定積分的背景-面積和路程問(wèn)題

1、定積分的背景問(wèn)題引入：圓的面積公式圓的面積公式s=r*r如何推導(dǎo)？如何推導(dǎo)？小資料：小資料： 也可以從圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形同也可以從圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形同時(shí)入手，不斷增加它們的邊數(shù)，從里外兩個(gè)方時(shí)入手，不斷增加它們的邊數(shù)，從里外兩個(gè)方面去逼近圓面積。面去逼近圓面積。xoy 圖中陰影部分是由曲線段和直線段圍成的，通常圖中陰影部分是由曲線段和直線段圍成的，通常稱這樣的平面圖形為曲邊梯形稱這樣的平面圖形為曲邊梯形. .)(xfy ab 由直線由直線 x = ax = a，x =b (ab)x =b (ab)， y = 0y = 0和曲線和曲線y y = f (x) = f (x) 所

2、圍成的圖形所圍成的圖形 曲邊梯形的定義曲邊梯形的定義 y = f(x)bax yO A1A A1.用一個(gè)矩形的面積用一個(gè)矩形的面積A A1 1近似代替曲邊梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積A A，得得如何求曲邊梯形如何求曲邊梯形的面積的面積? y = f(x)bax yO A1A A1+ A2用兩個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)bax yOA1A2如何求曲邊梯形如何求曲邊梯形的面積的面積? y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4如何求曲邊梯形如

3、何求曲邊梯形的面積的面積? y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n n個(gè)小曲邊梯形，并用小矩形的面積代替?zhèn)€小曲邊梯形，并用小矩形的面積代替小曲邊梯形的面積，小曲邊梯形的面積， 于是曲邊梯形的面積于是曲邊梯形的面積A A近似為近似為A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,無(wú)限逼近無(wú)限逼近 如何求曲邊梯形如何求曲邊梯形的面積的面積? n1n2nknnxyO n1n2nknnxOy不足估計(jì)不足估計(jì)過(guò)剩估計(jì)過(guò)剩估計(jì)問(wèn)題問(wèn)題1 圖中陰影部分由拋物線圖中陰影部分由拋物線 ，直線，直線 及及 x 軸軸圍成的平面圖

4、形，試估計(jì)這個(gè)曲邊梯形的圍成的平面圖形，試估計(jì)這個(gè)曲邊梯形的面積面積 S 。 2xy 1xxoy12xy xoy1(1) 將將區(qū)間區(qū)間0，1平均分成平均分成 5 份，如圖所示。份，如圖所示。1S 圖圖 (1) 中，所有小矩形面積之和中，所有小矩形面積之和 顯然大于所顯然大于所求曲邊梯形的面積，我們稱求曲邊梯形的面積，我們稱 為為 S 的的過(guò)剩估計(jì)值過(guò)剩估計(jì)值，則有則有1S1S44. 02 . 0)18 . 06 . 04 . 02 . 0(222221Sxoy1(2) 圖圖 (2) 中，所有小矩形面積之和中，所有小矩形面積之和 顯然小于所顯然小于所求曲邊梯形的面積，我們稱求曲邊梯形的面積，我們

5、稱 為為 S 的的不足估計(jì)值不足估計(jì)值，則有則有1s1s1s24. 02 . 0)8 . 06 . 04 . 02 . 00(222221sxoy1(3) 我們可以用我們可以用 或或 近似表示近似表示 S ，但是都存在，但是都存在誤差，二者之差為誤差，二者之差為 ，但是無(wú)論是用，但是無(wú)論是用 還還是是 來(lái)表示曲邊梯形的面積，來(lái)表示曲邊梯形的面積，誤差都不會(huì)超過(guò)誤差都不會(huì)超過(guò)0.2，如圖如圖(3)所示。所示。1S1s2 . 011sS1S1sxoy1(4) 為減小誤差，我們將區(qū)間為減小誤差，我們將區(qū)間0，1 10等分，則等分，則所求面積的過(guò)剩估計(jì)值為所求面積的過(guò)剩估計(jì)值為385. 01 . 0)

6、12 . 01 . 0(2222S285. 01 . 0)9 . 02 . 01 . 00(22222s不足估計(jì)值為不足估計(jì)值為 二者的差值為二者的差值為 ，此時(shí)，無(wú)，此時(shí)，無(wú)論用論用 還是還是 來(lái)來(lái)表示表示 S ，誤差都不超過(guò)，誤差都不超過(guò) 0.1 。1 . 022sS2S2s 區(qū)間分的越細(xì)，誤差越小。當(dāng)所區(qū)間分的越細(xì)，誤差越小。當(dāng)所分隔的區(qū)間長(zhǎng)度分隔的區(qū)間長(zhǎng)度趨于趨于 0 ，過(guò)剩估計(jì)值，過(guò)剩估計(jì)值和不足估計(jì)值都趨于曲邊梯形面積。和不足估計(jì)值都趨于曲邊梯形面積。通過(guò)下面的演示我們?nèi)绾巫龅绞拐`差小于通過(guò)下面的演示我們?nèi)绾巫龅绞拐`差小于0.01.0.01.輸入數(shù)字，輸入數(shù)字，點(diǎn)擊確定點(diǎn)擊確定.

7、. 問(wèn)題問(wèn)題2 司機(jī)猛踩剎車，汽車滑行司機(jī)猛踩剎車，汽車滑行 5s 后停下，此過(guò)后停下，此過(guò)程中汽車的速度程中汽車的速度 v 是時(shí)間是時(shí)間 t 的函數(shù)：的函數(shù)：請(qǐng)估計(jì)汽車在剎車過(guò)程中滑行的請(qǐng)估計(jì)汽車在剎車過(guò)程中滑行的距離距離 s 。)50(2510)(2ttttv 分析：分析：)(551)4()3()2()1()0(1mvvvvvs)(301)5()4()3()2()1(1mvvvvvs)(2511mss此時(shí)誤差不超過(guò)：此時(shí)誤差不超過(guò)： 將將滑行的滑行的 5s 平分成平分成 5 份份。用。用 ， ， ， 近似代替汽車在近似代替汽車在01、12、23、34、45s內(nèi)內(nèi)的平均速度，則滑行距離的的平

8、均速度，則滑行距離的過(guò)剩估計(jì)值過(guò)剩估計(jì)值為為 ：1s)0( v)1( v)2( v)3( v)4( v 用用 ， ， ， ， 近似代替汽車在近似代替汽車在01、12、23、34、45s內(nèi)的平均速度，則滑行距離的內(nèi)的平均速度，則滑行距離的不足估計(jì)值不足估計(jì)值為為 ：1s)1( v)2( v)3( v)4( v)5( v 滑行時(shí)間等分的越細(xì)，誤差越小。當(dāng)所分隔的滑行時(shí)間等分的越細(xì)，誤差越小。當(dāng)所分隔的小時(shí)間段長(zhǎng)度小時(shí)間段長(zhǎng)度趨于趨于0，則過(guò)剩估計(jì)值和不足估計(jì)值都，則過(guò)剩估計(jì)值和不足估計(jì)值都趨于汽車滑行路程。趨于汽車滑行路程。若將若將 5 秒平分成秒平分成10份，則得到份，則得到過(guò)剩估計(jì)值過(guò)剩估計(jì)值為為 ：2s)(625.355 . 0)5()2()5 . 1()1()5 . 0(2mvvvvvs)(5 .12625.35125.4822mss)(125.485 . 0)5 . 4()4()1()5 . 0()0(2mvvvvvs不足估計(jì)值不足估計(jì)值為為 ：2s此時(shí)，誤差都不超過(guò)此時(shí)，誤差都不超過(guò)概括概括 曲邊梯形的定義：曲邊梯形的定義：分割區(qū)間分割區(qū)間過(guò)剩估計(jì)值過(guò)剩