微積分中存在性問(wèn)題的證明方法

1、微積分中存在性問(wèn)題的證明方法1基本結(jié)論(1) 有界性：若 f(x) Ca,b M 0, x a,b, f(x) M 。(2) 最值性：若 f (x) Ca,b，則 f (x) 在a,b 能取到最大值和最小值。(3) 零點(diǎn)定理 ：若 f(x) Ca,b，且 f(a)f(b) 0，則在 (a,b)內(nèi)至少存在一 點(diǎn) c ，使 f (c) 0 。(4) 介值性：若 f(x) Ca,b，M,m分別是 f(x) 在a,b上的最大值和最小 值，則 m,M ，在a,b至少存在一點(diǎn) c，使 f(c)。(5) 羅爾定理 如果函數(shù) f(x)滿足：(1)在閉區(qū)間 a,b上連續(xù) (2)在開(kāi)區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo) (3)

2、在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即 f(a) f(b) 那么在 (a,b)內(nèi)至 少在一點(diǎn) (a b) 使得函數(shù) f (x)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，即 f '( ) 0(6) 拉格朗日中值定理 如果函數(shù) f (x) 滿足( 1)在閉區(qū)間 a,b上連續(xù) (2) 在開(kāi)區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo) 那么在 (a,b) 內(nèi)至少有一點(diǎn) (a b) 使得等式f(b) f (a) f '( )(b a)(7) 柯西中值定理 如果函數(shù) f(x)及F(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間 (a,b)內(nèi) 可導(dǎo),且F'(x)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零， 那末在 (a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn) (a b), 使等式

3、f(b) f(a) f'( ) 成立F(b) F(a) F '( )2證明思路(1) 設(shè) f(x) 在a,b上連續(xù)，條件中不涉及到導(dǎo)數(shù)或可微，證明存在a,b，使得 f (x) c ，一般用介值定理或根的存在性定理 。(2) 設(shè) f (x) 在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，證明存在(a,b) ，使得結(jié)論中包含 和一階導(dǎo)數(shù)的等式成立， 一般用中值定理 。(3) 設(shè) f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上二階可微， 證明存在(a,b)，使得結(jié)論中包含 和二階導(dǎo)數(shù)的等式成立， 一般三次使用中值定理或用泰勒公式 。(4) 設(shè) f(x) 在a,b上連續(xù)，在(a,b)上三次(或以上)可導(dǎo)

4、，證明存在(a,b)，使得結(jié)論中包含 和三階導(dǎo)數(shù)的等式成立， 一般用泰勒公式 。b(5) 條件中包含 f (c)f ( x)dx時(shí)，要首先使用 積分中值定理 處理，得到af(c) f ( ) ，作為其他證明的條件。3.存在性證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法 存在性證明中成功構(gòu)造輔助函數(shù)是解題的關(guān)鍵。輔助函數(shù)大多來(lái)源于結(jié)論， 從對(duì)結(jié)論的分析中得出輔助函數(shù)。例 1、設(shè) f(x) 在0 ，2a上連續(xù)， f(0) f ( 2a) ，證明在0,a 上存在 使得f(a ) f ( ).【分析】 f (x)在0,2a上連續(xù)，條件中沒(méi)有涉及導(dǎo)數(shù)或微分，用介值定理或根的 存在性定理證明。輔助函數(shù)可入下得到f(a ) f

5、( ) f (a ) f ( ) 0 f(a x) f(x) 0【證明】令G(x) f (a x) f (x)， x 0,a G(x) 在0,a上連續(xù)，且G(a) f (2a) f (a) f (0) f (a)G(0) f (a) f(0)當(dāng) f(a) f(0)時(shí)，取0，即有 f (a ) f( )；當(dāng) f(a) f(0)時(shí)， G(0)G(a) 0 ，由根的存在性定理知存在 (0,a)使得，G( ) 0，即 f(a ) f ( )例 2、設(shè)函數(shù) f(x)在0,1 上連續(xù)，在 (0,1) 上可導(dǎo)， f(1) 0 ，證明：在 (0,1)內(nèi)存在 ，使得 f ( )分析】本題的難點(diǎn)是構(gòu)造輔助函數(shù)，可

6、如下分析：f()f( )f ( ) f ( ) 0 f (x) xf (x) 0xf (x) 0證明】令G(x) xf ( x) ，則G(x)在0,1 上連續(xù)，在 (0,1) 上可導(dǎo)，且G(0) 0f (0) 0,G(1) 1f(1) 0, G (x) f(x) xf (x)由羅爾中值定理知，存在(0,1) ，使得 G ( ) f( ) f ( )即 f ( ) f ( )例 3、設(shè)函數(shù) f(x)在0，1上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0) 0, x (0,1), f(x) 0 證明：(0,1)，使 nf ( ) f (1 ) (n 為自然數(shù))f( ) f (1 )【分析】本題構(gòu)造輔助函數(shù)的

7、難度大于上一題，需要積分(即解微分方程)方可得到：nf ( )f (1 )nf ()f (1 x)nf (x) dxf (1 x)dxf( )f (1 )f (x)f (1 x)f(x)f(1 x)n1df (x)1df (1x) ln f n (x)ln f (1 x)f (x)f(1x)f n(x) f (1 x) 1【證明】令 G(x) f n(x)f(1 x)，則 G(x)在0,1 上連續(xù)，在 (0,1) 上可導(dǎo)，且 G(0) G(1) 0， (0,1)，使 G ( ) 0，即nf n 1( )f (x)f (1 ) f n( )f (1 ) 0 ，又 f(x) 0，約去 f n 1(

8、x)，整理得證例 4、設(shè)函數(shù) f ( x)在0,1 上連續(xù)，在 (0,1) 上可導(dǎo)， f(0) 0， f (1) 1.證明：(1) 在(0,1) 內(nèi)存在 ，使得 f ( ) 1 (2) 在(0,1) 內(nèi)存在兩個(gè)不同的點(diǎn) ， 使得f /( )f /( ) 1【分析 】 第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問(wèn)題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應(yīng)注意利用第一部分已得結(jié)論 .【證明】(I)令 F(x) f(x) 1 x，則 F(x)在0，1上連續(xù)，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在 (0,1), 使得 F( ) 0，即 f( ) 1 .

9、II) 在0, 和 ,1 上對(duì) f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理， 知存在兩個(gè)不同的點(diǎn) (0, ),( ,1) ，使得 f ( )f ( ) f(0) ， f ( ) f(1) f ( )01于是 f ( )f () f ( ) 1 f( )1.1類似地還有(1) 設(shè)函數(shù) f (x) 在 a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，證明：在 (a,b) 內(nèi)存在 , 使/a得 f/( ) 2bf/()(2) 設(shè)函數(shù) f (x) 在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)， f(a) f (b) 1 證明：在(a,b)內(nèi)存在 , 使得 e f / ( ) f( ) 1例 5、設(shè)函數(shù) f(x), g(x)在a, b

10、上連續(xù)，在 (a, b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最 大值， f(a)=g(a), f(b)=g(b), 證明：存在 (a,b)，使得 f ( ) g ( ).【分析 】需要證明的結(jié)論與導(dǎo)數(shù)有關(guān)，自然聯(lián)想到用微分中值定理，事實(shí)上， 若令F(x) f(x) g (x) ，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明 F ( ) 0, 只需對(duì) F (x)用羅爾定理， 關(guān)鍵是找到 F (x) 的端點(diǎn)函數(shù)值相等的區(qū)間 (特別是兩個(gè)一階導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的 點(diǎn))，而利用 F(a)=F(b)=0, 若能再找一點(diǎn) c (a,b) ，使得 F(c) 0 ，則在區(qū)間 a,c, c,b上兩次利用羅爾定理有一階導(dǎo)函數(shù)相等的兩點(diǎn)，再對(duì)F (x) 用羅

11、爾定理即可。【證明】構(gòu)造輔助函數(shù) F(x) f (x) g(x)，由題設(shè)有 F(a)=F(b)=0. 又 f(x), g(x) 在(a, b)內(nèi)具有相等的最大值 , 不妨設(shè)存在 x1 x2, x1,x2 (a,b) 使得f (x1)Mma,abx f (x),g(x2)Mm a,abx g( x) ，a,b a,b若 x1x2，令 c x1, 則F(c) 0.若 x1x2，因 F(x1) f(x1) g(x1) 0,F(x2) f (x2) g(x2) 0 ，從而存在c x1,x2(a,b)，使 F(c) 0.在區(qū)間 a, c, c,b上分別利用羅爾定理知，存在 1 (a,c), 2 (c,b

12、)，使得F ( 1) F ( 2) 0.再對(duì) F ( x)在區(qū)間 1, 2上應(yīng)用羅爾定理，知存在( 1, 2) (a,b)，有F ( ) 0， 即 f ( ) g ( ).例 6 設(shè)函數(shù) f ( x)在 0，1上有三階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且 f(0) 1, f(1) 2,f (1) 0 2證明： (0,1) 使 f ( ) 24。證明】 f(x)f(12)f (12)(x12)12 f(12)(x21)216 f( )(x21)3f (12) 12 f ( 21)(x 12) 16 f ( )(x 12)， 在 12與x之間f(0)f ( 21)21f( 21)(21)216 f(1)(12)31(0, 21)f(1) f(21) 12 f (21)(21)2 61 f ( 2)(21)32 ( 21