拉普拉斯變換法

1、 拉普拉斯變換拉普拉斯變換（Laplace Transform）一、一、 概述概述v線性方程組：表征表觀零級(jí)或一級(jí)過(guò)程的速度的方線性方程組：表征表觀零級(jí)或一級(jí)過(guò)程的速度的方程組。程組。v 拉普拉斯變換（拉普拉斯變換（L L氏變換）：是一種微分方程或積氏變換）：是一種微分方程或積分方程求解的簡(jiǎn)化方法。可用于解線性微分方程分方程求解的簡(jiǎn)化方法。可用于解線性微分方程組組 。v進(jìn)行進(jìn)行L L氏變換的實(shí)質(zhì)，在于把速度方程式中的時(shí)間氏變換的實(shí)質(zhì)，在于把速度方程式中的時(shí)間定義域置換成拉普拉斯運(yùn)算子定義域置換成拉普拉斯運(yùn)算子s s的復(fù)數(shù)定義域的復(fù)數(shù)定義域 一一般代數(shù)運(yùn)算式般代數(shù)運(yùn)算式 時(shí)間函數(shù)域時(shí)間函數(shù)域 微

2、分方程的終解。微分方程的終解。 拉氏變換定義拉氏變換定義l原函數(shù)原函數(shù)f(tf(t）的拉氏變換）的拉氏變換F F（S S）定義為：）定義為：就是將原函數(shù)乘以就是將原函數(shù)乘以e e-st-st，并將乘積從時(shí)間為，并將乘積從時(shí)間為00之間之間作定積分。作定積分。l拉氏變換的實(shí)質(zhì)是將時(shí)間函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換為拉氏運(yùn)拉氏變換的實(shí)質(zhì)是將時(shí)間函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換為拉氏運(yùn)算子算子s s的函數(shù)表達(dá)式。的函數(shù)表達(dá)式。 f(tf(t） - - 原函數(shù)原函數(shù) F F（S S）- - 象函數(shù)象函數(shù))()()(0sFdttfstetfL二、二、 簡(jiǎn)單函數(shù)簡(jiǎn)單函數(shù)L氏變換氏變換1. 常數(shù)常數(shù) f（t）=A SAAdteALst0)(

3、2. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) f（t）= e-at asdtedteeeLtasatstat100)()()(asAAeLat)(3.導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù) dttdftF)()()()(00)(tdfdtdttdfststeedttdfL) 0()()(0) 0()(ftsLfdttfstesfdttdfL三、三、L氏變換的重要性質(zhì)氏變換的重要性質(zhì)v L氏變換是線性變換氏變換是線性變換 設(shè)設(shè) 則則 即即 代數(shù)多項(xiàng)式的代數(shù)多項(xiàng)式的L氏變換等于各項(xiàng)氏變換等于各項(xiàng) 變換的代數(shù)和。變換的代數(shù)和。nitFAtFii1)()(nitFLAtFLii1)()(v 微分性質(zhì)微分性質(zhì)若若則則)()(SftFL)0()()0(

4、)()( FtFsLFSsftFL 一些常用函數(shù)的一些常用函數(shù)的Laplace變換表變換表函數(shù)，函數(shù)，F(xiàn) F（t t）L L氏變換，氏變換，f f（s s）A AA/sA/st t1/s1/s2 2AeAe-at-atA/(s+a)A/(s+a)A/s(s+a)A/s(s+a)A/(s+a)(s+b)A/(s+a)(s+b)AteAte-at-atA/(s+a)A/(s+a)2 2)1(ateaA)(btateeabA四、四、L氏變換解線性微分方程氏變換解線性微分方程1.零級(jí)靜脈輸注零級(jí)靜脈輸注速度表達(dá)式：速度表達(dá)式： L氏變換氏變換方程終解方程終解kXkdtdX0)()0()(0tXkLskXtXsLXkSkXXs0)0()(0ksskX)1 (0kteKk