對稱性在微積分學(xué)中的應(yīng)用20150715

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （1）如果D關(guān)于y軸(x=0)對稱,則 有 ( , )x yD 10,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yxf x y dxdyf x y dxdyf x yx關(guān)于為奇函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)1( , )|( , ),0Dx yx yD x 2( , )|( , ),0Dx yx yD y 其中其中其中其中（2）如果D關(guān)于x軸(y=0)對稱,則 有 ( , )x yD 20,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yyf x y dxdyf x y dxdyf x yy關(guān)于為奇函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)二重積分的對稱性二重積分的對稱性目錄 上頁

2、 下頁 返回 結(jié)束 120,(,)( , ),2( , )( , )(,)( , )2( , )DDDfxyf x yf x y dxdyf x y dxdyfxyf x yf x y dxdy 或其中 同上.12,D D（3）如果D關(guān)于原點對稱,則 有 ( , )x yD目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論:若若 D 關(guān)于關(guān)于 x 軸軸 和和 y 軸都對稱軸都對稱 ,則則10,( , )( , )4( , ),( , ),DDf x yxyf x y dxdyf x y dxdyf x yx y關(guān)于 或 為奇函數(shù)關(guān)于均為偶函數(shù)1( , )|0,0Dx yD xyD1Dxyo目錄 上頁 下頁

3、 返回 結(jié)束 積分區(qū)域 D 關(guān)于 直線y=x對稱，即若(x,y)D,則(y, x)D.二重積分的輪換對稱性：二重積分的輪換對稱性：也就是表示D的不等式x,y對調(diào)不等式不變,有( , )d( , )dDDf x yf y x若D1 , D2分別是 D 中關(guān)于 直線 y=x 對稱的兩部分，則：.),(),(21dxdyxyfdxdyyxfDD簡述為“你對稱，我奇偶你對稱，我奇偶”.(2)( , )( , ) f x yf y x( , )d0Df x y(3)( , )( , )f x yf y x，d),(Dyxfd),(21Dyxf則2D1Dxy(1)D稱為關(guān)于積分變量的輪換對稱性運用對稱性是

4、要兼顧被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個方面，o目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1.關(guān)于積分區(qū)域的對稱性:2.關(guān)于函數(shù)f(x,y,z)的奇偶性若則稱f(x,y,z)在上是關(guān)于z的奇函數(shù)*類似地可定義f(x,y,z)在上是關(guān)于x或y的奇或偶函數(shù).若(x,y,z),有(x,y,-z),則關(guān)于xoy坐標(biāo)面對稱。*類似地可定義關(guān)于yoz,zox坐標(biāo)面的對稱性。三重積分的對稱性三重積分的對稱性( , ,)( , , )f x yzf x y z( , ,)( , , )f x yzf x y z 則稱f(x,y,z)在上是關(guān)于z的偶函數(shù)若目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , , )(,),( , , ),(,)f

5、x y zfxyzx y zxyz 若則稱f(x,y,z)在上是關(guān)于x,y,z的奇或偶函數(shù)3. 積分區(qū)域,被積函數(shù)f(x,y,z) 的輪換對稱性:將積分區(qū)域的邊界曲面方程(或被積函數(shù)f(x,y,z) )中,變量x,y,z依此輪換,方程(或函數(shù)f(x,y,z)的形式不變( , , )( ,),( , , ),( ,)f x y zf xyzx y zxyz若則稱f(x,y,z)在上是關(guān)于y,z的奇或偶函數(shù).*類似地可定義其他.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 利用對稱性計算三重積分的有關(guān)結(jié)論:若關(guān)于xoy坐標(biāo)面對稱, f(x,y,z)在上是關(guān)于z的奇10( , , )2( , , )fzf x

6、 y z dvf x y z dvfz為的奇函數(shù)為的偶函數(shù).1( , , )|0 x y zz 或偶函數(shù),則10:( , , )2( , , ):fzf x y z dvf x y z dvfz的奇函數(shù)的偶函數(shù)yozxxozy1212,xoy 若且、關(guān)于面對稱，則：*其他類似的結(jié)果.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若關(guān)于三坐標(biāo)面都對稱, f(x,y,z)在上是同時關(guān)于x,y,z的奇或偶函數(shù), 則30( , , )8( , , ), ,fx y zf x y z dvf x y z dvfx y z為 或 或的奇函數(shù)同時為的偶函數(shù).若關(guān)于yoz,zox坐標(biāo)面都對稱, f(x,y,z)在上是同時關(guān)于

7、x,y的奇或偶函數(shù), 則20( , , )4( , , ),fx yf x y z dvf x y z dvfx y為或的奇函數(shù)同時為的偶函數(shù).*類似地可表示其他一些結(jié)果.2( , , )|0,0 x y zxy 31( , , )|0,0,0(:)x y zxyzI 卦限目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三重積分的輪換對稱性三重積分的輪換對稱性: :(, )d d d(, )d d d .fx y zx y zfy x zx y z 1.(兩字母輪換兩字母輪換) 如果將如果將x,y換為換為y,x積分域積分域 不變不變,則則2.(三字母輪換三字母輪換) 如果將如果將x,y,z換為換為y,z,x積分

8、域積分域 不變不變,則則(, )d d d(, ,)d d d .fx y zx y zfy z xx y z 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注注: :關(guān)于對弧長的曲線積分的對稱性關(guān)于對弧長的曲線積分的對稱性若 L 關(guān)于 y 軸對稱( , )Lf x y ds對(1)(, )( , )( , )0Lfx yf x yf x y ds當(dāng)時1(2)(, )( , )( , )2( , )LLfx yf x yf x y dsf x y ds當(dāng)時其中L1 是L 的關(guān)于 y 軸對稱的部分弧段1( , )|( , ),0Lx yx yL x若 L 關(guān)于直線 y = x 對稱(即x與y對調(diào)后L表達(dá)式不變)

9、( , )( , )LLf x y dsf y x ds原理原理: 積分值與被積變量用什么字母表示無關(guān)積分值與被積變量用什么字母表示無關(guān)xy01LL目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注注 關(guān)于對弧長的曲線積分的對稱性關(guān)于對弧長的曲線積分的對稱性若 L 關(guān)于xoy 平面對稱( , , )f x y z ds對(1)( , ,)( , , )( , , )0f x yzf x y zf x y z ds當(dāng)時1(2)( , ,)( , , )( , , )2( , , )f x yzf x y zf x y z dsf x y z ds當(dāng)時其中 是 的關(guān)于 xoy 平面平面對稱的部分弧段1( , , )

10、|( , , ),0 x y zx y zL z 1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果以如果以y代代x,以以z代代y,以以x代代z后后, ( , )d( , ,)d .f x y zsfy z xs 1.(兩字母輪換兩字母輪換) 如果將如果將x,y換為換為y,x, ( , , )d( , , )d .f x y zsf y z xs2.(三字母輪換三字母輪換) 表達(dá)式不變表達(dá)式不變,則則的表達(dá)式不變的表達(dá)式不變,則則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對面積的曲面積分的對稱性12( , , ):( , , )0:f x y z dSfzf x y z dSfz的偶函數(shù)的奇函數(shù)yozxxozy1,(:

11、)I若 關(guān)于三坐標(biāo)面都對稱卦限 則：1212,xoy 若且、關(guān)于面對稱，則：18( , , ): , ,( , , )0:f x y z dSfx y zf x y z dSf的偶函數(shù)任一變量的奇函數(shù)關(guān)于z是偶函數(shù):( , ,)( , , )f x yzf x y z( , , )f x y z關(guān)于z是奇函數(shù):( , ,)( , , )f x yzf x y z ( , , )f x y z目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對面積的的曲面積分的輪換對稱性對面積的的曲面積分的輪換對稱性: :(, )(, ).fx y z dSfy x z dS 1.(兩字母輪換兩字母輪換) 如果將如果將x,y換為換

12、為y,x積分域積分域不變不變,則則2.(三字母輪換三字母輪換) 如果將如果將x,y,z換為換為y,z,x積分域積分域 不變不變,則則(, )(, ,).fx y z dSfy z x dS 完全類似于三重積分的對稱性目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)的曲線積分的對稱性對坐標(biāo)的曲線積分的對稱性若 分段光滑曲線L 關(guān)于 y 軸對稱,且L在y軸右半部分和在y軸左半部分的方向相反( , )Lf x y dx對(1)(, )( , )( , )0Lfx yf x yf x y dx當(dāng)時, 1(2)(, )( , ),( , )2( , )LLfx yf x yf x y dxf x y dx當(dāng)時其中L

13、1 是L 的關(guān)于 y 軸對稱的部分弧段1( , )|( , ),0Lx yx yL x,Ly設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲線相向為反方則：0,( ,)2( ,)LLfxf x y dxf x y dxfx右若 是 的奇函數(shù)，若 是 的偶函數(shù)xy01LL注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸(y)對稱就關(guān)于誰對稱就關(guān)于誰(y軸軸)的方向相反的方向相反目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)的曲線積分的對稱性對坐標(biāo)的曲線積分的對稱性若 分段光滑曲線L 關(guān)于 x 軸對稱,且L在x軸上半部分和在x軸下半部分的方向相反( , )Lf x y dx對(1)(

14、,)( , )( , )0Lf xyf x yf x y dx當(dāng)時, 1(2)( ,)( , ),( , )2( , )LLf xyf x yf x y dxf x y dx 當(dāng)時其中L1 是L 的關(guān)于 x 軸對稱的部分弧段1( , )|( , ),0Lx yx yL y,Lx設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲線相向為反方則：0,( ,)2( ,)LLfyf x y dxf x y dxfy上若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù)xy01LL注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸(x)對稱就關(guān)于誰對稱就關(guān)于誰(x軸軸)的方向相反的方向相反目錄 上頁 下

15、頁 返回 結(jié)束 ,Ly設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲線相向為同方則：0,( ,)2( ,)LLfxf x y dxf x y dxfx右若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù)( , )Lf x y dx對,Lx設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲線相向為同方則：0,( ,)2( ,)LLfyf x y dxf x y dxfy上若 是 的奇函數(shù)，若 是 的偶函數(shù)xy01LLxy01LL注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸對稱就關(guān)于誰的方向相同注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸對稱就關(guān)于誰的方向相同目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 計算,dLxyx其中L 為沿拋物線

16、xy 2解法解法1 取 x 為參數(shù), 則OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxd2dLOBxy xxy xxyxy 解法解法2 從點xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1 , 1(B)1, 1( A,x設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線方向曲線為相反,xyy被積函數(shù)是 的奇函數(shù).54d21023xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 計算d ,Lx yx其中L 為沿拋物線xy 2解解:d0.Lx yxxyxy 從點的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1

17、, 1(B)1, 1( A,Lx設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱且對稱的兩個子曲線方向曲線為相反,x yy被積函數(shù)是 的偶函數(shù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,Ly設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲線相向為反方則：0,( ,)2( ,)LLfxf x y dyf x y dyfx右若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù),Lx設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲線相向為反方則：0,( ,)2( ,)LLfyf x y dyf x y dyfy上若 是 的奇函數(shù)，若 是 的偶函數(shù)xy01LLxy01LL( , )Lf x y dy對目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （逆時針方向）（逆時針方向

18、）. .其中其中C: : 求求22,Cdydxxy 1xy 解：解：oyx220,Cdyxy,Lx關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩曲線個子曲線221xxy被積函數(shù)是的偶函數(shù).220,Cdxxy,Ly關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲線方向為相反,221yxy被積函數(shù)是的偶函數(shù).方向為相反,220Cdydxxy例例2.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,Ly設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲線相向為同方則：0,( ,)2( ,)LLfxf x y dyf x y dyfx右若 是 的奇函數(shù)，若 是 的偶函數(shù)( , )Lf x y dy對,Lx設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲線相向為

19、同方則：0,( ,)2( ,)LLfyf x y dyf x y dyfy上若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù)xy01LLxy01LL注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸對稱就關(guān)于誰的方向相同注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸對稱就關(guān)于誰的方向相同目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)的曲面積分滿足輪換對稱性, 不滿足一般的對稱性如果積分區(qū)域滿足輪換對稱性，則被積函數(shù)進(jìn)行輪換后積分值不變,不過要同時輪換 dxdy，dydz，dzdx( , , )( , , )f x y z dxdyf y z x dydz( , , )( , , )f x y z dydzf y z x dzdx( , ,

20、)( , , )f x y z dzdxf y z x dxdy,0,2xoyRzRdxdyRdxdyRz上設(shè)分片光滑的閉曲面 關(guān)于面對稱 方向為外側(cè) 則：若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù)補充：利用對稱性簡化第二類曲面積分的計算補充：利用對稱性簡化第二類曲面積分的計算目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,),xoy設(shè)分片光滑的關(guān)于面對稱 方向為外(面內(nèi)曲側(cè)閉則：補充：利用對稱性簡化第二類曲面積分的計算補充：利用對稱性簡化第二類曲面積分的計算,xoy設(shè)分片光滑的關(guān)于面對稱 且對稱的兩個子曲面曲面相向為同方則：0,2RzRdxdyRdxdyRz上若 是 的奇函數(shù)，若 是 的偶函數(shù)0,2RzRdxdyR

21、dxdyRz上若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù),xoy設(shè)分片光滑的關(guān)于面對稱 且對稱的兩個子曲面曲面相向為反方則：0,2RzRdxdyRdxdyRz上若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性計算各種積分計算各種積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , ,)(aaCxf設(shè)證證:(1) 若, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(則xxfaad)(2) 若, )()(xfxf0d)(aaxxf則xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0

22、,d)(20 xxfa時)()(xfxf時)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令利用對稱性計算定積分利用對稱性計算定積分命題命題1 1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x 軸(y=0) 對稱，(1) ( ,) f x yy若被積函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)，即( ,)( , ).f xyf x y(2) ( , ) f x yy若被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，即).,(),(yxfyxf 利用對稱性計算二重積分利用對稱性計算二重積分xyO1DDD 位于 x 軸上方的部分為D1 , 則),(yxf在 D 上在閉區(qū)域上連續(xù),設(shè)區(qū)域D 關(guān)于1( , )|( , ),0Dx yx yD y 則d),(Dyxf0d),(D

23、yxfd),(21Dyxf命題命題 2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則(1) 不妨假設(shè)積分區(qū)域是X-型的 ).()(,:21xyyxybxaD由積分區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸對稱性:12( )( ).y xyx oxyab)(1xyy )(2xyy 1D21( )( ) ( , ) ( , )byxayxDf x y ddxf x y dy22( )( ) ( , )byxayxf x y dy dx 2( )02 ( , )byxaf x y dy dx 1 2( , ) .Df x y d(1) ( ,) f x yy若被積函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)，即( ,)( , ).f xyf x y1 ( ,

24、) 2( , ) .DDf x y df x y d目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 是是奇奇函函數(shù)數(shù)，即即關(guān)關(guān)于于若若被被積積函函數(shù)數(shù) ),( )2(yyxf).,(),(yxfyxf . 0 ),( dyxfD則則證證 （2）積分區(qū)域 ).()(,:21xyyxybxaD由積分區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸對稱性:).()(21xyxy )()(21),( ),( xyxybaDdyyxfdxdyxf oxyab)(1xyy )(2xyy 1D22( )( ) ( , )byxayxf x y dy dx 是奇函數(shù)是奇函數(shù)關(guān)于關(guān)于 ),( )()(22yfdyyxfxyxy 于是， dyxfD ),(

25、 22( )( ) ( , )byxayxf x y dy dx dxba 0 20. . 0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x yf(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , )|0Dx yD x命題命題2（1）如果D關(guān)于y軸(x=0)對稱,則 有 ( , )x yD 10,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yxf x y dxdyf x y dxdyf x yx關(guān)于為奇函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)1( , )|( , ),0Dx yx yD x其中其中

26、D 位于 y 軸右方的部分為 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證: 不妨假定不妨假定D的右半部分的右半部分D1為為X型區(qū)域：型區(qū)域：1:,( )( )Daxbxyx由由D關(guān)于關(guān)于y軸的對稱性，軸的對稱性，D的左半部分的左半部分D2為：為：2:,()()Dbxaxyx 2()()( )( )( )( )( )( )( , )( , )(, )()(, )=(, )=axbxDxtatbtbtbxataxf x y dxdyf x y dy dxft y dydtft y dy dtfx y dy dx 換元交換變量則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (, )( , )fx yf x y 若21( )

27、( )( , )( , )( , )bxaxDDf x y dxdyf x y dy dxf x y dxdy 12( , )( , )( , )0DDDf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy則則所以(, )( , )fx yf x y若21( )( )( , )( , )( , )bxaxDDf x y dxdyf x y dy dxf x y dxdy 則則1( , )2( , )DDf x y dxdyf x y dxdy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 命題命題2 (1) 如果D關(guān)于y軸(x=0)對稱,則 有 ( , )x yD 10,( , )( , )2( , )

28、,( , )DDf x yxf x y dxdyf x y dxdyf x yx關(guān)于為奇函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)1( , )|( , ),0Dx yx yD x2( , )|( , ),0Dx yx yD y其中其中其中其中 (2) 如果D關(guān)于x軸(y=0)對稱,則 有 ( , )x yD 20,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yyf x y dxdyf x y dxdyf x yy關(guān)于為奇函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 120,(,)( , ),2( , )( , )(,)( , )2( , )DDDfxyf x yf x y dxdyf x y dxdyfxy

29、f x yf x y dxdy 或其中 同上.12,D D (3) 如果D關(guān)于原點對稱,則 有 ( , )x yD目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論:若若 D 關(guān)于關(guān)于 x 軸軸 和和 y 軸都對稱軸都對稱 ,則則10,( , )( , )4( , ),( , ),DDf x yxyf x y dxdyf x y dxdyf x yx y關(guān)于 或 為奇函數(shù)關(guān)于均為偶函數(shù)1( , )|0,0Dx yD xyD1D目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 積分區(qū)域 D 關(guān)于 直線y=x對稱，即若(x,y)D,則(y, x)D.二重積分的輪換對稱性：二重積分的輪換對稱性：也就是表示D的不等式x,y對調(diào)不等式

30、不變,有( , )d( , )dDDf x yf y x若D1 , D2分別是 D 中關(guān)于 直線 y=x 對稱的兩部分，則：.),(),(21dxdyxyfdxdyyxfDD簡述為“你對稱，我奇偶你對稱，我奇偶”.(2)( , )( , ) f x yf y x( , )d0Df x y(3)( , )( , )f x yf y x，d),(Dyxfd),(21Dyxf則2D1D(1)Dxyo目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 命題命題 3若若 D1是區(qū)域是區(qū)域 D2 關(guān)于直線關(guān)于直線 y = x 對稱的區(qū)域，則對稱的區(qū)域，則12( , )( , )DDyyfdxxxdyfdxdy2D1Dxyo目錄

31、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證: 不妨假定不妨假定D2為為X型區(qū)域：型區(qū)域：2:,( )( )Daxbxyx則則D1為為Y型區(qū)域：型區(qū)域：21( )( )( )( )( , )( , )( , )( , )bxaxDx ybyayDf x y dxdyf x y dy dxf y x dx dyf y x dxdy 交換積分變量 ,所以1:,( )( )Daybyxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論 1若若 D 關(guān)于直線關(guān)于直線 y = x 對稱，則對稱，則( , )( , )DDf x y dxdyf y x dxdyD證證 設(shè)設(shè) D1 是是D 關(guān)于直線關(guān)于直線 y=x 對稱的區(qū)域，則

32、對稱的區(qū)域，則D1=D。用命題。用命題 3 即得。即得。xyo目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1( , )2( , )DDf x y dxdyf x y dxdy推論推論 2若區(qū)域若區(qū)域 D 關(guān)于直線關(guān)于直線 y = x 對稱對稱且且 f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 和和 y 對稱：對稱：( , )( , )f x yf y x則則D1( , )|Dx yD xy其中1Dxyo目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證: 設(shè)設(shè)2( , )|,Dx yD xy與與D1關(guān)于直線關(guān)于直線 y=x 對稱，且對稱，且12DDD由命題由命題 3211( , )( , )( , )DDDfdxdyfdxdyfdxdyx

33、yxyyx121( , )=( , )+( , )2( , )DDDDf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy所以則則D2D1D2Dxyo目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , , )f x y z dv當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)為偶函數(shù)012( , , )f x y z dv( , ,)( , , )f x yzf x y z( , ,)( , , )f x yzf x y zf(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函

34、數(shù)：為偶函數(shù)：1( , , )|0 x y zz 命題命題 4 若空間區(qū)域若空間區(qū)域關(guān)于關(guān)于 xOy 面面 (z = 0) 對稱，則對稱，則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證 不妨假定不妨假定的上半部分的上半部分1為為XY型區(qū)域：型區(qū)域：1( , , )|( , ),( , )( , )x y zx yDx yzx y 由由關(guān)于關(guān)于xOy坐標(biāo)面的對稱性，坐標(biāo)面的對稱性，的下半部分的下半部分2為：為：2( , , )|( , ),( , )( , )x y zx yDx yzx y 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )

35、( , , )( , , )( , ,)()( , ,)=( , ,)=x yx yDztx yx yDx yx yDx yx yDf x y z dvdf x y z dzdf x ytdtdf x yt dtdf x yz dz換元改變變量則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , ,)( , , )f x yzf x y z若2112( , )( , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )0 x yx yDf x y z dvdf x y z dzf x y z dvf x y z dvf x y z dvf x y z dv 則所以目錄 上頁

36、 下頁 返回 結(jié)束 ( , ,)( , , )f x yzf x y z若21( , )( , )( , , )( , , )( , , )x yx yDf x y z dvdf x y z dzf x y z dv則121( , , )( , , )( , , )2( , , )f x y z dvf x y z dvf x y z dvf x y z dv目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用積分曲線的對稱性利用積分曲線的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計算對計算對弧長的曲線積分弧長的曲線積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , )Lf x y ds命題命題 5若曲線若曲線 L 關(guān)于

37、關(guān)于 y 軸軸 (x = 0) 對稱，則對稱，則當(dāng)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , )Lf x y ds(, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x yf(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , )|0Lx yL xL1Lxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證 設(shè)設(shè) L 的右半部分的右半部分 L1 由以下參數(shù)方程給出：由以下參數(shù)方程給出：1:( ),( ),Lxtytatb 由由 L 關(guān)于關(guān)于 y 軸的對稱性，軸的對稱性

38、，L 的左半部分的左半部分 L2 的參的參數(shù)方程為：數(shù)方程為：22222( , )=( ),( ) ( )( )=( ),( ) ( )( )Lbabaf x y dsfttttdtfttttdt于是2:( ),( ),Lxtytatb 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (, )( , )fx yf x y 若211222( , )( ( ),( ) ( )( )( , )( , )( , )( , )0LbaLLLLf x y dsfttttdtf x y dsf x y dsf x y dsf x y ds 則所以目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (, )( , )fx yf x y若211212

39、2( , )( ( ),( ) ( )( )( , )( , )( , )( , )2( , )LbaLLLLLf x y dsfttttdtf x y dsf x y dsf x y dsf x y dsf x y ds則所以目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , )Lf x y ds命題命題 5若曲線若曲線L關(guān)于關(guān)于 x 軸軸 (y = 0) 對稱，則對稱，則當(dāng)當(dāng) f(x,y) 關(guān)于關(guān)于 y 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , )Lf x y ds( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x yf(x, y) 關(guān)于關(guān)于

40、 y 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , )|0Lx yL yL1Lxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , , )f x y z ds當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , , )f x y z ds( , ,)( , , )f x yzf x y z( , ,)( , , )f x yzf x y zf(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , , )|0 x y zz 命題命題

41、6 若空間曲線若空間曲線 關(guān)于關(guān)于 xOy 面面 (z = 0) 對稱，則對稱，則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證 設(shè)設(shè) 的上半部分的上半部分 1 由以下參數(shù)方程給出：由以下參數(shù)方程給出：1:( ),( ),( ),xx tyy tzz tatb 由由 關(guān)于關(guān)于xOy面的對稱性，面的對稱性， 的左半部分的左半部分 2 的的參數(shù)方程為：參數(shù)方程為：2222222( , , )=( ( ), ( ),( ) ( )( )( )=( ( ), ( ),( ) ( )( ) ( )babaf x y z dsf x ty tz tx ty tz tdtf x ty tz tx ty tz tdt 于

42、是2:( ),( ),( ),xx tyy tzz tatb 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , ,)( , , )f x yzf x y z 若2112222( , , )( ( ), ( ), ( ) ( )( )( )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=0baf x y z dsf x ty tz tx ty tz tdtf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z ds 則所以目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , ,)( , , )f x yzf x y z若21121222( , , )( ( ), ( ), ( ) ( )(

43、 )( )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=2( , , )baf x y z dsf x ty tz tx ty tz tdtf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z ds 則所以目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用積分曲面的對稱性利用積分曲面的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計算對計算對面積的曲面積分面積的曲面積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , , )f x y z dS當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012(

44、 , , )f x y z dS( , ,)( , , )f x yzf x y z( , ,)( , , )f x yzf x y zf(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , , )|0 x y zz 命題命題 7 若曲面若曲面 關(guān)于關(guān)于 xOy 面面 (z = 0) 對稱，則對稱，則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證 設(shè)設(shè) 的上半部分的上半部分1由以方程給出：由以方程給出：1:( , ),( , )zz x yx yD由由 關(guān)于關(guān)于xOy面的對稱性，面的對稱性， 的下半部分的下半部分2的方的方程為：程為：222

45、22( , , )( , ,( , ) 1 ( , )( , )( , ,( , ) 1 ( , )( , )xyDxyDf x y z dSf x yz x yzx yzx ydxdyf x yz x yzx yzx ydxdy 于是1:( , ),( , )zz x yx yD 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 211222( , , )( , , ( , ) 1 ( , )( , )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=0 xyDf x y z dSf x y z x yzx yzx ydxdyf x y z dSf x y z dSf x y z dSf x y z

46、 dS 則所以( , ,)( , , )f x yzf x y z若目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2112122( , , )( , , ( , ) 1 ( , )( , )( , , )( , , )=( , , )+( , , )2( , , )xyDf x y z dSf x y z x yzx yzx ydxdyf x y z dSf x y z dSf x y z dSf x y z dSf x y z dS則所以( , ,)( , , )f x yzf x y z若目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用積分曲面的對稱性利用積分曲面的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計算對計算對

47、坐標(biāo)的曲面積分坐標(biāo)的曲面積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , , )f x y z dxdy當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)為偶函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)為奇函數(shù) 012( , , )f x y z dxdy( , ,)( , , )f x yzf x y z( , ,)( , , )f x yzf x y zf(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , , )|0 x y zz 命題命題 8 若封閉曲面若封閉曲面 關(guān)于關(guān)于 xOy 面面 (z = 0) 對稱對稱,取外

48、側(cè)取外側(cè),則則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證: 設(shè)設(shè) 的上半部分的上半部分1由以方程給出：由以方程給出：1:( , ),( , )zz x yx yD由由 關(guān)于關(guān)于xOy面的對稱性，面的對稱性， 的下半部分的下半部分2的方的方程為：程為：2( , , )( , ,( , )Df x y z dxdyf x yz x y dxdy 于是1:( , ),( , )zz x yx yD 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21( , , )( , ,( , )( , , ( , )( , , )DDf x y z dxdyf x yz x y dxdyf x y z x y dxdyf x y z d

49、xdy 則( , ,)( , , )f x yzf x y z若12( , , )=( , , )+( , , )f x y z dxdyf x y z dxdyf x y z dxdy1=2( , , )f x y z dxdy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21( , , )( , ,( , )( , , ( , )( , , )DDf x y z dxdyf x yz x y dxdyf x y z x y dxdyf x y z dxdy 則( , ,)( , , )f x yzf x y z若12( , , )=( , , )+( , , )0f x y z dxdyf x y z d

50、xdyf x y z dxdy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , , )f x y z dxdy當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)為偶函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)為奇函數(shù) 012( , , )f x y z dxdy命題命題 8 若封閉曲面 關(guān)于 xOy 面 (z = 0) 對稱,且對稱的兩個子曲面方向相反,則( , ,)( , , )f x yzf x y z( , ,)( , , )f x yzf x y zf(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , , )|0 x y

51、 zz 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , , )f x y z dxdy當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , , )f x y z dxdy命題命題 8 若封閉曲面 關(guān)于 xOy 面 (z = 0) 對稱,且對稱的兩個子曲面方向相同,則( , ,)( , , )f x yzf x y z( , ,)( , , )f x yzf x y zf(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , , )|0 x y zz 目錄 上頁 下

52、頁 返回 結(jié)束 證證: 設(shè)設(shè) 的上半部分的上半部分1 , 取上側(cè)取上側(cè),其方程為：其方程為：1:( , ),( , )zz x yx yD由由 關(guān)于關(guān)于xOy面的對稱性，面的對稱性， 的下半部分的下半部分2 ,取取上側(cè)上側(cè),其方程為：其方程為：2( , , )( , ,( , )Df x y z dxdyf x yz x y dxdy于是1:( , ),( , )zz x yx yD 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21( , , )( , ,( , )( , , ( , )( , , )DDf x y z dxdyf x yz x y dxdyf x y z x y dxdyf x y z d

53、xdy 則( , ,)( , , )f x yzf x y z若12( , , )=( , , )+( , , )f x y z dxdyf x y z dxdyf x y z dxdy0.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21( , , )( , ,( , )( , , ( , )( , , )DDf x y z dxdyf x yz x y dxdyf x y z x y dxdyf x y z dxdy則( , ,)( , , )f x yzf x y z若12( , , )=( , , )+( , , )f x y z dxdyf x y z dxdyf x y z dxdy1=2( ,

54、, ).f x y z dxdy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用積分曲線的對稱性利用積分曲線的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計算對計算對坐標(biāo)的曲線積分坐標(biāo)的曲線積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)的曲線積分的對稱性對坐標(biāo)的曲線積分的對稱性若 分段光滑曲線L 關(guān)于 y 軸對稱,且L在y軸右半部分和在y軸左半部分的方向相反( , )Lf x y dx對(1)(, )( , )( , )0Lfx yf x yf x y dx當(dāng)時, 1(2)(, )( , ),( , )2( , )LLfx yf x yf x y dxf x y dx當(dāng)時其中L1 是L 的關(guān)于 y 軸對稱的部分弧段

55、1( , )|( , ),0Lx yx yL x,Ly設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲線相向為反方則：0,( ,)2( ,)LLfxf x y dxf x y dxfx右若 是 的奇函數(shù)，若 是 的偶函數(shù)xy01LL注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸(y)對稱就關(guān)于誰對稱就關(guān)于誰(y軸軸)的方向相反的方向相反目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , )Lf x y dx命題命題 9 若曲線若曲線 L 關(guān)于關(guān)于 y 軸軸 (x = 0) 對稱對稱,當(dāng) f(x, y) 關(guān)于 x 為奇函數(shù)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于 x 為偶函數(shù) 012( , )Lf x

56、 y dx(, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x yf(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：且L在y軸右半部分和在y軸左半部分的方向相反,則則其中L1 是L 的關(guān)于 y 軸對稱的部分弧段1( , )|( , ),0Lx yx yL xxy01LL注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸(y)對稱就關(guān)于誰對稱就關(guān)于誰(y軸軸)的方向相反的方向相反目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證: 設(shè)設(shè) L 的右半部分的右半部分 L1 由以下參數(shù)方程給出：由以下參數(shù)方程給出：1:( ),(

57、 ), :Lxtytt ab由由 L 關(guān)于關(guān)于 y 軸的對稱性，軸的對稱性，L 的左半部分的左半部分 L2 的參的參數(shù)方程為：數(shù)方程為：2( , )=( ),( )( )=( ),( )( )Labbaf x y dxfttt dtfttt dt于是2:( ),( ), :Lxtytt ba 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (, )( , )fx yf x y 若21( , )( ),( )( )( ( ),( )( )( , )LbabaLf x y dxfttt dtfttt dtf x y dx 則12( , )( , )( , )0LLLf x y dxf x y dxf x y dx目

58、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (, )( , )fx yf x y若121( , )( , )( , )2( , )LLLLf x y dxf x y dxf x y dxf x y dx21( , )( ),( )( )( ( ),( )( )( , )LbabaLf x y dxfttt dtfttt dtf x y ds則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)的曲線積分的對稱性對坐標(biāo)的曲線積分的對稱性若 分段光滑曲線L 關(guān)于 x 軸對稱,且L在x軸上半部分和在x軸下半部分的方向相反( , )Lf x y dx對(1)( ,)( , )( , )0Lf xyf x yf x y dx當(dāng)時, 1

59、(2)( ,)( , ),( , )2( , )LLf xyf x yf x y dxf x y dx 當(dāng)時其中L1 是L 的關(guān)于 x 軸對稱的部分弧段1( , )|( , ),0Lx yx yL y,Lx設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲線相向為反方則：0,( ,)2( ,)LLfyf x y dxf x y dxfy上若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù)xy01LL注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸(x)對稱就關(guān)于誰對稱就關(guān)于誰(x軸軸)的方向相反的方向相反目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , )Lf x y dx命題命題 9 若曲線若曲線L

60、關(guān)于關(guān)于 x 軸軸 (y = 0) 對對稱，稱，且L在x軸上半部分和在x軸下半部分的方向相反,則則當(dāng)當(dāng) f(x,y) 關(guān)于關(guān)于 y 為偶函數(shù)為偶函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為奇函數(shù)為奇函數(shù) 012( , )Lf x y dx( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x yf(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為奇函數(shù)為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為偶函數(shù)為偶函數(shù)：1( , )|0Lx yL yL1Lxy注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸(x)對稱就關(guān)于誰對稱就關(guān)于誰(x軸軸)的方向相反的方向相反目錄 上頁 下頁 返回