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1、向量的夾角:向量的夾角:已知兩個(gè)非零向量已知兩個(gè)非零向量 和和 ,作,作 , ,abOAa OBb 則則AOB= AOB= (0(0180)180)叫做向量叫做向量 與與 的夾角的夾角. .ababOabAB當(dāng)當(dāng)= 0時(shí),時(shí), 與與 同向;同向;ab當(dāng)當(dāng)= 180時(shí),時(shí), 與與 反向;反向;ab當(dāng)當(dāng)= 90時(shí),時(shí), 與與 垂直,記作垂直,記作 。ababababab第1頁/共20頁sF 一個(gè)物體在力一個(gè)物體在力F 的作用下產(chǎn)生的位移的作用下產(chǎn)生的位移s,那么力,那么力F 所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算?所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算?其中力其中力F 和位移和位移s 是向量,是向量, 是是F 與與s 的夾角,而功是
2、數(shù)量的夾角,而功是數(shù)量. | s|F|W cos問題的提出問題的提出第2頁/共20頁平面向量的數(shù)量積: 已知非零向量已知非零向量 與與 ,我們把數(shù)量,我們把數(shù)量 叫作叫作 與與 的的數(shù)量積數(shù)量積(或內(nèi)積),記作(或內(nèi)積),記作 ,即規(guī)定,即規(guī)定 |cosa bababa b |cosa ba b 其中其中是是 與與 的夾角,的夾角, 叫做向量叫做向量 在在 方向上(方向上( 在在 方向上)的方向上)的投影投影. .并且規(guī)定,零向量與任一向量并且規(guī)定,零向量與任一向量的數(shù)量積為零,即的數(shù)量積為零,即 。ab|cos (|cos )bababa00a BB1OAab1| |cosOBb 第3頁/共
3、20頁數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積的幾何意義: 數(shù)量積數(shù)量積 等于等于 的模的模 與與 在在 的方向上的的方向上的投影投影 的乘積。的乘積。a b a|aba|cosbBB1OAab思考:向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量,那么它什么時(shí)候?yàn)檎伎迹合蛄康臄?shù)量積是一個(gè)數(shù)量,那么它什么時(shí)候?yàn)檎?什么時(shí)候?yàn)樨?fù)呢?什么時(shí)候?yàn)樨?fù)呢?當(dāng)當(dāng)為銳角時(shí),向量的數(shù)量積為正;為銳角時(shí),向量的數(shù)量積為正;當(dāng)當(dāng)為鈍角時(shí),向量的數(shù)量積為負(fù)。為鈍角時(shí),向量的數(shù)量積為負(fù)。當(dāng)為直角時(shí),向量的數(shù)量積為零。第4頁/共20頁由向量數(shù)量積的定義,試完成下面問題:由向量數(shù)量積的定義,試完成下面問題:_._.(3)| _ |.()aba ba bab
4、a baba aa ba b ; 反; 若與 同向, 若與 同向, 若與向, 若與向, 填或填或(1)(1)(2)(2)注:常記注:常記 為為 。a a 2a|aa a 0|a b|a b2|a22( )|aa 證明向量垂直的依據(jù)第5頁/共20頁例例1.已知已知 , 的夾角的夾角=120=120, 求求 。| 5,| 4abab 與與a b 解:解:|cos5 4 cos12015 4 ()210= a ba b 第6頁/共20頁;()()();().a bb aaba bababca cb c (1)(1)(2)(2)(3)(3)思考:等式思考:等式 是否成立?是否成立?()()a b ca
5、 b c 數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律:數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律:不成立不成立第7頁/共20頁1、兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),不是向量,符號(hào)由cos的符號(hào)確定;注意:注意:2、兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積,寫成 ;與代數(shù)中的數(shù)ab不同,書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分;ba3、在實(shí)數(shù)中,若a0,且ab=0,則b=0;但在數(shù)量積中,若 ,且 ,不能推出 。因?yàn)槠渲衏os有可能為00ba0a0b4、已知實(shí)數(shù)a、b、c(b0),則有ab=bc得a=c.但是有 不能得cbbaca 5、在實(shí)數(shù)中(ab)c=a(bc), 但)()(cbacba第8頁/共20頁例例2.我們知道,對(duì)任意我們知道,對(duì)任意 ,恒有,恒有, a bR22222()2,(
6、)().abaabbab abab對(duì)任意向量對(duì)任意向量 是否也有下面類似的結(jié)論?是否也有下面類似的結(jié)論?, ,a b 22222()2;()().abaa bbab abab (1)(1)(2)(2)第9頁/共20頁)()(,.b ba ab ba ab ba ab ba a3260463,求的夾角為與已知例第10頁/共20頁互相垂直?與向量為何值時(shí),不共線,與且已知例b bk ka ab bk ka ak kb ba ab ba a,.434第11頁/共20頁小結(jié)小結(jié)向量的數(shù)量積計(jì)算時(shí),向量的數(shù)量積計(jì)算時(shí),一要找準(zhǔn)向量的模;一要找準(zhǔn)向量的模;二要找準(zhǔn)兩個(gè)向量的夾角。二要找準(zhǔn)兩個(gè)向量的夾角。作業(yè)作業(yè)P108 P108 習(xí)題習(xí)題A A組組 1 1、2
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