考點42直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1、圓學(xué)子夢想 鑄金字品牌溫馨提示： 此題庫為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，關(guān)閉Word文檔返回原板塊。 考點42 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一、選擇題1. (2014·湖北高考文科·T8)設(shè)a,b是關(guān)于t的方程t2cos+tsin=0的兩個不等實根,則過A(a,a2),B(b,b2)兩點的直線與雙曲線 -=1的公共點的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3【解題提示】求出過A(a,a2),B(b,b2)兩點的直線為y=-x,結(jié)合雙曲線的漸近線方程,可得結(jié)論.【解析】選A.由于a,b是關(guān)于t的方程t2cos+tsin=0的兩個不等實根,所以a+b

2、=-,ab=0,過A(a,a2),B(b,b2)兩點的直線為y-a2= (x-a),即y=(b+a)x-ab,即y=-x,因為雙曲線 -=1的一條漸近線方程為y=-x,所以過A(a,a2),B(b,b2)兩點的直線與雙曲線 -=1的公共點的個數(shù)為0.2.（2014·遼寧高考文科·8）已知點在拋物線的準線上，記的焦點為，則直線的斜率為【解題提示】由拋物線的定義知的值，也就確定了拋物線的方程和焦點坐標；利用直線的斜率公式求出直線的斜率【解析】選.根據(jù)已知條件得，所以從而拋物線方程為，其焦點從而直線的斜率為二、填空題3.（2014·安徽高考文科·15）若直線與

3、曲線滿足下列兩個條件： 直線在點處與曲線相切；曲線在附近位于直線的兩側(cè)，則稱直線在點處“切過”曲線.下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號)直線在點處“切過”曲線：直線在點處“切過”曲線：直線在點處“切過”曲線：直線在點處“切過”曲線：直線在點處“切過”曲線：【解題提示】根據(jù)各選項分別判斷。 【解析】根據(jù)題意滿足條件的有（1）（3）（4），剩余選項（2）（5）都在切線的一邊。答案：4.（2014·安徽高考理科·14）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，若軸，則橢圓的方程為_【解題提示】構(gòu)造直角三角形，利用線段平行、垂直關(guān)系及點A,B在橢圓上求得參數(shù)b.【解

4、析】如圖所示，設(shè)，作,則 又點A,B在橢圓上，所以與聯(lián)立解得。所以橢圓方程為。5. （2014·湖南高考文科·14）平面上以機器人在行進中始終保持與點的距離和到直線的距離相等.若機器人接觸不到過點且斜率為的直線，則的取值范圍是 【解題提示】根據(jù)拋物線的定義和直線與圓錐曲線的關(guān)系求解。【解析】把機器人看做一個動點，則根據(jù)拋物線定義知道它的軌跡為拋物線，其方程為，過點且斜率為的直線方程為，兩個方程聯(lián)立，消去y得，由題意，所以。答案：三、解答題6. (2014·新課標全國卷高考理科數(shù)學(xué)·T20)(本小題滿分12分)設(shè)F1,F2分別是橢圓+=1的左右焦點,M是C

5、上一點且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率.(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且=5,求a,b.【解題提示】(1)利用直線MN的斜率為再結(jié)合a2=b2+c2表示出關(guān)于離心率e的方程,解方程求得離心率.(2)結(jié)合圖形,利用橢圓的性質(zhì)和焦半徑公式求得a,b.【解析】(1)因為由題知, =,所以·=,且a2=b2+c2.聯(lián)立整理得:2e2+3e-2=0,解得e=.所以C的離心率為.(2)由三角形中位線知識可知,MF2=2×2,即=4.設(shè)F1N=m,由題可知MF1=4m.由兩直角三角形相似,可得M,N兩點橫坐標分別為c,- c

6、.由焦半徑公式可得:MF1=a+ec,NF1=a+e,且MF1NF1=41,e=,a2=b2+c2.聯(lián)立解得a=7,b=2.所以,a=7,b=2.7. （2014·湖南高考文科·20）（本小題滿分13分）如圖5，為坐標原點，雙曲線和橢圓均過點，且以的兩個頂點和的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形.（1） 求的方程；（2） 是否存在直線，使得與交于兩點，與只有一個公共點，且？證明你的結(jié)論.【解題提示】利用橢圓的定義和直線與圓錐曲線位置關(guān)系，聯(lián)立方程組，求解。【解析】（1）設(shè)的焦距為，由題意知，從而因為點，在雙曲線上，所以，故由橢圓的定義知于是，故的方程分別為（2）不存在

7、符合題設(shè)條件的直線（i）若直線垂直于x軸，因為與只有一個公共點，所以直線的方程為或當時，易知,所以，此時， 當，同理可知(ii)若直線不垂直于x軸，設(shè)的方程為由得當與相交于A,B兩點時，設(shè)，則是上述方程的兩個實根，從而，于是由得因為直線與只有一個公共點，所以上述方程的判別式化簡，得。因此于是即，故綜合（i）（ii）可知，不存在符合題設(shè)條件的直線8.(2014·廣東高考文科·T20)(14分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個焦點為(,0),離心率為.(1)求橢圓C的標準方程.(2)若動點P(x0,y0)為橢圓C外一點,且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點P

8、的軌跡方程.【解題提示】(1)由c,e,求出b得橢圓方程,(2)要分切線斜率是否存在加以討論.【解析】(1)因為c=,離心率e=,所以a=3,b=2,橢圓C的標準方程為+=1.(2)方法一:若有一條切線斜率不存在,則另一條斜率為0,此時點P有四個點,分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);當兩條切線斜率都存在時,設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),代入+=1中,整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0,切線與橢圓只有一個公共點,則=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,進一步化簡得(

9、-9)k2-2x0y0k+-4=0.因為兩條切線相互垂直,所以k1k2=-1,也就是=-1,則+=13.顯然,點(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13,所以點P的軌跡方程為+=13.方法二:若有一條切線斜率不存在,則另一條斜率為0,此時點P有四個點,分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);當兩條切線斜率都存在時,設(shè)切點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則+=1且+=1.兩條切線方程分別為+=1和+=1,因為兩條切線都過點P(x0,y0),所以+=1且+=1,因為兩條切線相互垂直,所以k1=,k2=且k1k2=-1,也就是=-1,整

10、理得+=13.顯然,點(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13,所以點P的軌跡方程為+=13.9.(2014·廣東高考理科)(14分) 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個焦點為(,0),離心率為.(1)求橢圓C的標準方程.(2)若動點P(x0,y0)為橢圓C外一點,且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點P的軌跡方程.【解題提示】(1)由c,e,求出b得橢圓方程,(2)要分切線斜率是否存在加以討論.【解析】(1)因為c=,離心率e=,所以a=3,b=2,橢圓C的標準方程為+=1.(2)方法一:若有一條切線斜率不存在,則另一條斜率為0,此時

11、點P有四個點,分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);當兩條切線斜率都存在時,設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),代入+=1中,整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0,切線與橢圓只有一個公共點,則=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,進一步化簡得(-9)k2-2x0y0k+-4=0.因為兩條切線相互垂直,所以k1k2=-1,也就是=-1,則+=13.顯然,點(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13,所以點P的軌跡方程為+=13.方法二:若有一條切線

12、斜率不存在,則另一條斜率為0,此時點P有四個點,分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);當兩條切線斜率都存在時,設(shè)切點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則+=1且+=1.兩條切線方程分別為+=1和+=1,因為兩條切線都過點P(x0,y0),所以+=1且+=1,因為兩條切線相互垂直,所以k1=,k2=且k1k2=-1,也就是=-1,整理得+=13.顯然,點(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13,所以點P的軌跡方程為+=13.10.（2014·福建高考理科·19）（本小題滿分13分）已知雙曲線的兩條漸近線分別為.

13、（1）求雙曲線的離心率； （2）如圖，為坐標原點，動直線分別交直線于兩點（分別在第一，四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個公 共點的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說明理由?！窘忸}指南】由漸近線可知，由基本量關(guān)系式求；設(shè)直線，再根據(jù)條件建立k,m的兩個方程【解析】解法一：(1)雙曲線的漸近線分別為，1分，有，即，于是雙曲線的離心率；3分(2)由(1)知，雙曲線E的方程為.設(shè)直線與軸相交于點，當軸時，若直線與雙曲線E有且只有一個公共點，則，又因為的面積為8，即，解得，此時雙曲線E的方程為.6分若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為.以下證明：當直線不與軸

14、垂直時，雙曲線也滿足條件，7分設(shè)直線的方程，依題意，得或，8分則，記，由得，同理，由得，即，10分由得，又，即直線與雙曲線E有且只有一個公共點.12分因此，存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線E，且E的方程只能為13分方法二：(1)同方法一；(2)由(1)知，雙曲線E的方程為.設(shè)直線的方程為，依題意得，由得，同理，設(shè)直線與軸相交于點，則，由得，由得，直線與雙曲線E有且只有一個公共點當且僅當，即，即，有，因此，存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線E，且E的方程只能為.方法三：(1)同方法一；(2)當直線不與軸垂直時，設(shè)直線，依題意得或，由得，由，得，又因為的面積為8，所以，而，化簡得，即，由

15、(1)得雙曲線E的方程為，由得，因為，直線與雙曲線E有且只有一個公共點當且僅當，即，有，雙曲線E的方程為，當軸時，由的面積為8，可得，又知與雙曲線有且只有一個公共點，綜上，存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線E，且E的方程只能為.11. （2014·遼寧高考理科·20）（本小題滿分12分）圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為P（如圖），雙曲線過點P且離心率為.（）求的方程；（）橢圓過點P且與有相同的焦點，直線過的右焦點且與交于A，B兩點，若以線段AB為直徑的圓過點P，求的方程.【解析】（）設(shè)切點坐標為，.則切線斜率為切線方程為，即，

16、而，所以切線方程為.切線與兩坐標軸的正半軸的交點為，切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的三角形面積為由（當且僅當時取最大值，即有最小值，此時點的坐標為.由題意得解得故的方程為（）由（1）知，橢圓的焦點為，因此設(shè)橢圓的方程為.由點在橢圓上，得，解得；因而的方程為當直線的斜率不存在時，的方程為，易知,以線段AB為直徑的圓不經(jīng)過點P；不合題意.當直線的斜率存在時，設(shè)的方程為,，則是方程組的解.整理得由韋達定理， 所以 由題意知,從而因為所以即所以將代入解得或因此的方程為或即或12. （2014·遼寧高考理科·20）（本小題滿分12分）圓的切線與軸正半軸，軸正半軸圍成一個三角形，當該

17、三角形面積最小時，切點為.（）求點的坐標；（）焦點在軸上的橢圓過點，且與直線交于兩點，若的面積為，求的標準方程.【解析】（）設(shè)切點坐標為，.則切線斜率為切線方程為，即，而，所以切線方程為.切線與兩坐標軸的正半軸的交點為，切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的三角形面積為由（當且僅當時取最大值，即有最小值，此時點的坐標為.（）設(shè)C的方程為，點，則是方程組的解.整理得，由偉達定理得，又所以而點到直線的距離所以則又由點在C上知.解得.故所求C的方程為13. （2014·山東高考理科·21）已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有.當點的

18、橫坐標為3時，為正三角形.（）求的方程；（）若直線，且和有且只有一個公共點，（）證明直線過定點，并求出定點坐標；（）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.【解題指南】（）由拋物線的定義及已知條件點的橫坐標為3時，為正三角形.可求得p的值.（）（）先設(shè)出點A的坐標,根據(jù)表示出D點坐標，然后根據(jù)求出AE的方程，即可判斷AE是否過定點.（）可利用設(shè)出的A點坐標表示出的面積，然后利用基本不等式求出最值.【解析】（）由題意知設(shè)，因為,由拋物線的定義知，解得t=3+p或t=-3(舍去)，由，解得p=2.所以拋物線的方程為.（）（）由（）知F(1，0)因為,則，故直線AB的斜率，因為直線和直線AB平行，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，由題意設(shè).當，可得直線AE的方程為，由，整理可得，直線AE