微分基礎知識

1、、單變量函數(shù)的微分1. 基本概念導數(shù)的定義及其幾何意義 設函數(shù) y=f(x)當自變量在點 x 有一改變量 x 時,函數(shù) y 相應 地有一改變量 y f(x x) f(x) ,那末當 x趨于零時,若比 y的極限存在 (一確定的有限值)，則稱這個極限為函數(shù) f(x)在點 x 的導數(shù),記作d y y f(x x) f (x) y f (x) lim limdx x 0 x x 0 x這時稱函數(shù) f(x)在點 x是可微分的函數(shù) (或稱函數(shù) f(x)在點 x可 微)。在幾何上 , 函數(shù) f(x)的導數(shù) f (x) 是函數(shù) y=f(x) 表示的曲線在點 x的切線的斜率 ,即f (x) =tan 式中為曲線

2、在點 x的切線與 x軸的夾角(圖 5.1)。 單邊導數(shù)圖 5.1f (x)=lixm0 f(xxx)f(x)f (x)=lixm0 f (x x) f (x) 分別稱為函數(shù) f(x)在點 x 的左導數(shù)和右導數(shù)。導數(shù) f (x) 存在的充分必要條件是 :f (x)= f (x)無窮導數(shù) 若在某一點 x 有f(x x) f (x)lim=±x 0 x 則稱函數(shù) f(x)在點 x 有無窮導數(shù)。這時函數(shù) y=f(x)的圖形在點 x 的切線與 x 軸垂直 (當 f (x) = +時,函數(shù)f(x)的圖形在點 x的切線正向與 y軸方向一致,當 f ( x) =時,方向相反)。函數(shù)的可微性與連續(xù)性的

3、關系 如果函數(shù) y=f(x)在點 x 有導數(shù)，那末它在點 x一定連續(xù)。 反之 ,連續(xù)函數(shù)不一定有導數(shù) ,例如2° 函數(shù)y=f(x)=xsin (x 0)x0 (x 0)在點 x=0連續(xù),但在點 x=0左右導數(shù)都不存在 (圖 5.3)。2. 求導數(shù)的基本法則四則運算求導公式 若c為常數(shù),函數(shù) u=u(x), (x) 都有導數(shù),則(c) =0 (cu) =cu(u ) u (u ) u uu u u ( 0)2復合函數(shù)的導數(shù) 若 y=f(u),u= (x) 都有導數(shù) ,則 d y = f (u) (x) dx反函數(shù)的導數(shù) 如果函數(shù) y=f(x)在點x有不等于零的導數(shù) ,并且反函數(shù) x=f

4、1(y)在點 y連續(xù), 那末 xy 存在并且等于 1 ，即yx1xy=yx 隱函數(shù)的導數(shù) 假定函數(shù)Fy(x,y) 0，則由F(x,y)連續(xù) ,并且對于每個自變量都有連續(xù)的偏導數(shù),而且F(x,y)=0所決定的函數(shù) y=f(x) 的導數(shù)y =yFxFy式中Fx F ，F(xiàn)y F (見本節(jié)，四)。 xy用參數(shù)表示的函數(shù)的導數(shù) 設方程組x (t)y (t)<t<)式中 (t) 和 (t )為可微分的函數(shù) ,且 (t) 0,則由隱函數(shù)存在定理 (本節(jié),四,1)可把 y 確定為 x 的單值連續(xù)函數(shù)y= 1(x)而函數(shù)的導數(shù)可用公式y(tǒng)x xytyxxtx求得。用對數(shù)求導數(shù)法 求一函數(shù)的導數(shù) ,有時

5、先取其對數(shù)較為便利 ,然后由這函數(shù)的對數(shù)求其 導數(shù)。例求(x a)p (x b)q y(x c) r的導數(shù)。解 兩邊各取對數(shù) , 得lny=pln(xa)qln(xb)rln(xc)左邊的 lny為y的函數(shù),而y又為 x的函數(shù),故應用求復合函數(shù)的導數(shù)的法則得到 1(ln y) yy由此得pqrx a x b x c所以y (x a)p(x b)q p(x c) rqrx a x b x c3. 函數(shù)的微分與高階導數(shù)函數(shù)的微分 若函數(shù) y=f(x)的改變量可表為y A(x)dx+o(dx)式中 dx=x，則此改變量的線性主部 A(x)dx稱為函數(shù) y 的微分,記作dy=A(x)dx函數(shù) y=f(

6、x)的微分存在的充分必要條件是 :函數(shù)存在有限的導數(shù) y =f (x) ,這時函數(shù)的微分 是dy= f (x) dx上式具有一階微分的不變性 ,即當自變量 x 又是另一自變量 t 的函數(shù)時 ,上面的公式仍然成 立. 高階導數(shù) 函數(shù) y=f(x)的高階導數(shù)由下列關系式逐次地定義出來 (假設對應的運算都有 意義)：f(n)(x) = f(n 1)(x) (n 2,3, ) 高階微分 函數(shù) y=f(x)的高階微分由下列公式逐次定義： dn y=d(dn 1 y)(n 2,3, ) 式中 d1 y dy y dx.并且有dn(n) ny =y dxy(n) dn yyndx(u )( 式中 u(0)

7、u, (0) ,Cni 為二項式系數(shù)。同樣有萊布尼茨公式 若函數(shù) u= (x)及 = (x)有 n 階導數(shù)(可微分 n次),則 nn)i (i) (n i)Cnui0n(u )Cni dn i u dii0式中 d0 u u， d0 更一般地有(n)(u1u2um )n!(i1) (i2)(im)u1 u2umik n i1!i2! im! 1 2 m 0 ik n式中 m，n 為正整數(shù)。復合函數(shù)的高階導數(shù) 若函數(shù) y=f(u),u= (x) 有 l 階導數(shù)，則dndnx(f ( (x) 1i n1 i n i1!i 2! il!l ik i 1 2 lkik n(1) 1 (2) 2 uuu

8、(l)1! 2!l!n! f (i)il式中(i) di f(k)dk uduidxk基本函數(shù)的導數(shù)表 f(x)f (x)f(x)f (x)c0cscxcosxcot xcscx2 sin xn xn1nxarcsin x11 x211arccosx1x2 x1 x21narctan x1n xn1 x1x2nx1arccot x1n n 1nx1 x2xx1eearc secxxx2 11x aax ln aarc cscxxx2 1xxxx(1 lnx)sh xchxln x1 xch xshxloga x1th x1sech2xxlnach xlgx11 lge 0.4343xxcth

9、x1csch xsh xsinxcosxsech xsech x th xcosxsin xcsch xcsch x cth x12Arsh x1tanx22 sec x cos2 xln(x 1 x2 )1 x2121cotxAr sech x22 csc x sin xx1xf>0取, f 0取+sin xAr csch x1 ,x>0secx2 tan x secx cos2 xx1x2 ,x>0簡單函數(shù)的高階導數(shù)表 f(x)f (n) (x)mxm(m1)(mn+1)xm n (當 m為整數(shù)且 n>m時， f (n)(x)=0)( 1)n 1 (2n 3)! 1

10、xn 2n 1 22 x2這里(2n+1)!=(2n+1)(2n1) 5 3 1)x ex emx en mx mex aax (ln a)n (a>0)ln xn 1 1 ( 1)n 1(n 1)! n xloga x( 1)n 1 (n 1)! 1n ln a xsin xn sin(x )2cosxncos(x )2sin mxnnm sin( mx )2cosmxnnm cos(mx )2shxshx（n 為偶數(shù) ）， chx（n 為奇數(shù) ）chxchx（n 為偶數(shù) ）， shx（n 為奇數(shù) ）Arch x= ln(xx2 1)12 ,x>1 x2 1f>0 取+，f

11、<0取lnshxcth xArth x=1 1 x ln2 1 x(x<1)Arcthx=1 x 1ln2 x 1 (x>1)11 x21x2 1ln ch xln thxth x1 sechxcschx sin xchx4. 數(shù)值導數(shù)當函數(shù)用圖形或表格給出時 ,就不可能用定義求出它的導數(shù) ,只能用近似方法求數(shù)值導數(shù) . 圖解微分法 適用于用圖形給出的函數(shù)求導數(shù) ,例如機械設計中已知 st 圖,求 t 圖, at 圖等,其基本步驟如下：（1）將原坐標系 Oxy沿 y軸負方向平移一段距離得坐標系 Oxy （圖 5.4）.圖 5.4(2) 過曲線 y=f(x)上點 M1(x1,y

12、1)作切線 M1T1 .在坐標系 Oxy內,過點 P(1,0)作PQ1平行于 M1T1交y軸于點Q1 ,那末點Q1 (點M 1 )的縱坐標就是導數(shù) y1 f (x1).以Q1的縱坐標為縱坐標 ,x1 為橫坐標作出點 M 1 .(3) 在曲線 y=f(x)上取若干個點 M1,M2, ,Mn ,在曲線彎曲程度較大處點取得密些 .仿上作 法,在坐標系 O x y內得到相應點 M1,M2 , ,Mn ,順次連成光滑曲線 ,即是導函數(shù) y f (x)的 圖形.差商公式 在實用中常使用下列簡單的近似公式22 f (a)f (a) f(a), f (a)hh2,f (k)(a)khfk(a)h式中f (a)

13、 = f(a h) f (a)22 f (a) f(a h) f (a)函數(shù) f (x)在點 a 的階差分)(函數(shù) f (x)在點 a的階差分)kf(a) k1f(a h) k1f(a) (函數(shù) f (x)在點a的k階差分) 在函數(shù)的數(shù)值表中 ,如果有誤差 ,則高階差分的偏差較大 ,所以用以上公式不宜計算高階導 數(shù).用插值多項式求數(shù)值導數(shù) 假定已經(jīng)求出了函數(shù) y=f (x)的插值多項式 Pn (x),它可以求導 , 則用 Pn(x) 近似 f (x),由f(x)=Pn(x)+Rn(x) 略去余項 ,得f (x) Pn(x) f (x) Pn(x)等等.它們的余項相應為 Rn(x) ,Rn(x)

14、,等等.應當指出,當插值多項式 Pn(x)收斂于 f(x)時, Pn ( x)不一定收斂于 f'( x).另外,當 h縮小時,截斷誤差減小 ,但舍入誤差卻增加 ,因此 ,采用縮小步長的方法也不一定能達到提高精度的目的.由于用插值法求數(shù)值微分的不可靠性 ,在計算時 ,要特別注意誤差分析 ,或者改用其他方法拉格朗日公式 (由拉格朗日插值公式得來 ,見第十七章 ,§2,三)dydxnf (x)Lk (x)yk Rn(x)k0n式中 Lk (x)j 0 (x xk)(x xj ) n(xk) jknn(x) (x xk )k1(n 1) ( )nn (x)Rn (x) (n 1)!n

15、(x) n馬爾科夫公式 (x) d f(n 1)! dx f(x)( x0xn)(由牛頓插值公式得來 ,見第十七章 ,§2,二)21 2t 1 2 3t 6t 2 3 d i n f (x0 th) ( y02y03y0Cni ny0 0 h 0 2 0 6 0 dt n 0(n 1) d t n 1 t d( ) Cn 1 h Cn 1fdt dx(n 1) ( )hn f(n 1)( )(x0xn )特別,當t = 0時,有h2(2)0h3(3)0h4(4)0h5n11 2 1 3 1 4 ( 1)n 1 n hf0y02y03y04 y0ny02 3 4 n2 y03 y0 1

16、1 4 y0 5 5 y012 63 3 4 7 5 15 6y0y0y0y04817 6y0 7 7 y06225 7 35 8y0y06624 y0 2 5 y05 5 6 y0y02 等距公式 三點公式(5)0yt f (x0 th)1h t 12y 1 2ty0 t 21 y1四點公式y(tǒng)tf (x0 th)1h23t 2 6t 26 y 12 2 23t 2 4t 1 3t2 2t 2 3t2 1y0y1y22 0 2 1 6 2五點公式y(tǒng)tf (x0 th) 1 2t 3th 122t3 5t4t3 3t 2 8t 4y0y1t 1 4t 3t 8t 4y 2 y162t3 3t 2

17、 t 1y22 6 12用三次樣條函數(shù)求數(shù)值導數(shù) 這個方法能避免用插值法求數(shù)值導數(shù)的不可靠性.因為對于樣條函數(shù) (曲線 y=f(x)的三次樣條函數(shù) S(x)的作法見第十七章 ,§2,四 ),當被插值函數(shù) f(x)有四階 連續(xù)導數(shù) ,且 hi=xi+1 xi 0 時,只要 S(x)收斂于 f(x),則導數(shù) S (x)一定收斂于 f (x),且 S(x) f(x)=O(H4)，S(x) f (x) O(H3), S (x) f (x) O(H2) ,其中 H 是 hi的最大值 ,因此,可直接通 過三次樣條函數(shù)32 2 3f (x) S(x) 2 (xi 1 x)23 (xi 1 x)3

18、yihi2hi33 2 2 32 (x xi)23 (x xi)3 yihi2hi3i122 (x xi )1 hi 2 (xi 1 x) i hi2 i 1 hi 1i hi133 (xi 1 x)3 mi hi3133 (x xi ) mi 1 hi3i i 1求數(shù)值導數(shù)得f (x) S(x)=h6i2 h1i(xi1 x)2 (xi1 x) yih6i2(x xi ) 1 (x xi) 2hii1f (x) S (x)6221hi2hi式中 hi xi 1 xi, yif(xi),mi若僅求樣點 xi 上的導數(shù) ,則 f (xi ) mi1 3 2(xi 1 x)2(xi 1 x) mi

19、hi hi1322(x xi )(x xi)2 mhihi62hi2 1 hi (xi 1 x) yi232 1 (x xi ) yi 1 h 1 h (xi 1 x) miS (xi) (i=0,1,2, ,n )i1h21hih3(x xi) mi 1hif (xi )6hi6S (xi )= 2 yihif (xi1)S(xi1)= 62 yi2hihi42 yi 1mihi2hiyi 1mi2mi 1 hi4 mi 1 hi二、多變量函數(shù)的微分偏導數(shù)及其幾何意義 設二元函數(shù)u=f(x,y)當變量 x 有一個改變量 x 而變量 y 保持不變時 ,得到一個改變量u=f(x+x,y)f(x,

20、y)如果當 x0 時,極限u f (x x,y) f (x,y)或 fx(x,y) ,即u f (x,y)lim =lim x 0 x x 0 存在,那末這個極限稱為函數(shù) u=f(x,y)關于變量 x 的偏導數(shù) ,記作 u 或 f(x,y),也記作 fx(x,y) xx u f (x x,y) f (x,y)x x =fx(x,y)= fx(x,y)=lixm0 ux =lixm0 f(x x,y) f(x,y) 類似地 ,可以定義二元函數(shù) u=f(x,y)關于變量 y 的偏導數(shù)為uy= f(xy,y)=fy(x,y)= f y (x, y) = liym0 yu = liym0 f(x, y

21、 y) f(x,y)y y y 0 y y 0 y 偏導數(shù)可以按照單變量函數(shù)的微分法則求出 ,只須對所論變量求導數(shù) ,其余變量都看作常 數(shù).偏導數(shù)的幾何意義如下二元函數(shù) u=f(x,y)表示一曲面 ,通過曲面上一點 M(x,y,u)作一平行于 Oxu平面的平面 ,與曲面 有一條交線 , u 就是這條曲線在該點的切線與 x軸正向夾角 的正切,即 u =tan .同樣,有 u x x y =tan ( 圖 5.5).偏導數(shù)的定義不難推廣到多變量函數(shù) u=f(x1,x2, ,xn) 的情形 .偏微分 多變量函數(shù) u=f(x1,x2,xn)對其中一個變量 (例如 x1 )的偏微分為 udx1 udx1

22、x1 也可記作 d x f .可微函數(shù)與全微分 若函數(shù) u=f(x,y)的全改變量可寫為u f (x x,y y) f(x,y)=A x B y+O( )式中 A,B與 x, y無關,( x)2 ( y)2 ,則稱函數(shù) u=f(x,y)在點(x,y)可微分 (或可微 ),這時函數(shù) u=f(x,y) 的偏導數(shù) u , u 一定存在 , 而且xyu =A, u =Bxy改變量 u 的線性主部A x B y= u dx+ u dyxy稱為函數(shù) u=f(x,y)的全微分 ,記作uu du= dx+ dy (1) xy函數(shù)在一點可微的充分條件 :如果在點 (x,y)函數(shù) u=f(x,y)的偏導數(shù) u,

23、u 存在而且連續(xù) ,那 xy 末函數(shù)在該點是可微的 .公式(1)具有一階微分的不變性 ,即當自變量 x,y又是另外兩個自變量 t,s的函數(shù)時 ,上面的公 式仍然成立 .上述結果不難推廣到多變量函數(shù) u=f(x1,x2,xn)的情形 .注意 ,在一個已知點 ,偏導數(shù)的存在一般說來還不能確定微分的存在 .復合函數(shù)的微分法與全導數(shù) 1°設 u=f(x,y),x= (t,s),y= (t,s),則2°設 u=f(x1,x2,xn),而 x1,x2,xn又都是 t1,t2,tm的函數(shù) ,則uux1ux2uxnt1x1t1x2t1xnt1uux1ux2uxnt2x1t2x2t2xnt2

24、utmu x1x1 tmu x2u xnx2 tmxn tm3°設 u=f(x,y,z),而 y= (x,t),z= (x,t),則u = f x (x, (x,t), (x,t) f y (x, (x,t), (x,t) x(x,t) xfx(x, (x,t), (x,t) x (x,t)ut=fy(x, (x,t), (x,t) t(x,t) fz(x, (x,t), (x,t) t(x,t)4°設 u=f(x1,x2,xn), x1= x1(t), x2= x2(t), ,xn xn(t),則函數(shù) u=f(x1,x2, ,xn )的全導數(shù)為duu dx1u dx2u

25、dxndtx1 dtx2 dtxn dt齊次函數(shù)與歐拉公式 如果函數(shù) f(x,y,z)恒等地滿足下列關系式 f(tx,ty,tz)=t k f(x,y,z) 則稱 f(x,y,z)是一個 k次的齊次函數(shù) .對于這種函數(shù) ,只要它可微,就有x f y f z f kf ( 歐拉公式 ) xyz 注意,齊次函數(shù)的次數(shù) k 可以是任意實數(shù) ,例如,函數(shù)yx x sin y cos xy 就是自變量 x及 y的次齊次函數(shù) .隱函數(shù)的微分法 設 F(x1,x2, ,xn,u)=0,則Fux1x1x1F(參考本節(jié) ,四).ux2x2uxnx2FxnFu高階偏導數(shù)與混合偏導數(shù) 函數(shù) u=f(x1,x2,xn

26、) 的二階偏導數(shù)為22u22ux1 x23u23u , ,后者稱為混合偏導數(shù) .三階偏導數(shù)為u3x1 x3 x2 x3x132ux123u2u ,x22 ,33u3xn2u2 和xn233u2x1 x2,。類似地可定義更高階的偏導數(shù) .x1 x2 x3 關于函數(shù)乘積的混合偏導數(shù)有下面公式 :設u, 都是 x1,x2,xn的函數(shù),則i1 ini! i !j1 jnk1 ki1! i n!i i (u ) 1 n j j u k kx1i1xninjh kh ihj1!jn!k1!kn!x1j1xnjnx1k1xnkn1 n 1 h n 1 n 1 n 1 n 1 n注意 ,混合偏導數(shù)一般與求導的

27、次序有關 ,但是,如果兩個同階的偏導數(shù) ,只是求導的次序不 同,那末只要這兩個偏導數(shù)都連續(xù) ,它們就一定彼此相等 .例如 ,如果在某一點 (x,y)函數(shù) fxy與 fyx 都連續(xù) ,那末一定有jnf xy (x,y)= fyx (x,y)高階全微分 二元函數(shù) u=f(x,y)的二階全微分為22u 2 2u2u 2d2u=d(du)= 2 dx2 2 dxdy2 dy2x2x y y2或簡記作2du= dx d y x 22 , 經(jīng)平方后出現(xiàn) 2 , x yx2 x y二元函數(shù) u=f(x,y)的 n 階全微分為式中偏導數(shù)符號y22 ,它們再作用到函數(shù) u=f(x,y) 上 ,以下類同 . y2

28、nu xyndu= dx d y多變量函數(shù) u=f(x1,x2,xm)的 n 階全微分為 偏導數(shù)的差分形式 dx2dxmx1y2xmndu= dx1圖示u0,02uu0,0x2u0 ,0 1y 2l (u0,1 u0, 1)4l (u1,1 u1, 1 u1,1u0,012 (u1, 0 2u0,0 hu 1, 1 )u 1,0 )112h2( u2,0 16u1,0 30u0,0 16u 1,0 u 2,0)2u0,03h2 (u1,12u 0, 1 u 1,1 u1,0 2u0,0u 1,0 u1, 1 2u0, 1 u 1, 1 )差分公式2u0,02y22u0,02y112l21l2(

29、u0,1 2u0,0 u0, 1)( u0,216u0,1 30u0,0 16u0, 1u0, 2 )y44ux2 y 2u0,04y414 (u0, 24u0,16u0,04u0, 1 u0, 2 )u0,02 2 2 2xy12 2 (u1,1u 1,1u1, 1 u 1, 1 2u1,0hl2u 1,02u0,12u0, 14u0,0 )2h2u0,04u0,0 u1,0 u0,1 u 1,0 u0, 1212h2u0,060u0,0 16(u1, 0 u 1,0 u0,1u0, 1 ) (u2,0 u 2,0 u0,2 u0, 2)4h4 u0,0 20u0 ,0 8(u1,0 u0,

30、1 u 1,0 u0, 1 ) 2(u1,1 u1, 1 u 1,1 u 1, 1 ) (u2,0 u0,2 u 2,0 u0, 2 )6h4 u0,0(u0,3 u0, 3 u3,0 u 3,0 )14(u0 ,2 u0, 2 u2 ,0 u 2,0 )77(u0,1 u0, 1 u1,0 u 1,0 )(u1,2u 1,2184u0,0 20(u1,1 u1, 1 u 1,1 u 1, 1 ) u2,1 u1, 2 u 2, 1u 2,1 u 1, 2 u 2, 1 )(1)x1,x2,(2)y1,y2,三、函數(shù)行列式 (或雅可比式 )及其性質設有 n個自變量的 n 個函數(shù) y1 f1(x

31、1,x2, ,xn ) y2 f2(x1,x2, ,xn)yn fn (x1,x2, ,xn ) 它們定義在某一 n維區(qū)域 D 中,并關于自變量有連續(xù)偏導數(shù) ,則由這些偏導數(shù)組成的行列式y(tǒng)1y1y1x1x2xny2y2y2x1x2xnynynynx1x2xn稱為函數(shù)組 (1)的函數(shù)行列式或雅可比式。記作(y1, y2, ,yn)(x1,x2, ,xn) 函數(shù)行列式具有與普通導數(shù)相似的一系列性質 . 1° 除函數(shù)組 (1)外,再取在區(qū)域 P 中有定義且有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)組x1 1(t1,t2 , ,tn )x22(t1,t2 , ,tn )xnn(t1,t2, ,tn )假設當點(t1

32、,t2, ,tn)在 P 中變動時,對應點(x1,x2, , xn )并不越出區(qū)域 D,于是就可以通過 ,xn 把 y1,y2, ,yn 看成是 t1,t2, ,tn 的復合函數(shù) .這時有(y1,y2,yn)(x1,x2,xn) =(y1,y2,yn)(x1,x2,xn)(t1,t2,tn) = (t1,t2,tn)它是一元的復合函數(shù)的微分法則y=f(x),x= (t)；dy=dy dxdt dx dt 的推廣。2° 特別是,如果令 t1=y1,t2=y2, ,tn=yn(換句話說 ,由新變量 x1,x2, ,xn 又回到舊變量 ,yn ),則由(2)式得到(y1, y2, , yn

33、) (x1,x2, ,xn)=1(x1,x2, ,xn) (y1,y2, ,yn) 它是一元函數(shù)的反函數(shù)微分法則y=f(x), x= (y); d y= 1dx dx dy 的推廣。3° 設有 n 個自變量 x1,x2, ,xn的 m(m<n)個函數(shù) y1,y2, , ym：y1 f1(x1,x2, ,xn)y2 f2(x1,x2 , ,xn)ym fm(x1,x2, ,xn)式中 x1,x2, ,xn 又是 m 個自變量 t1,t2, ,t m的函數(shù)：x11(t1,t2, ,tm )x22(t1,t2, ,tm )xnn(t1,t2, ,tm )假設它們都有連續(xù)偏導數(shù)，那末

34、y1,y2, ,ym 作為 t1,t2, ,tm 的函數(shù)的函數(shù)行列式的表達式 為(y1,y2,ym) (y1,y2,ym)(xi1,xi2,xim)(t1,t2,tm) (i1,i2,im) (xi1,xi2,xim )(t1,t2,tm)等式右邊的和式是從 n個標號 1,2, , n內每次取 m個的一切可能組合而取遍的。當 m=1 時,上面的公式就是普通的復合函數(shù)的微分公式 dy n y xi dt i 1 xi t 的推廣.特別當 n=3,m=2 時,有(y1,y2)(y1,y2)(x1,x2)(y1, y2)(x2,x3)(y1, y2)(x3,x1)(t1,t2)(x1,x2)(t1,

35、t2)(x2,x3)(t1,t2)(x3,x1)(t1,t2)4° 設有 2n 個自變量的 n 個方程所組成的方程組Fi(x1,x2, ,xn ;y1,y2, ,yn)=0(i=1,2,n)假定0(F1,F2, ,Fn )(y1, y2, ,yn)將 y1,y2, ,yn 看成由這方程組所確定的 x1,x2, ,xn 的函數(shù),這時有 (F1, ,Fn)(y1,y2, , yn)(x1,x2, ,xn )(x1, ,xn )(F1, ,Fn)(y1, ,yn)它是由 F(x,y)=0 所確定的隱函數(shù) y=f(x)的導數(shù)公式y(tǒng)xFx(x,y)Fy(x, y)的推廣.5° 函數(shù)行

36、列式可作為面積 (體積 )的伸縮系數(shù) . 假定函數(shù)u=u(x,y), = (x,y)在 xy 平面的某個區(qū)域上連續(xù) , 并且有連續(xù)的偏導數(shù) ,又假定在這個區(qū)域上那末有(u, )(x, y)0dud = (ux,y)dxdy對更高維的空間有類似的表達式 .例 直角坐標與球面坐標的變換 x=rsin cos ,y=rsin sin ,z=rcos 的函數(shù)行列式為r sin sinrsin cos0sin cos (x,y,z) = sin sin = sin sin (r, , )cosr cos cosr cos sin = r 2 sinr sin這時 dxdydz= (x,y,z) drd

37、d = r2 sin drd d (r, , )四、隱函數(shù)1. 單變量隱函數(shù) 對于由方程F(x,y)=0 所確定的隱函數(shù)有下述定理 :存在定理 設函數(shù) F(x,y)在點 M0(x0,y0)的某一鄰域 *R 內定義并且滿足下列條件(i) F(x,y)及其偏導數(shù) Fx,Fy 在 R內連續(xù),(ii) F(x0,y0)=0,(iii) Fy(x0,y0)0, 那末在點 M0(x0,y0)的某一鄰域R ( x0 ,x0;y0 , y0)內有唯一的單值函數(shù) y=f (x)存在 ,具有下列性質 : 1° Fx, f (x)0,且 f (x0)=y0, 2°在區(qū)間( x0 ,x0)內函數(shù)

38、f(x)連續(xù),3° 它在這區(qū)間內有連續(xù)的導數(shù) f (x) .導數(shù)的計算 yxFFxy(xx,yy) (Fy0)yx2(Fy 0)2Fx Fy Fxy (Fy)2 Fx2 (Fx )2 Fy2(Fy)32. 多變量隱函數(shù) 對于由方程F(x,y,z)=0 所確定的隱函數(shù)有下述定理 :存在定理 設函數(shù) F(x,y,z)在點 P0(x0,y0,z0)的某一鄰域 R內定義并且滿足下列條件(i) F(x,y,z)及其偏導數(shù) Fx,Fy,Fz在 R內連續(xù),(ii) F(x0,y0,z0)=0,(iii) Fz (x0,y0,z0) 0, 那末在點 P0(x0,y0,z0)的某一鄰域鄰域的概念見第二

39、十一章，這里 M0的領域是指包含 M0 的某一矩形R ( x0 ,x0; y0,y0;z0,z0)內有唯一的單值函數(shù) z=h(x,y)存在 ,具有下列性質 : 1° Fx,y,h(x,y)0,且 h(x0,y0)= z0, 2° 函數(shù) h(x,y)連續(xù) , 3° 它有連續(xù)的偏導數(shù) hx,hy .Fx ,zFy,zyFz yFz， 各階的偏導數(shù) , 只要將恒等式zx(Fz 0)導數(shù)的計算 如果需要求所有一F(x,y,z)=0兩邊求一階,二階,三階,.各階的全微分 ,然后和全微分 dz,d2z,d3 z, 的定義形式對比 ,即得. 注意,對于由方程F(x1, x2 ,

40、 ,xn,y)=0 所確定的隱函數(shù)有類似結果 .3. 由方程組所確定的隱函數(shù) 對由方程組(1)F (x, y, z) 0 G(x,y,z) 0 所確定的隱函數(shù)有下述定理 :存在定理 設函數(shù) F(x,y,z)及G(x,y,z)在點 P0(x0,y0,z0)的某一鄰域 R內定義,并且滿足下列條 件:(i) F(x,y,z),G(x,y,z)及其所有偏導數(shù)都在 R內連續(xù) ,(ii) F(x0,y0,z0)=0,G(x0,y0,z0)=0,(iii) 行列式Fy FzJ(x,y,z)= GFy GFzGy Gz在點 P0(x0,y0,z0)不等于零 :J(x0,y0,z0) 0. 那末在點 P0(x0

41、,y0,z0)的某一鄰域R ( x0 ,x0 ; y0,y0;z0,z0)內有唯一的一組單值函數(shù) y=f(x),z=g(x)存在 ,具有下列性質 :1° Fx,f(x),g(x) 0,Gx,f(x),g(x)0,且 f(x0)=y0,g(x0)=z0,2° 在區(qū)間 (x0 ,x0 )內函數(shù) f(x),g(x)連續(xù) ,3° 在這區(qū)間內有連續(xù)導數(shù) f (x),g (x).導數(shù)的計算 將y和 z看作 x的隱函數(shù),將方程組(1)對x微分得FFdyF dz0xydxz dxGGdyG dz0xydxz dx0這是關于 dy及dz的線性方程組 ,其行列式 J0,由此可以解出

42、dy及dz. dx dx dx dx 注意,對于由方程組F1(x1, ,xn; y1, ,ym) 0F2(x1, ,xn;y1, ,ym) 0Fm(x1, ,xn;y1, , ym) 0 所確定的隱函數(shù)有類似的結果 .五、微分表達式中的變量替換1.單變量函數(shù)設 y=f (x),并有一個含有自變量、因變量及其導數(shù)的表達式H=F(x,y, y x , y x2 , ) 當作變量替換時 ,各導數(shù)可按下列方法計算 :作自變量變換的情形 設變換公式為x= (t)ytxtyt2 xt2 ytyx x ,yx2xt這時3xtxt(xt yt3 xt3yt) 3xt2(xtyt2 xt2 yt) yx3xt(

43、1)自變量和函數(shù)都作變換的情形 設變換公式為x= (t,u),y= (t,u) 式中 t 為新的自變量 ,u 為新的函數(shù) .這時,由復合函數(shù)的微分法則得到xt t uut ,yt t uutxt2t2 2 tuutu2 (ut)2 uut2yt2t2 2 tuutu2 (ut)2uut2把這些式子代入公式 (1),即得結果 .2. 多變量函數(shù)作自變量變換的情形 變換公式為設 z=f (x,y),并有一個含有自變量、因變量及其偏導數(shù)的表達式222zzzzzH=F(x,y,z, , , 2 , , 2 ,)x y x x y yx= (u, ),y= (u, )式中 u和 為新的自變量 ,則偏導數(shù)

44、 z , z 由下列方程確定 : xyz z z =+u x u y uz z z xy 其它高次偏導數(shù)也可仿此求出 .自變量和函數(shù)都作變換的情形 設變換公式為x= (u, ,w),y= (u, ,w),z= (u, ,w)其中 u, 為新的自變量 , w=w(u,v)為新的函數(shù) ,則偏導數(shù) z , z 由下列方程確定 : xyzwzww(+)+ (+)=+xuwu y uwuuwuzwzwwxwyww其他高次偏導數(shù)也可仿此求出 .注意 ,當 H 內出現(xiàn)的不是個別的偏導數(shù) ,而是已給階次的全部偏導數(shù) ,那末求逐次偏導數(shù)時 利用全微分比較方便 .六、微分學的基本定理 (中值定理 )洛爾定理 如果

45、(i)函數(shù) f(x)定義在閉區(qū)間 a,b上而且是連續(xù)的 ,(ii)在開區(qū)間 (a,b)內存在有限導數(shù) f (x) ,(iii) 在區(qū)間的兩端點處函數(shù)值相 等: f(a)= f(b).那末在 a與 b之間至少存在一點 c,使 f (c) =0.即曲線 y= f(x)在點 (c, f(c)處的切 線是水平的 (圖 5.6).特別 ,若 f(a)= f(b)=0,洛爾定理可簡述如下 : 在一個函數(shù)的兩個根之間 ,它的一階導數(shù)至少 有一個根 .注意,函數(shù) f(x)須在閉區(qū)間 a,b上連續(xù),并且在開區(qū)間 (a,b)內點點要有導數(shù)存在 ,這對于定理的結論的正確性是很要緊的 .例如函數(shù) f(x)= x x在

46、區(qū)間 0,1上,除去在 x=1 時有間斷以外滿足定理的一切條件 ,但在(0,1)內處處都是11f (x) =1.又例如由等式 f(x)=x( 0 x 12 )及f(x)=1 x(12 x 1)所定義的函數(shù) ,在這區(qū)間內除去 當 x=1 時(雙邊的)導數(shù)不存在以外 ,它也滿足定理的一切條件 ,可是導數(shù) f (x) 在左半?yún)^(qū)間內等 2于+1,而在右半?yún)^(qū)間內等于 1.定理的條件 (iii)也是很重要的 ,例如函數(shù) f(x)=x 在區(qū)間0,1上,除去條件 (iii)以外滿足定理的 一切條件 ,而它的導數(shù)處處是 f (x) =1.f (b) f (a) = f (c) (a<c<b) (1)

47、中值定理 如果 (i) f(x)定義在閉區(qū)間 a,b上而且是連續(xù)的 ,(ii) 在開區(qū)間 (a,b)內存在有限 導數(shù) f (x),那末在 a與 b之間至少存在一點 c,滿足等式即曲線 y= f (x)在點(c, f (c)處的切線與弦 AB平行(圖 5.7).這個定 理也稱為有限改變量定理或拉格朗日定理 .(1) 式也常寫成以下幾種形式 :f(b) f(a) f (c) (b a)f(x+x) f (x) f (c) x ( x<c<x+ x)y= f(x+x) f (x) f (x x) x(01)由中值定理可得定理 如果在區(qū)間 a,b上的每一點都有 f ( x) =0,那末函數(shù)

48、 f(x)在這個區(qū)間上是一個常數(shù)柯西定理 如果(i)函數(shù) f(t)及g(t)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),(ii)在開區(qū)間(a,b)內有有限導數(shù) ,(iii)圖 5.8在區(qū)間 (a,b)內 g (t ) 0.那末在 a與 b 之間至少存在一點 c,使 f(b) f(a)= f (c) (a<c<b) g(b) g(a) g (c)這公式稱為柯西公式 (圖 5.8).柯西定理常稱為微分學的廣義中值定 理,因 g(t)=x 時 ,這個公式就是公式 (1).多變量函數(shù)的中值定理 如果 (i)函數(shù) f(x,y)定義在閉區(qū)域 D 上并且連續(xù) ,(ii) 在這區(qū)域內部 (即在它的所有內點 )有連續(xù)的偏導數(shù) fx,fy,今考察 D中的兩點M0(x0,y0)及 M1(x0+x,y0+ y)假設這兩點能用全部位于 D 區(qū)域內的直線段 M0M1來連接,則下面的公式成立 :f(x0,y0)=f(x0+x,y0+y) f(x0,y0)= fx(x0x,y0y) x fy(x0x, y0y) y (0<<1)由中值定理可得定理 若在閉連通區(qū)域 D* 內連續(xù)的函數(shù) f(x,y),在此區(qū)域內偏導數(shù)都等于零 ,即 fx = fy =0,則這函數(shù)在區(qū)域 D 內必為常數(shù) .七、泰勒公式與泰勒級數(shù)1. 單變量函數(shù)的泰勒公式11° f(