數(shù)字信號處理習(xí)題答案

1、數(shù)字信號處理習(xí)題解答第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng)2 給定信號： 2n+54n160n40 其它(1) 畫出x(n)序列的波形， 標上各序列值； (2) 試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(n)序列； （3） 令x1(n)=2x(n2)， 試畫出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 試畫出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2n)， 試畫出x3(n)波形。 解解： (1) x(n)序列的波形如題2解圖（一）所示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4)x(n)=第1章 時

2、域離散信號與時域離散系統(tǒng)（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2， 畫出圖形如題2解圖（二）所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2， 畫出圖形如題2解圖（三）所示。 (5) 畫x3(n)時， 先畫x(n)的波形(即將x(n)的波形以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)180)， 然后再右移2位， x3(n)波形如題2解圖（四）所示。 題2解圖（一）題2解圖（二）第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng)題2解圖（三）題2解圖（四）3 判斷下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 確定其周期。是常數(shù)AnAnx 873cos)(1)解解： （1） 因為=, 所以, 這是有理數(shù)， 因此

3、是周期序列， 周期T=14314273第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng)5 設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述， x(n)與y(n)分別表示系統(tǒng)輸入和輸出， 判斷系統(tǒng)是否是線性非時變的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2)解解： （1） 令輸入為x(nn0)輸出為 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n) 故該系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng) 因為 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1)+3ax1(n2)+b

4、x2(n2) a Tx1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) bTx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2) 所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) 故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng)6 給定下述系統(tǒng)的差分方程， 試判定系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)， 并說明理由。 （2） y(n)=x(n)+x(n+1)解： 該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)， 因為n時間的輸出還和n時間以后（n+1）時間）的輸入有關(guān)。如果|x(n)|M, 則|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。7 設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h

5、(n)和輸入序列x(n)如題7圖所示， 要求畫出y(n)輸出的波形。題7圖第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng)解解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n) =x(m)h(nm)m第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng)y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5解法（二）采用解析法。 按照題7圖寫出x(n)和h(n)的表達式分別為x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+ (n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(nk)=Ax(nk)故y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(

6、n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+x(n2)將x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5)第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng)8. 設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入x(n)分別有以下三種情況， 分別求出輸出y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n)（2） h(n)=2R4(n), x(n)=(n)(n2)（3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)解解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm) 先確定求和域。 由R4

7、(m)和R5(nm)確定y（n）對于m的非零區(qū)間如下:0m3n4mn 根據(jù)非零區(qū)間， 將n分成四種情況求解： m第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng) n7時， y(n)=0nm 034nm最后結(jié)果為 0 n7 n+1 0n3 8n4n7y(n)的波形如題8解圖（1）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*(n)(n2)=2R4(n)2R4(n2) = 2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如題8解圖（2）所示y(n)=題8解圖（1）題8解圖（2）第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng)(3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5nmu(nm)=0.5nR5(m)0.5mu

8、(nm)y（n）對于m 的非零區(qū)間為 0m4, mn n0時， y(n)=0 0n4時， =(10.5n1)0.5n=20.5nmmnmnmnny0115 . 015 . 015 . 05 . 0)(第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng) n5時nnmmnny5 . 0315 . 05 . 015 . 015 . 05 . 0)(4015最后寫成統(tǒng)一表達式： y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5)13 有一連續(xù)信號xa(t)=cos(2ft+j)， 式中， f=20 Hz, j=/2。（1） 求出xa(t)的周期；（2） 用采樣間隔T=0.02 s對xa(t)進行采樣， 試寫出

9、采樣信號 的表達式；（3） 畫出對應(yīng) 的時域離散信號（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。 解解： （1） xa(t)的周期為第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng))(txa)(txas 05. 01fT（2）)( )40cos()()2cos()(nTtnTnTtfnTtxnnajj（3） x(n)的數(shù)字頻率=0.8， 故， 因而周期N=5， 所以 x(n)=cos(0.8n+/2)畫出其波形如題13解圖所示。252第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng)題13解圖14. 已知滑動平均濾波器的差分方程為)4()3()2() 1()(51)(nxnxnxnxnxny（1） 求出該濾波器的單位脈

10、沖響應(yīng)； （2） 如果輸入信號波形如題14圖所示，試求出y(n)并畫出它的波形。解： （1） 將題中差分方程中的x(n)用(n)代替， 得到該濾波器的單位脈沖響應(yīng)， 即第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng))4()3()2() 1()(51)(nnnnnnh（2） 已知輸入信號， 用卷積法求輸出。 輸出信號y(n)為kknhkxny)()()(表1.4.1表示了用列表法解卷積的過程。 計算時， 表中x(k)不動， h(k)反轉(zhuǎn)后變成h(k)， h(nk)則隨著n的加大向右滑動， 每滑動一次， 將h(nk)和x(k)對應(yīng)相乘， 再相加和平均， 得到相應(yīng)的y(n)。 “滑動平均”清楚地表明了這種計算過

11、程。 最后得到的輸出波形如前面圖1.3.2所示。 該圖清楚地說明滑動平均濾波器可以消除信號中的快速變化， 使波形變化緩慢。 題14圖第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng)第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析5. 設(shè)題5圖所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示， 不直接求出X(ej)， 完成下列運算或工作： （1)e (0 jX(4) 確定并畫出傅里葉變換實部ReX(ej)的時間序列xa(n)；解解(1)6)()e (730 jnnxX（4） 因為傅里葉變換的實部對應(yīng)序列的共軛對稱部分， 即nnjnxeXRjeee )()()()(21)(enxnxnx題15圖第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析

12、按照上式畫出xe(n)的波形如題5解圖所示。題15解圖6 試求如下序列的傅里葉變換：) 1(21)() 1(21)(2nnnnx第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析cos1)ee (211 e211e21e )()e (jjjjj2j2nnnxX解：(2)8 設(shè)x(n)=R4(n)， 試求x(n)的共軛對稱序列xe(n)和共軛反對稱序列xo(n)， 并分別用圖表示。 解解：)()(21)(44enRnRnx)()(21)(44onRnRnx第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析題8解圖xe(n)和xo(n)的波形如題8解圖所示。 第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析13 已知xa(t)=2 co

13、s(2f0t)， 式中f0=100 Hz， 以采樣頻率fs=400 Hz對xa(t)進行采樣， 得到采樣信號和時域離散信號x(n)， 試完成下面各題： （1） 寫出的傅里葉變換表示式Xa(j)； （2） 寫出和x(n)的表達式； （3） 分別求出的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換。 解解:(1) )(txa)(txa)(txa)(txatttttxXtttttaade ee de )cos(2de )()j ( jjjj0j00上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在，引入奇異函數(shù)函數(shù)，它的傅里葉變換可以表示成： )()(2)j ( 00aX第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析（2） )()cos

14、(2)()()(0nnaanTtnTnTttxtxnnTnx- )cos(2)(0ms 5 . 21 rad 2002s00fTf )()(2 )jj (1)(s00ksksaakkTkXTjX（3） 式中rad/s 8002ssf第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析)2()2(2e ee e )cos(2e )cos(2e )()e (00jjjj0j0jj00kknnTnxXknnnnnnnnnn式中0=0T=0.5 rad上式推導(dǎo)過程中， 指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在， 只有引入奇異函數(shù)函數(shù)才能寫出它的傅里葉變換表示式。第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析14 求出以下序列的Z變換及收

15、斂域:(1) 2n u(n)(2) 2nu(n1)(3) 2n u(n)(4) (n)(5) (n1)(6) 2nu(n)u(n10)解(1)21 2112)(2)(2ZT110zzzznununnnnnnn21 21121222) 1(2)1(2ZT1111zzzzzzznununnnnnnnnnn (2)第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析21 2112 2)(2)(2ZT00zzzzznununnnnnnnnnn(3) (4) ZT(n)=1 0 |z| (5) ZT(n1)=z1 0|z|(6) 0 2121 2)10()(2ZT11101090zzzznununnnn第2章 時域離散

16、信號和系統(tǒng)的頻域分析15 求以下序列的Z變換及其收斂域， 并在z平面上畫出極零點分布圖。 (1) x(n)=RN(n)N=4 (2) x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9, 0=0.5 rad, j=0.25 rad解(1) 0 ) 1(1z11 )()(3414304zzzzzzznRzXnnnn由z41=0， 得零點為3 , 2 , 1 , 0 ez 42jkkk由z3(z1)=0， 得極點為 z1, 2=0, 1第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析零極點圖和收斂域如題15解圖(a)所示， 圖中, z=1處的零極點相互對消。題15解圖第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析(

17、2) )( ee eeAr21 )()cos()(jjjj000nununArnxnnnnjjje1ee1e21eeee21)(1jj1j00jjjj0000zrzrAzrzrAzXjnnnnnnnnjjjj)e1 ()e1 ()cos(cos1j1j1000zrzrzrAjjrz 零點為極點為 cos)cos(01jj rz00j3j2e erzrz極零點分布圖如題15解圖(b)所示第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析16 已知112122113)(zzzX求出對應(yīng)X(z)的各種可能的序列表達式。 解解： X(z)有兩個極點： z1=0.5, z2=2， 因為收斂域總是以極點為界， 因此收斂

18、域有三種情況： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。 （1）收斂域|z|0.5： zzzXjnxcnd)(21)(1nnnzzzzzzzzzzXzF)2)(5 . 0(75 )21)(5 . 01 (75)()(11111令第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析n0時， 因為c內(nèi)無極點，x(n)=0;n1時， c內(nèi)有極點 0 ， 但z=0是一個n階極點， 改為求圓外極點留數(shù)， 圓外極點有z1=0.5, z2=2， 那么) 1(22)21(3)2()2)(5 . 0()75()5 . 0()2)(5 . 0()75(2),(sRe5 . 0),( sRe)(

19、25 . 0nuzzzzzzzzzzzFzFnxnnznzn第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析(2)收斂域0.5|z|2:)2)(5 . 0()75()( zzzzzFnn0時， c內(nèi)有極點0.5，nzFnx)21(35 . 0 ),( sRe)( n2:)2)(5 . 0()75()( zzzzzFnn0時， c內(nèi)有極點 0.5、 2，nnzFzFnx222132 ),( sRe5 . 0),( sRe)( n0時， 由收斂域判斷， 這是一個因果序列， 因此x(n)=0； 或者這樣分析， c內(nèi)有極點0.5、 2、 0， 但0是一個n階極點， 改求c外極點留數(shù)，c外無極點， 所以x(n)=0

20、。 )(22213)( nunxnn最后得到第3章 離散傅里葉變換3 已知長度為N=10的兩個有限長序列：9 504 01)(1nnnx9 514 0 1)(2nnnx 做圖表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循環(huán)卷積區(qū)間長度L=10。 解解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分別如題3解圖（a）、 （b）、 （c）所示。題3解圖第3章 離散傅里葉變換14 兩個有限長序列x(n)和y(n)的零值區(qū)間為x(n)=0 n0, 8ny(n)=0 n0, 20n對每個序列作20點DFT， 即X(k)=DFTx(n) k=0, 1, , 1

21、9Y(k)=DFTy(n) k=0, 1, , 19試問在哪些點上f(n)與x(n)*y(n)值相等, 為什么？解解: 記fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFTF(k)=x(n) 20 y(n)。 fl(n)長度為27， f(n)長度為20。 由教材中式（3.4.3）知道f(n)與fl(n)的關(guān)系為mlnRmnfnf)()20()(20第3章 離散傅里葉變換只有在如上周期延拓序列中無混疊的點上， 才滿足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7n1918 用微處理機對實數(shù)序列作譜分析， 要求譜分辨率F50 Hz， 信號最高頻率為 1 kHz， 試確定

22、以下各參數(shù)： (1) 最小記錄時間Tp min； (2) 最大取樣間隔Tmax； (3) 最少采樣點數(shù)Nmin； (4) 在頻帶寬度不變的情況下， 使頻率分辨率提高1倍（即F縮小一半）的N值。 第3章 離散傅里葉變換解解: （1） 已知F=50 Hz， 因而s02. 05011minpFT（2）ms5 . 010212113maxminsmaxffT（3）pminmin3max0.02 s400.5 10TNT（4） 頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變， 應(yīng)該使記錄時間擴大1倍， 即為0.04 s， 實現(xiàn)頻率分辨率提高1倍（F變?yōu)樵瓉淼?/2）。80ms0.5s04. 0minN第4章 快速傅

23、里葉變換1 如果某通用單片計算機的速度為平均每次復(fù)數(shù)乘需要4 s， 每次復(fù)數(shù)加需要1 s， 用來計算N=1024點DFT， 問直接計算需要多少時間。 用FFT計算呢？照這樣計算， 用FFT進行快速卷積對信號進行處理時， 估計可實現(xiàn)實時處理的信號最高頻率。 解解: 當N=1024=210時， 直接計算DFT的復(fù)數(shù)乘法運算次數(shù)為N2=10241024=1 048 576次復(fù)數(shù)加法運算次數(shù)為N（N1）=10241023=1 047 552次直接計算所用計算時間TD為TD=410610242+1 047 552106=5.241 856 s用FFT計算1024點DFT所需計算時間TF為第4章 快速傅里

24、葉變換66F665 10lblb10210245 1010 1024 10 10230.72 msNTNN N 快速卷積時， 需要計算一次N點FFT（考慮到H(k)=DFTh(n)已計算好存入內(nèi)存）、 N次頻域復(fù)數(shù)乘法和一次N點IFFT。 所以， 計算1024點快速卷積的計算時間Tc約為cF2102471680 s4 1024 s65536 sTT 次復(fù)數(shù)乘計算時間所以， 每秒鐘處理的采樣點數(shù)（即采樣速率）s6102415 625 /65536 10F次 秒第4章 快速傅里葉變換應(yīng)當說明， 實際實現(xiàn)時， fmax還要小一些。 這是由于實際中要求采樣頻率高于奈奎斯特速率， 而且在采用重疊相加法時

25、， 重疊部分要計算兩次。 重疊部分長度與h(n)長度有關(guān)， 而且還有存取數(shù)據(jù)和指令周期等消耗的時間。 第5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)1. 已知系統(tǒng)用下面差分方程描述:) 1(31)()2(81) 1(43)(nxnxnynyny試分別畫出系統(tǒng)的直接型、 級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 式中x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出信號。 解解： 將原式移項得) 1(31)()2(81) 1(43)(nxnxnynyny將上式進行Z變換， 得到121)(31)()(81)(43)(zzXzXzzYzzYzY第5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)21181431311)(zzzzH (1) 按照系統(tǒng)函數(shù)H(z)，

26、畫出直接型結(jié)構(gòu)如題1解圖（1）所示。題1解圖（1）(2) 將H(z)的分母進行因式分解： )411)(211 (31181431311)(111211zzzzzzzH第5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)按照上式可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu): 1114111 211311)(zzzzH111411311 2111)(zzzzH畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（2）所示。 題1解圖（2）第5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖(3) 將H(z)進行部分分式展開： )411)(211 (311)(111zzzzH4121)41)(21(31)(zBzAzzzzzH310)21()41)(21(3121zzzzzA37)41()4

27、1)(21(3141zzzzzB第5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖413721310)(zzzzH11411372113104137)21(310)(zzzzzzzH根據(jù)上式畫出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（3）所示。題1解圖（3）第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計5 已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如下： a21( )1Hsss (1)(2)a21( )231Hsss試采用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。 設(shè)T=2 s。 解解: . 用脈沖響應(yīng)不變法(1)按脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計公式， Ha(s)的極點為121313j,j2222ss a1313jj22221133jj33( )1313jj2

28、32233jj33( )1 e1 eTTHsssH zzz 第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計將T=2代入上式， 得1 j 311 j 3111112233jj33( )1 e1 e2 3e sin331 2ecos 3eH zzzzzz (2)a2111( )123112Hsssss第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計21112112111( )|1 e1 e111 e1 eTTTH zzzzz或通分合并兩項得12112132(ee )( )1 (ee )ezH zzz 用雙線性變換法（1） 第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計11a22111,21111 21 2111 21221( )

29、( )|11111(1) (1)(1)(1)(1)12 3zsTTzH zHszzzzzzzzzzzz第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(2)11a21111111 21 221 21211( )( )|1123111(1)2(1)3(1)(1) 12 62zszH zHszzzzzzzzzzz第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計8 題8圖是由RC組成的模擬濾波器， 寫出其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)， 并選用一種合適的轉(zhuǎn)換方法， 將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)， 最后畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖。解解: 模擬RC濾波網(wǎng)絡(luò)的頻率響應(yīng)函數(shù)為aj()11jjRHjRCRC顯然， Ha(j)具有高通特性， 用脈沖響

30、應(yīng)不變法必然會產(chǎn)生嚴重的頻率混疊失真。 所以應(yīng)選用雙線性變換法。 將Ha(j)中的j用s代替， 可得到RC濾波網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)： a( )1sHssRC題8圖第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計公式, 可得1111a12111112 11( )( )|2 11111 1121zsTzzTzH zHszTzRCzTaaaRCzzaH(z)的結(jié)構(gòu)圖如題8解圖所示。 題8解圖第7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計3 設(shè)FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為)9 . 01 . 29 . 01 (101)(4321zzzzzH求出該濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)， 判斷是否具有線性相位， 求出其幅度特性函數(shù)和相位