棱線的分析棱線的投影投影檢查截交檢查截交線的投影線的投影3.2 3.2 回轉體及截交線回轉體及截交線一一 回轉體的投影回轉體的投影 1 1 圓柱的投影圓柱的投影 A1AOO1 圓柱表面上取點圓柱表面

8、上取點( )( )A(D)CB直接利用直接利用積聚性在積聚性在圓周上取圓周上取點點1 1 圓錐的投影圓錐的投影OO1 圓錐表面上取點2 2、圓錐表面上取點、圓錐表面上取點 在圓錐表面上求點，有兩種方法：一種是素在圓錐表面上求點，有兩種方法：一種是素線法，一種是輔助圓法。線法，一種是輔助圓法。方法一：素線法方法一：素線法 過過M M點及錐頂點及錐頂S S作作一條素線一條素線S,S,先求先求出素線出素線SS的投影的投影, ,再求出素線上的再求出素線上的M M點。點。XZY圓錐的三面投影圖HVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)mmm”M 已知圓錐表面的點M的正面投影m,求出M點的其

9、它投影。 過ms作圓錐表面上的素線，延長交底圓為1。111”mm”a(b)圓錐的投影及表面上的點ss”abcdc”d”sabc(d)m 求出素線的水平投影s1及側面投影s”1”。 求出M點的水平投影和側面投影。111mma(b)ssabcdcdsabc(d)mXZY圓錐的三面投影圖HVWacdbabcdss”c”d”a”(b”)ACBS方法二：輔助圓法方法二：輔助圓法 過過M M點作一平行與底點作一平行與底面的水平輔助圓，該圓面的水平輔助圓，該圓的正面投影為過的正面投影為過mm且平且平行于行于abab的直線的直線2323，它們的水平投，它們的水平投影為一直徑等于影為一直徑等于2323的圓，的圓

10、，m m在圓周上，由此在圓周上，由此求出求出m m及及m”m”。mMmm”XZYHVWacdbabcdss”c”d”a”(b”)ACBSmMmm”m圓錐的投影及表面上的點sss”aabbc”d”mm” 以s為中心，以sm為半徑畫圓， 已知圓錐面上M點的水平投影m，求出其m和m”。 作出輔助圓的正面投影23。2323 求出m及m”的投影。ms ss a ab bc d mm 232 3 mmmnn()n() 已知圓錐表面上點已知圓錐表面上點M M及及N N的正面投影的正面投影mm和和nn，求，求它們的其余兩投影。它們的其余兩投影。在圓錐表面上定點 a a (a”)1 1 圓球的投影圓球的投影OO

11、1圓球表面上取點圓球表面上取點(1)222 圓環(huán)面是由一個完整的圓環(huán)面是由一個完整的圓圓繞軸線回轉一周而形成，繞軸線回轉一周而形成，軸線與圓母線在同一平面內，但不與圓母線相交。軸線與圓母線在同一平面內，但不與圓母線相交。主、左視圖是極限位主、左視圖是極限位置素線（圖）和內、置素線（圖）和內、外環(huán)分圓的投影；外環(huán)分圓的投影；俯視圖是上、下的投俯視圖是上、下的投影。影。kkkmm（n）（n）回轉體截切的基本形式截交線的性質： 截交線是截平面與回轉體表面的共有線。 截交線的形狀取決于回轉體表面的形狀及 截平面與回轉體軸線的相對位置。截交線都是封閉的平面圖形（封閉曲線或由直線和曲線圍成）。二 回轉體的

12、截交線1 1圓柱的截交線圓柱的截交線111548883254452323解題步驟解題步驟1 1分析分析 截平面為正垂面，截截平面為正垂面，截交線的側面投影為圓，水平投影交線的側面投影為圓，水平投影為橢圓；為橢圓；2 2求出截交線上的特殊點求出截交線上的特殊點、 、 ；3 3求出若干個一般點求出若干個一般點、 、；4 4光滑且順次地連接各點，作光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性出截交線，并且判別可見性5 5整理輪廓線。整理輪廓線。7667671234解題步驟解題步驟1 1 分析分析 截交線的水平投截交線的水平投影為直線和部分圓，側面影為直線和部分圓，側面投影為矩形；投影為矩形；2

13、2 求出截交線上的特殊點求出截交線上的特殊點、； 3 3 順次地連接各點，作出順次地連接各點，作出截交線并判別可見性；截交線并判別可見性；4 4 整理輪廓線。整理輪廓線。12341324虛實分界點虛實分界點2 2 圓錐的截交線圓錐的截交線3 3 圓球的截交線圓球的截交線平面與圓球相交，平面與圓球相交，截交線的形狀都截交線的形狀都是圓，但截平面是圓，但截平面與投影面的相對與投影面的相對位置不同，其截位置不同，其截交線的投影可能交線的投影可能為圓、橢圓或積為圓、橢圓或積聚成一條直線。聚成一條直線。解題步驟解題步驟1 1分析分析 截平面為正平面，截截平面為正平面，截交線為雙曲線；截交線的水平交線為雙

14、曲線；截交線的水平投影和側面投影已知，正面投投影和側面投影已知，正面投影為雙曲線并反映實形；影為雙曲線并反映實形；aaacbbcc3 3求出一般點求出一般點C C2 2 求截交線上特殊點求截交線上特殊點A A. .B B4.光滑且順次地連接各點光滑且順次地連接各點作出截交線，并判別可見作出截交線，并判別可見性性b水平面截圓球的截交線的投影，水平面截圓球的截交線的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側視在俯視圖上為部分圓弧，在側視圖上積聚為直線。圖上積聚為直線。兩個側平面截圓球的截交線的投兩個側平面截圓球的截交線的投影，在側視圖上為部分圓弧，在影，在側視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。俯視圖上積

15、聚為直線。R4 4 組合的截交線組合的截交線首先分析其由哪些基本回轉體組成以及它們的連首先分析其由哪些基本回轉體組成以及它們的連接關系，接關系，然后分別求出這些基本體的截交線，并然后分別求出這些基本體的截交線，并依次將其連接。依次將其連接。例例1 1、如圖所示，圓錐被正垂面截切，求出截、如圖所示，圓錐被正垂面截切，求出截交線的另外兩個投影。交線的另外兩個投影。平面與圓柱相交 此種截交線為一橢圓。由于圓錐前后對稱，故橢圓也前后對稱。橢圓的長軸為截平面與圓錐前后對稱面的交線正平線，橢圓的短軸是垂直與長軸的正垂線。正平線正垂線正平線正垂線平面與圓錐相交具體步驟如下：（1）先作出截交線上的特殊點。12

16、121”2”34345665（2）再作一般點。（3）依次光滑連接各點，即得截交線的水平投影和側面投影。（4）補全側面轉向輪廓線。3”4”5”6”78787”8”平面與圓錐相交例2、如圖所示，圓錐被水平面截切，求出截交線的另外兩個投影。3421532(4)1(5)4”3”2”1”（1）先求特殊點。（2）再求一般點。（3）依次光滑連接各點。5”31524具體步驟如下：例例3:求圓錐被截切后的正面投影求圓錐被截切后的正面投影.分析分析:截交線的正面投影為雙曲線截交線的正面投影為雙曲線.作圖作圖:1 求特殊點。求特殊點。最高點最高點最低點最低點2 求一般點。求一般點。3 連線。連線。1(2)(4)3(

17、6)5(8)79 (10)2”1”433”4”655”6”(12)1111”12”787”8”91010”9”12已知立體的正面投影，試完成已知立體的正面投影，試完成H、W兩面投影兩面投影 平面與圓球相交，平面與圓球相交，截交線的形狀都是圓截交線的形狀都是圓，但根，但根據(jù)截平面與投影面的相對位置不同，據(jù)截平面與投影面的相對位置不同，其其截交線的投截交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線。平面與球相交例例1 1：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。水平面截圓球的截交線水平面截圓球的截交線的投影，在俯視圖上為的投影，在俯視圖上為部分圓

18、弧，在側視圖上部分圓弧，在側視圖上積聚為直線。積聚為直線。 兩個側平面截圓球的兩個側平面截圓球的截交線的投影，在側視截交線的投影，在側視圖上為部分圓弧，在俯圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。視圖上積聚為直線。例2、如圖所示，球被正垂面截切，求截交線的水平投影。具體步驟如下：（1）先求特殊點。（2）確定截交線與轉向輪廓線的交點。（3）依次連接各點的水平投影。平面與球相交1123443211234432566565561234平面與球相交1123443211234432566565561234 首先分析復合回轉體由哪些基本回轉體組成以及它們首先分析復合回轉體由哪些基本回轉體組成以及它們的連接關

19、系，的連接關系，然后然后分別求出這些基本回轉體的截交線，并分別求出這些基本回轉體的截交線，并依次將其連接。依次將其連接。例：求作頂尖的俯視圖例：求作頂尖的俯視圖 例例1 求吊環(huán)的截交線 。例例2 2 求求球切槽的側面投影和水平投影。 分析：分析： 槽是由兩個側平面和一個水平面截切球形成的，左右對稱。兩個側平截面與球面的截交線均為一段圓弧，與水平截平面的交線為正垂線，其側平面投影反映實形。水平截面與球面的截交線是兩段圓弧，其水平投影反映實形。 121,221343,43412,3112323例例3 3：求圓錐被截切后的水平及側面投影：求圓錐被截切后的水平及側面投影2,323234,545454,

20、554457,667678889,10910109例例4 已知切口圓錐的正面投影已知切口圓錐的正面投影,求其余兩個投影。求其余兩個投影。 （2 2）求截交線的投影。）求截交線的投影。解題步驟：解題步驟：(1)(1)畫出完整圓錐的投影。畫出完整圓錐的投影。平面體與回轉平面體與回轉體相貫體相貫回轉體與回轉體相貫多體相貫多體相貫 兩立體相交叫作相貫，其表面產(chǎn)生的交兩立體相交叫作相貫，其表面產(chǎn)生的交線叫做線叫做相貫線相貫線。 本節(jié)主要討論常用不同立體相交時其本節(jié)主要討論常用不同立體相交時其表面表面相貫線的投影特性及畫法。相貫線的投影特性及畫法。 立體表面相交有三種形式立體表面相交有三種形式, ,一種是

21、立體的一種是立體的外表面外表面相交相交; ;一種是一種是外表面與內表面外表面與內表面相交相交; ;一種一種是是內表面與內表面內表面與內表面相交相交. .相貫線實實相貫實虛相貫虛虛相貫 其作圖實質是找出相貫的兩立體表面的若干其作圖實質是找出相貫的兩立體表面的若干共共有點有點的投影。的投影。 共有性共有性 表面性表面性相貫線位于兩立體的表面上。相貫線位于兩立體的表面上。相貫線是相貫線是兩立體表面的共有線兩立體表面的共有線。 封閉性封閉性 相貫線一般是相貫線一般是封閉的空間折線封閉的空間折線（通常由直線和（通常由直線和曲線組成）曲線組成）或空間曲線或空間曲線。 相貫線是相貫線是由若干段平面曲線由若干

22、段平面曲線 (或直線或直線)所組成的所組成的空間折線空間折線，每每一段是平面體的棱面與回轉體表一段是平面體的棱面與回轉體表面的交線面的交線。 分析各棱面與回轉體表面的相對位置，從而確分析各棱面與回轉體表面的相對位置，從而確 定交線的形狀。定交線的形狀。 求出各棱面與回轉體表面的截交線。求出各棱面與回轉體表面的截交線。 連接各段交線，并判斷可見性。連接各段交線，并判斷可見性。 求交線的實質是求交線的實質是求各棱面與回轉面的截交線求各棱面與回轉面的截交線。 相貫線一般為相貫線一般為光滑封閉的空間曲光滑封閉的空間曲線線，它是兩回轉體表面的共有線它是兩回轉體表面的共有線。2.2.作圖方法作圖方法 表面

23、取點法表面取點法 利用投影的積聚性直接找點。利用投影的積聚性直接找點。 用輔助平面法用輔助平面法。一般是根據(jù)立體或給出的投影，分析兩回轉面的形狀、一般是根據(jù)立體或給出的投影，分析兩回轉面的形狀、大小及其軸線的相對位置，判斷相貫線的形狀特點和各投影大小及其軸線的相對位置，判斷相貫線的形狀特點和各投影的特點，從而選擇適當?shù)姆椒ㄗ鲌D。的特點，從而選擇適當?shù)姆椒ㄗ鲌D。3、作圖步驟（1）先作出特殊點的投影。（2）求作一般點（3）光滑連接各點回轉體相貫的三種基本形式回轉體相貫的三種基本形式兩外表面相貫兩外表面相貫外表面與內表面相貫外表面與內表面相貫兩內表面相貫兩內表面相貫。 二二 表面取點法求相貫線表面取

24、點法求相貫線方法：方法：1 1 先找特殊點先找特殊點2 2 再找一般點再找一般點3 3 最后光滑連接最后光滑連接使用條件：使用條件：兩相貫體之兩相貫體之一為軸線垂一為軸線垂直于投影面直于投影面的圓柱的圓柱yyyy( a )( b )( c )( d )( a )( b )( c )( d )( a )( b )( c )( d )( a )( b )( c )( d )當圓柱直徑變化時，相貫線的變化趨勢：三三 利用輔助平面法求相貫線利用輔助平面法求相貫線 根據(jù)三面根據(jù)三面共點的原理，共點的原理，利用輔助平利用輔助平面求出兩回面求出兩回轉體表面上轉體表面上的若干共有的若干共有點，從而畫點，從而畫

25、出相貫線的出相貫線的投影。投影。用輔助平面法求中間點的作圖方法： 假想用輔助平面截切兩假想用輔助平面截切兩回轉體，分別得出兩回回轉體，分別得出兩回轉體表面的截交線轉體表面的截交線。由于兩截交線的交點，由于兩截交線的交點，就是兩回轉體表面上的就是兩回轉體表面上的交點，因而是相貫線上交點，因而是相貫線上的點。的點。yyP14yy4 P23P351112 22453 35 解題步驟解題步驟1 1 分析分析2 2 求特殊點求特殊點3 3 求一般點求一般點4 4 光滑且順光滑且順次地連接各次地連接各點，并且判點，并且判別可見性；別可見性；5 5 整理輪廓整理輪廓線線四四 特殊情況下的相貫線特殊情況下的相

26、貫線1 1 兩個回轉體具有公共軸線時，相貫線為與軸線垂直的圓，兩個回轉體具有公共軸線時，相貫線為與軸線垂直的圓，3 3 兩圓柱軸線平行相貫，兩圓柱軸線平行相貫，相貫線是兩條平行直線。相貫線是兩條平行直線。2 2 兩圓錐共錐頂相貫，兩圓錐共錐頂相貫，相貫線是直線相貫線是直線4 兩回轉體公切于一圓球兩回轉體公切于一圓球時，時，相貫線是橢圓，投影為相貫線是橢圓，投影為通過兩軸線交點的直線通過兩軸線交點的直線五五 相貫線的近似畫法相貫線的近似畫法: : 如對相貫線的準確性無特殊要如對相貫線的準確性無特殊要求，當兩圓柱正交且有一定直徑差時，可采用圓弧代替求，當兩圓柱正交且有一定直徑差時，可采用圓弧代替相

27、貫線的近似畫法。用大圓柱的半徑作圓弧來代替。相貫線的近似畫法。用大圓柱的半徑作圓弧來代替。 D/2D/2DD1DD1六六 平面體與圓柱體相貫平面體與圓柱體相貫當圓柱直徑變化時，相貫線的變化趨勢。當圓柱直徑變化時，相貫線的變化趨勢。交線向大圓交線向大圓柱一側彎柱一側彎交線為兩條平面交線為兩條平面曲線（橢圓）曲線（橢圓）例例1：補全主視圖補全主視圖 空間分析：空間分析： 四棱柱的四個棱面分別與四棱柱的四個棱面分別與圓柱面相交，前后兩棱面與圓圓柱面相交，前后兩棱面與圓柱軸線平行，截交線為兩段直柱軸線平行，截交線為兩段直線；左右兩棱面與圓柱軸線垂線；左右兩棱面與圓柱軸線垂直，截交線為兩段圓弧。直，截交

28、線為兩段圓弧。 投影分析：投影分析： 由于相貫線是兩立體表由于相貫線是兩立體表面的共有線，所以相貫線的面的共有線，所以相貫線的側面投影積聚在一段圓弧上，側面投影積聚在一段圓弧上，水平投影積聚在矩形上。水平投影積聚在矩形上。例例2：求作主視圖：求作主視圖例3 平面立體與曲面立體相貫，完成相貫線的投影 解題步驟解題步驟1 1分析分析 相貫線為相貫線為圓弧和雙曲線的組圓弧和雙曲線的組合；相貫線的側面合；相貫線的側面投影已知，可利用投影已知，可利用表面取點法求共有表面取點法求共有點；點；2 2求出相貫線上的求出相貫線上的特殊點特殊點、 、；3 3求出一般點求出一般點 ; ;4 4光滑且順次地連光滑且順次地連接各點，作出相貫接各點，作出相貫線，并且判別可見線，并且判別可見性；性；5 5整理輪廓線。整理輪廓線。例例4 4 相貫線的側面投影積聚在圓柱的表面上。水平圓柱與半球的公共對稱面平行于V面，故相貫線是一條前后對稱的空間曲線。求圓柱與半球的相貫線求圓柱與半球的相貫線作圖步驟：1）求特殊點：4141”4”12）求一般點：PvPvPwPw2”6”26QvQvQwQw3”5”352(6)3）判斷可見性，依次光滑連接各點： 4）補畫水平轉向輪廓線。 3(5)例5、求圓柱與圓錐相貫線的投影，如圖所示。 分析：分析：