北京市海淀區(qū)2021屆高三一模數(shù)學(xué)試題(word版,含答案)

1、北京市海淀區(qū)2021屆高三一模數(shù)學(xué)試題2021.04本試卷共6頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后, 將本試卷和答題紙一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知集合4=1, B=xx>a）.若AUB=8,則實數(shù)”的取值范圍是3/14(A) ( 8、1)(B) (-00, 1(C) (L +oo)(D) 1, +8)（2）如圖，在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為P,則復(fù)數(shù)三的虛部為P.(A) 1(B)-1(D)(C) 2（3）已知小為等差數(shù)列，S

2、n為其前項和,若%=S5=5,則的=(A) -5(B) -4(C) -3(D) -2（4）在一乜）6的展開式中，,一的系數(shù)為12,則的值為 X(A) 2(B) -2(C) 1(D) -1(5)函數(shù)/(<) = sinx + cosx ,/(x) = sinxcosx ,/(x) = coslx + f-g中，周期是乃且為奇函數(shù)的所有函數(shù)的序號是(B)(C)(D)（6）已知函數(shù)人幻滿足/（1 +外=/（1一文），且當(dāng)心>1時，/（x） =1。叱,貝/（-2）=(A) -2(B) -1(C) 1(D) 3（7）已知4,是單位向量，c=a+2，若。_Lc,則lcl=（A） 3（B） V7

3、（C）石（D） 5/2（8）己知點A（$,x；）,陽八,x：）, C（0,），則FABC是等邊三角形”是“直線A8的斜率為（T的4（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（9）設(shè)無窮等比數(shù)列斯的前項和為S”若一aiVazVg,則（A） S“為遞減數(shù)列（B）（SQ為遞增數(shù)列（C）數(shù)列S“有最大項（D）數(shù)列SQ有最小項（10）我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造了一個稱為“牟合方蓋”的立體圖形來推算球的體積，如圖1,在一個棱長為 方的立方體內(nèi)作兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱，其相交的部分就是牟合方蓋，如圖2,設(shè)平行于水平而且與水平 面距離為人的平而為小 記平而。截牟

4、合方蓋所得截面的面積為s,則函數(shù)S=/（/?）的圖象是第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.（11）已知函數(shù)f （a）+ 若曲線y=f （A）在點（1, f （1）處的切線的斜率為2.則實數(shù)u的值是（12）己知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的離心率為(13)已知點 0 (0, 0), A (1, 2), B (/n, 0)(機(jī)>0),貝lj cos< 04,03 > =，若 8 是以 OA 為邊 的矩形的項點，則?=o（14）若實數(shù)a ,則£的一個值是1 + 2cos6Z = 2cos/7 6+2sina = 2 sin 0

5、（15）對平面直角坐標(biāo)系xOy中的兩組點，如果存在一條直線ax+y+c=0使這兩組點分別位于該直線的兩惻， 則稱該直線為“分類直線”，對于一條分類直線/,記所有的點詞/的距離的最小值為，/,約定：力越大，分類 直線/的分類效果越好，某學(xué)校高三（2）出的7位同學(xué)在2020年期間網(wǎng)購文具的費用x （單位：百元）和網(wǎng) 購圖書的費用y （單位：百元）的情況如圖所示，現(xiàn)將P，尸2, P3和尸4歸為第I組點，樽0，。2,和Q歸為 第n組點，在上述約定下，可得這兩組點的分類效果最好的分類直線，記為l給出下列四個結(jié)論：y(百元)Trp1 -I iiii4 卜1FFH3;-產(chǎn)金-。3-一3 -中心9-不I1：.

6、2 卜P6一|ydIIIII 2 II|IIIIII1 I4 Q1JIIIII J IIIIIIIIIIIIIIIL MMMMmm!*MMo 1 1.5 234工(百元)直線x=2.5比直線3x-y-5=0的分類效果好；分類直線L的斜率為2：該班另一位同學(xué)小明的網(wǎng)購文具與網(wǎng)購圖書的費用均為300元，則小明的這兩項網(wǎng)購花銷的費用所對 應(yīng)的點與第n組點位于L的同側(cè)；如果從第I組點中去掉點P，第n組點保持不變，則分類效果最好的分類直線不是心其中所有正確結(jié)論的序號是O三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。(16)(本小題共14分)如圖，在四邊形ABC。中，AB/CD,

7、AB=2瓜 CD=8sA=£, cos AADB =- 33(II )求3C的長.(17)(本小題共14分)在如圖所示的多面體中，AB/CD,四邊形ACFE為矩形，AB=AE=, AD=CD=2.(I)求證：平面ABE平而CDF：(II)設(shè)平面平面CDF=I,再從條件、條件、條件這三個條件中選擇若干個作為已知，使 二面角8一/一C的大小確定，并求此二而角的余弦值.條件：AB1AD,條件：AE_L平面A8CD條件：平而AEZ)J_平面A3CD（18）（本小題共14分）每年的4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書和版權(quán)日”，為了解某地區(qū)高一學(xué) 生閱讀時間的分配情

8、況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了 500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均 閱讀時間（單位:小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成0, 2, （2, 4, （4, 6, （6, 8, （8, 10, （10, 12, （12, 14, （14, 16, （16, 18九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.5 4 3 2 1oao o Os so,o.s（I）求的值：（II）為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間 在（12, 14, （14, 16, （16, 18三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了 10人、現(xiàn)從這10人中隨機(jī) 抽取3人，記日平均

9、閱讀時間在（14, 16內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列；（III）以調(diào)查結(jié)果的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，用“尸2。（k） ”表示這 20名學(xué)生中恰有k名學(xué)生日平均閱讀時間在（10, 12（單位：小時）內(nèi)的概率，其中k=0, 1, 2,，20. 當(dāng)尸20（）最大時，寫出k的值,（只需寫出結(jié)論）（19）（本小題共15分）已知函數(shù)/ （x） =x sin x.（I）判斷函數(shù)/（x）在區(qū)間（0，-）上的單調(diào)性，并說明理由; 2（II）求證：函數(shù)/（x）在（工，乃）內(nèi)有且只有一個極值點： 2（III）求函數(shù)g = ,"'）+1在區(qū)間（1,乃上的最小值.In

10、x廠 V"已知橢圓 M： + = 1（4>>0）過A （-2, 0）, B （0, 1）兩點. cr It（I）求橢圓M的離心率；（II）設(shè)橢圓M的右頂點為C,點尸在橢圓M上（尸不與橢圓M的頂點重合），直線AB與直線CP交于點。,直線3P交x軸于點S,求證：直線SQ過定點.（21）（本小題共14分）已知無窮數(shù)列m），對于機(jī)若“同時滿足以下三個條件，則稱數(shù)列”n具有性質(zhì)條件："n>0條=1, 2,）：條件：存在常數(shù)7>0,使得5=1, 2,.）；條件：，。+。用=0，2（=1，2,）.（I）若的=5+4x（=1, 2,），且數(shù)列具有性質(zhì)P（?），直接寫

11、出出的值和一個7的值: 2（II）是否存在具有性質(zhì)尸（1）的數(shù)列/?若存在，求數(shù)列為）的通項公式；若不存在，說明理由；（III）設(shè)數(shù)列小具有性質(zhì)P （，），且各項均為正整數(shù)，求數(shù)列為的通項公式.（20）（本小題共14分）7/14北京市海淀區(qū)2021屆高三一模數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.題號(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)答案BACBDCCADD二、填空題共5小題，每小題5分，共25分,題號(11)(12)(13)(14)(15)答案T72B 55o.答案不唯一.滿足2兀+ 兀人e Z 3或弧次eZ即可三、解答題共6小題，共85分。（

12、16）（本小題共14分）解：（I）在中，因為 cosA =亞，cosZ4Q8 = :，33所以 sin A = Jl-cos? A = , sin ZADB = l-cos2 AADB =33所以 cos ZABD = cos(ti - ZA - ZADB)=-cos( ZA + ZADB)=一(cos Acos ZADB -sin Asin ZADB)_艮#3 3339因為A3C。，所以 cos ZBDC = cos ZABD =x/69川）在中，由正弦定理得黑=/因為A8 = 2而，=3.所以皿=當(dāng)需在 MBD 中，由余弦定理得 BC2 = BD2 + CD2 - 2BD CD cosZB

13、DC = 9 + 6 2x3x#x 手= 11.所以 JiT.(17)(本小題共14分)解:(I )因為四邊形ACFE為矩形,所以 CF/AE.又因為A3CZ), ABrAE = A9 A8u平而ABE，A£u平而ABE，CDu平面C。/7, CPu平面CDF, 所以平面ABE平而CDF.(II)選擇，或®因為平面ABC。，A3u平面A3CD, AOu平面A3CQ,所以 AZf_LAB, AE±AD.又因為所以分別以AB，AD, 4f所在的直線為x軸，軸，Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意得 3(1,0,0), E(0,0,l), F(2,2,l).所以 “

14、 = (1,0.1), 喬= (1,2,1).設(shè)平面電戶的法向量為 = (x,y,z),則BE n =0. f-v+z = O,< 即<BF n=0. x + 2y + z = 0.令 X = l,則 y = T , Z = l.于是 =(1,T1).由(I )可得：AO L平面CDF.取平而CDF的一個法向量為次=(0.l，0).所以 cos < mji >=-= -；=-.Imllnl 1x733所以二面角3-/-。的余弦值為號.選擇因為平而，平而A8CZ),平面AE£>n平而AB8 = A£>,AB±AD. Abu 平面

15、ABC。，所以ABL平面A£D.又因為AEu平而所以AB, AE.在矩形AC在中，AE1AC.因為 A8u 平而 A3C£>, ACu 平面 A3C3, A5nAe = A,所以4fL平面ABC£).又因為A。u平面ABCD,所以A£，AD.分別以AB, AD,心所在的直線為x軸，5'軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意得8(1，0.0), £(0,04),/(2,2,1).所以而=(-1,0,1), B戶= (1,2,1).設(shè)平面8M的法向量為 =(f z),則BE n=0.-v+z = 0,<_,即<BF

16、n=0. |/ + 2y + z = 0.令 x = l,則 y = T , z = I.于是 =(1,T1).由(I )可得：4。L平面CD尸.取平面CDF的一個法向量為加=(。,1，。).9/14”一m T 小所以 cos < m.n >= -Imll/il 1x63所以二面角。的余弦值為孝 （18 ）（本小題共14分）解：（I ）由頻率分布直方圖可得:2 (0.02 + 0.03 + 0.05 + 0.05 + 0.15 +。+ 0.05 + 0.04 + 0.01) = 1解得。=0.10.（II）由頻率分布直方圖可知，這500名學(xué)生中日平均閱讀時間在（12.14, （14

17、,16, （16,18三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為500x0.10 = 50 人，500 x 0.08 = 40人，500 x 0.02 = 10A.40若采用分層抽樣的方法抽取了 10人，則從日平均閱讀時間在046內(nèi)的學(xué)生中抽取了 50+4（）工（）x 10 = 4人.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，則X的可能取值為0,1,2,3.華）督那;P(X =2)C,o 120 10*=3)=a=總得所以X的分布列為X0123P1 6_23 To130(III) k=4.（19）（本小題共15分）解：(I )由題意知,ff(x) = sinx+xcosx.因為xe(0,-) > 2所以所以f(x)在(0

18、,9上單調(diào)遞增.(H )設(shè) h(x) = /'(%),則力'(X)= 2cosx-xsinx.當(dāng) xe（5，兀）時，h'（x） <0 .所以人(x) = /(x)在(匕兀)內(nèi)單調(diào)遞減.2又因為/'(? = 1>0, f'(n) = n<0 »所以存在唯一兀），使得廣（聞）=0./（x）與f '（x）在區(qū)間（孑n）上的情況如下:A（展入0）小5, 71)r（x）+0所以/（X）在（巴，兀）內(nèi)/(x)/極大值有且只有一個極值點.（III）由（I ） （II）可知，/*）在（I/O）內(nèi)單調(diào)遞增，在（即江）內(nèi)單調(diào)遞減.又因為/

19、= sinl>0, /(兀)=0, 所以當(dāng)xe(l,2時，/(x) + l>l. 又因為當(dāng)xw(l,兀時,0<lnx<ln7t,所以&。）= 乎土當(dāng)且僅當(dāng)、=兀時等號成立.In a- In 兀所以g（x）在（1,n上的最小值為. Inn（20）（本小題共14分）解：（I）因為點A（20）, 8（0.1）都在橢圓河上，所以 a = 2，b = .所以c =一，=摳.所以橢圓用的離心率 = £=走.a 2（II ）方法一:由（I ）知橢圓用的方程為1+），2=1, C（ZO）.4由題意知：直線的方程為人=2），-2.設(shè)戶(.,%)( y尸。，*±

20、1)，。(2%-2,%), S(%,0).因為CP,Q三點共線，所以有。戶所以(/ - 2)yQ = yQ(2yQ - 4).15/ 14所以.% =4穌2%r0 + 2所以。（當(dāng)看因為用S,P三點共線， 所以L=&zl,即七=年F 玉>1 - ><) 所以S（4.0）.1 - >04y） + 2/- 4%所以直線QS的方程為x = -過-匚旦>1+臺，2比7。+2即、.=% 4 yo - 4x）y0 + 8y。- 4）+ >04 腎（1 一%）1 - y0又因為點P在橢圓M上，所以x； =4-4y02.所以直線QS的方程為入=2-2品7。_1）+

21、2. f所以直線QS過定點（2.1）.方法二：直線QS過定點7（2），理由如下：設(shè)直線6P為y = kX + l （ A】工0且K工±；）,宜線C尸為y =女式-2）（3工0且&2工±g）'所以直線與工軸的交點S（-3.0）.因為直線的方程為>' = 1a + 1,所以直線CP與直線的交點0（去三|,蕓？.所以直線TS的斜率% =天鼻，直線TQ的斜率勺° =+ ；.所以7_（：&+；）=4人I 1 乙*T中2十寸心尢）+區(qū)將），=Kx +1 代入方程%2 +4/ = 4 得（4V + 1）丁 + 8幻=0.所以點。的橫坐標(biāo)為則=一號二1.4k； + 1軟 J +1將點夕的坐標(biāo)代入直線CP的方程），= 0（'-2）,整理得1 + 2一+ 8k& + 甌% = 0.所以（1 + 2占）（1 - 2占+ 2k2 +軟人）=0.因為1 + 2女尸0,所以1-2&+2h+44/）=0. IB-I -所以即0 =0所以直線QS過定點7 （2,1）.（21）（本小題共14分）解：（I ） m = 2；答案不唯一 .如丁=6.（II ）不存在具有性質(zhì)PQ）的數(shù)列%,理由如下：假設(shè)存在具有性質(zhì)尸的數(shù)列，設(shè)為"，則? = 1.所以q+2=q+