球速和旋轉(zhuǎn)與籃球命中的關(guān)系v10

1、球速和旋轉(zhuǎn)與籃球命中的關(guān)系姓名學(xué)號系別班號E-mail電話張翀2015010138土木工程結(jié)51xixizhongy師超2015010152土木工程結(jié)51564738677、問題分析1.1 為什么提出這個問題：籃球運動中，在投籃時，人們較多關(guān)注出手時的方向和球的軌跡，對相關(guān)問題求解時也是簡單假設(shè)球只要落進籃筐的范圍內(nèi)就一定會進；然而事實情況中，一個球的軌跡即使落在籃筐的范圍內(nèi)也有很大的可能性以不同的方式彈出去，而我們就是要對球與籃筐接觸的這一極短過程進行研究，得出球速（矢量）和旋轉(zhuǎn)（矢量）對籃球命中的影響。1.2 如何研究這一問題(大體過程)

2、：我們打算先查閱資料，對籃球以及籃筐的各種力學(xué)參數(shù)有一些了解，再通過合理的模型假設(shè)，把實際問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐欢ɡ硐霔l件下的力學(xué)問題，最后再利用物理學(xué)知識和數(shù)學(xué)知識進行求解。在得到這一問題的不同情況的解之后，可以用它來對我們在籃球運動中投籃動作進行指導(dǎo)。二、模型假設(shè)為便于模型的建立和計算，在查閱資料后，我們對籃球命中籃筐的過程作出如下的假設(shè)：1、假設(shè)籃球是一個分布均勻的半徑R=0.12m，質(zhì)量m=0.6kg的實心球體。2、在此處的模型計算中，籃筐只需要考慮籃圈的部分，即是一個內(nèi)徑為d=0.45m，外徑d'=0.49m，高度h=2×10-2m的環(huán)柱形鐵圈。也就是說，任意一個籃圈的過軸線

3、的截面都是2×2 (cm)的正方形。3、籃球與籃筐的摩擦系數(shù)假，在碰撞時間足夠短的話，使用靜摩擦系數(shù)，經(jīng)過查閱資料，取鐵-皮制材料的靜摩擦系數(shù)=0.55.4、假設(shè)籃球飛行和碰撞時不受風(fēng)力影響，空氣阻力也忽略不計。5、我們針對籃球與籃筐碰撞的恢復(fù)系數(shù)做了簡單的實驗：利用籃球、鐵板和豎直的米尺，測量籃球與鐵板斜撞前后的法向速度變化。鐵板可以認為固定在地面上，籃球的速度使用高速攝影（1/100s）固定位置連續(xù)拍攝計算得出，為了保證速度計算精確，盡量使籃球不發(fā)生自轉(zhuǎn)。在控制籃球速度足夠快的情況下，可以認為籃球的射入與彈出都是勻速直線運動，測量多組數(shù)據(jù)取平均值如下：組數(shù)12345擊中位置/入射

4、區(qū)長度(cm)5245585350入射區(qū)捕捉數(shù)(n1)1513161716出射區(qū)捕捉數(shù)(n2)1820141820恢復(fù)系數(shù)e=v1v2=s2/n2s1/n10.770.800.820.840.80取平均值得到籃球與籃筐碰撞的恢復(fù)系數(shù)e=0.806.6、假設(shè)球和筐碰撞處是一個點，也就是球在碰撞過程中看作不發(fā)生形變；同時接觸面可以看作是球過切點的切面。三、模型建立3.1 碰撞位置與速度方向特殊，同時忽略旋轉(zhuǎn)忽略旋轉(zhuǎn)的影響，并且站在籃筐軸線正前方投球，這時候速度方向應(yīng)與籃筐截面平行、角速度方向與質(zhì)心速度垂直。3.1.1 一次反彈直接進球如圖所示為球與筐碰撞瞬間的水平視圖。P為籃筐上截面，O為球心，碰

5、撞位置假設(shè)為一點A，AO與水平面的夾角為；v為球的質(zhì)心速度，碰撞瞬間速度與水平面夾角為，根據(jù)實際在籃下投籃的情況，球的軌跡的最高點應(yīng)高于籃筐，大多數(shù)情況下>。我們還知道實際情況下籃球不能打在前筐上，因此還能確定一個的最小值。由于球在筐上方飛行速度極快，可以近似認為勻速直線運動，的假設(shè)的臨界值為0，通過作圖以及幾何關(guān)系可得R(1-sin)d-Rcos=Rl=tan0解得l=d-Rcos1-sin, 也就是>0=atg1-sin(d/R)-cos球的出手還伴隨著球的轉(zhuǎn)動，根據(jù)實際情況，籃球出手時從罰球隊員方向看球應(yīng)該是向下旋轉(zhuǎn)，在上圖中，球的角速度的方向為垂直于紙面向里。在空中自轉(zhuǎn)的籃

6、球為繞過球心的某一軸旋轉(zhuǎn)，可以得出球旋轉(zhuǎn)時的轉(zhuǎn)動慣量I=25mR2將速度v沿碰撞的面的法線以及垂直于法線分解，得到法向速度vn=vcos(-) 和切向速度vt=vsin(-).根據(jù)假設(shè)可知，碰撞后法向速度滿足vn'=evn=evcos(-)vn', vn方向相反，其中e=0.806是恢復(fù)系數(shù)。考慮碰撞時間極短，因此忽略重力的影響，沿法向根據(jù)動量定理有Nt=mv=mvn'-vn=m(1+e)vcos(-)其中N為碰撞瞬間籃筐對籃球的（沿徑向）的平均作用力，則切向平均靜摩擦力為f=N代入上式，得到ft=m1+evcos-在切線方向上，取切點也即碰撞點A, 取垂直于上圖紙面向

7、里為正，球?qū)的角動量為L=I+R×p=I+R×mvt根據(jù)切線方向動量定理，有ft=mvt'-mvt對于球心根據(jù)角動量定理，有f×Rt=I'-I對籃球表面A點速度，可知f與vt-×R方向相反，在實際投球時，如果速度方向平行于籃圈截面，因為忽略了角速度的大小對切向速度的影響，所以認為vt-×R的方向與vt方向相同，也就是f的方向與vt方向相反。根據(jù)上述公式，可知質(zhì)心的切向速度vt減小，球的旋轉(zhuǎn)角速度增加，由(1.4), (1.6)得到vt'=v(sin-1+ecos-)籃球接觸籃筐后反彈，假設(shè)反彈的籃球可以進筐得分，先考慮

8、最簡單的，也就是不經(jīng)過第二次反彈直接進入的情況。如右圖所示，籃球能剛好不接觸籃筐直接進球的條件是：當(dāng)球心在筐的中部平面上時，球的另一邊剛好接觸籃筐?？芍@球反彈后作斜拋運動，將速度vt', vn'水平豎直方向正交分解，有vy=vn'sin-vt'cosvx=vn'cos+vt'sin將式(1.1), (1.7)代入，也就是vy=vecos-sin-sin-cos+1+ecos-cosvx=vecos-cos+sin-sin-1+ecos-sin為了使球反彈，要求vx>0，而對于vy，當(dāng)vy0時可以認為球向下反彈進筐，在此便不作討論。臨界條件

9、下，斜拋運動的水平豎直方向位移為sxd-R1+cossy=Rsin+h 忽略空氣阻力，籃球受到的合外力加速度為g=9.80m/s2, 因此sx=vxt sy=-vyt+12gt2解得t=vy+vy2+2gsyg將(1.12), (1.13)代入(1.11)中，得到vx(vy+vy2+2gsy)g(d-R1+cos)取cos=4，解不等式并用角度制表示解集，同時結(jié)合式(1.1)，得到>0=5°30'. 又由于(1.10)，要求vx>0，也就是atg->10.6°, 即>55°36，發(fā)現(xiàn)當(dāng)v<1.98m/s（近似值）時，對于(55

10、°36,90°) 不等式一定成立。取v=1.98m/s，解得55°36<81°52'；取v=2m/s，解得55°36<80°35'；取v=3m/s，解得55°36<63°50'；取v=5m/s，解得55°36<58°23'；取v=7m/s，解得55°36<57°00'；取v=10m/s，解得55°36<56°17'.從上述數(shù)據(jù)中可以看出，當(dāng)罰球隊員站在籃筐正前方投籃，并且球

11、打筐的位置固定（cos=4）時，為了使球一次反彈后直接進球，當(dāng)球速越來越大，允許的球射入角度最大值就越小。由于籃筐的高度和罰球隊員出手的高度固定，球在飛行過程中由動能定理有mgH=12m(v02-v2)球打籃筐的速率只和出手的速率有關(guān)。也就是說，如果要以更快的速度投球并且命中，則需要罰球隊員站在更遠的位置出手；相反，當(dāng)罰球隊員站在更遠處投球時，就需要控制球的角度不能太高。這一結(jié)論符合實際情況。從上述數(shù)據(jù)中可以看出球速角度的范圍存在最小值=55°36，這是因為我們在此處假設(shè)的模型是讓球在一次反彈后進筐，如果<55°36，根據(jù)式(1.10)發(fā)生的將是球向正前方反彈，然后打

12、到籃板。至于打板后反彈會不會進筐，我們之后再作具體的討論。同時我們發(fā)現(xiàn)，只要球打筐的位置固定，并且球速足夠慢，即使球入射的角度再高，籃球都可以命中。我們定義在打點位置角度下，確保以最大的角度射入還能命中的最小球速為v，根據(jù)前面的結(jié)論有v45°1.98m/s然而實際情況下，投手投球往往只考慮球擊中的位置，相比球出手的速度方向（高手或低手）則更作為動作訓(xùn)練的一部分。那么如果同時改變打筐的位置呢？此時我們令v確定，改變的值，解不等式(1.10)，得到在不同下的v. 根據(jù)類似的計算可以得到v30°3.1m/s，v60°1.77m/s.不難看出，角度越大時，確保命中的最小球

13、速也相應(yīng)減小，結(jié)合上面的圖示可得，投球的打點越靠后（即越大），在大力投射時就越應(yīng)該控制速度的方向；相反如果投球打點靠前，就可以放心地使用較大速度投球。這就是為什么打板容易進，打板與籃圈連接的位置更容易彈回來。假如=0，也就是我們所說的空心球，計算解得v0，因為籃球幾乎不與籃圈發(fā)生相互作用，自然以極大的速度也不會反彈。3.1.2 二次以上反彈后進球由式(1.12)sx=vxt sy=-vyt+12gt2通過作圖可以看出，球反彈到前框并發(fā)生二次反彈的條件是存在某一時刻t0，滿足 (d-Rcos-sx)2+(Rsin-sy)2=(d-Rcos-vxt0)2+(Rsin+vyt0-12gt02)2=R

14、2 因為討論的速度始終在籃筐軸線的平面上，所以第二次反彈可以和第一次等效處理，對第二次反彈，建立3.1.1的模型，有1=arccosd-Rcos-vxt0R1=atgvy'vx'=atgvy-gt0vxv1=v'x2+v'y2=vx2+(vy-gt0)2為了使反彈進入筐內(nèi)，應(yīng)用式(1.11)及(1.14)得到這個不等式：式中的vx, vy, t0分別由(1.10)與(1.17)給出。由于不等式太長，已經(jīng)不能用一般的數(shù)學(xué)軟件給出解集。于是小組放棄了此處的計算。在情形3.1.2的討論中，我們用處理第一次反彈的方式對第n次反彈建立同樣的模型，關(guān)注籃球打筐時的三個重要的

15、參量：球的平動速度方向，球與籃筐碰撞的位置，球速v，總結(jié)得到第n次反彈和第n+1次反彈中三個參量的關(guān)系式，也就是(1.18)，進一步將n次反彈簡化成為第一次反彈的情況，然后通過3.1中的式(1.10), (1.11), (1.14)聯(lián)立這三個參量列出不等式，在式(1.1)的輔助下解不等式，便得到了與的關(guān)系。3.2 碰撞位置與速度方向特殊，角速度的方向在速度平面法線上在第一種情形中我們忽略了旋轉(zhuǎn)對籃球的影響。事實上，籃球的角速度影響了籃球與籃筐碰撞時的受力方向。根據(jù)3.1的論述：對籃球表面A點速度，可知f與vt-×R方向相反，在實際投球時，如果速度方向平行于籃圈截面，因為忽略了角速度的

16、大小對切向速度的影響，所以認為vt-×R的方向與vt方向相同對這種情形建立與3.1.1相同的模型，也就是速度方向應(yīng)與籃筐截面平行、角速度方向與質(zhì)心速度垂直。對角速度與切向速度的關(guān)系進行如下討論。3.2.1 如果vt-×R>0，則vt-×R的方向與vt的方向相同，f的方向與vt方向相反，這種情況與3.1.1討論的情況相同，結(jié)論可由3.1.1給出。3.2.2 當(dāng)vt-×R=0時，籃球在接觸面上沒有切向相對速度，因而切向靜摩擦力f的大小為0。根據(jù)式(1.6)，我們有vt'=vt，假設(shè)反彈后的速度為v'，在水平豎直方向上作與(3.1)相同的

17、正交分解為vx, vy，將其代入式(1.9)有vy=vecos-sin-sin-cosvx=vecos-cos+sin-sin將其代入式(1.14)，解不等式，取cos=4，用角度制表示解集，根據(jù)(1.1)，同樣有=5°30'. 又根據(jù)vx>0，也就是->-38°51', 即>6°9。當(dāng)v=1m/s時，解得6°9'<時不等式都成立，也就是只要不打前筐都能進球；當(dāng)v=2m/s時，解得6°9'<<27°45'或86°56'<<90&#

18、176;；當(dāng)v=3m/s時，解得6°9'<<15°27'；大概可以看出，投球的速度偏小時，進球允許的速度方向范圍分成兩個區(qū)間：低角度和高角度。這是因為沒有受到摩擦力的作用，又因為恢復(fù)系數(shù)已經(jīng)確定，反彈的速度大小也就確定。也就是說這種情況下反彈的過程相當(dāng)于固定速度大小的斜拋運動。根據(jù)物理學(xué)原理可知，斜拋運動的初速度方向角為45°時射程最遠，而為保證進球有水平位移的限制，因此角度范圍就分布在45°兩側(cè)。而且球速越大，這個區(qū)間就越遠離45°。得到的結(jié)論與事實相符。然而這個結(jié)論在現(xiàn)實生活中并沒有利用的價值。因為要使vt-&#

19、215;R=0，角速度就必須嚴格控制在確定的值，這個值還與球速有關(guān)。這種情況是不可能出現(xiàn)的。通過上式得到=vtR，如果按前面的假設(shè)v=2m/s來算，應(yīng)有=16.7s-12.65rs, 當(dāng)球速更快時，球也要轉(zhuǎn)得更快。似乎平時打球時很少能投出每秒3轉(zhuǎn)以上的球，因此大部分情況都應(yīng)該符合3.1的情形。但當(dāng)球旋轉(zhuǎn)得極快時，就要作為另一種情況3.2.3來討論。3.2.3 此時令vt-×R<0，也就是f的方向與vt方向相同。根據(jù)3.1的圖，摩擦力的作用是使切向速度加速，也就是vt'=v(sin-+1+ecos-)與式(1.8)只有一個符號的不同。將其代入式(1.9)，得到vy=vec

20、os-sin-sin-cos-1+ecos-cosvx=vecos-cos+sin-sin+1+ecos-sin與式(1.10)還是只有兩個符號不同。再一次代入式(1.14)，用同樣的方法cos=4解不等式，因為vx>0所以>-16°，這個結(jié)果可以無視。利用3.1情形取初速度的特殊值分別計算求得速度方向角度的范圍。計算原理與情形3.1中的(1.14)的解法完全相同。此處不列出詳細的計算結(jié)果了。解不等式得到的計算結(jié)果顯示，當(dāng)球旋轉(zhuǎn)的速度極快時，若球速度的方向角較小，球速快一些也能進球；當(dāng)較大的時候，要求球速不能太快，球速的區(qū)間呈不連續(xù)分布。這是因為根據(jù)斜拋運動初速度方向角越

21、接近45°時射程越遠，自然也就不容易進球，因而當(dāng)較小時，反彈后的合速度的這個'角在45°以內(nèi)，球速加快的同時切向速度也相應(yīng)增大，這就使得'也減小，總的射程增大幅度很小，允許的球速可以較大；如果很大，反彈后的'減小有可能接近45°，使得射程增加，這樣不容易進球；而且當(dāng)大到接近90°的時候，反彈后的速度方向幾乎就是45°，這樣很容易球就彈出去了。同時打點位置角也有很大的影響。如果打點靠后，反彈回來的速度就更高，球也就特別容易飛走。這也就解釋了在遠處投球（三分球）的時候，如果球向后高速旋轉(zhuǎn)，方向和角度又沒有偏離反而容易進球；而

22、站在籃筐下面低手拋球，旋轉(zhuǎn)的球打到筐沿很容易彈回來。前者是因為速度方向較水平，打點位置較靠后；后者球打到筐上時速度基本是豎直的，因為是拋球，球速較慢，旋轉(zhuǎn)也極快，打點又經(jīng)常打在鐵片上，當(dāng)然不容易進，這也是很多不熟練的選手在籃下拋投經(jīng)常不容易進的原因。3.3 碰撞位置與速度方向一般首先還是考慮比較簡單的忽略旋轉(zhuǎn)的模型。在這里我們建立新的模型。如圖為籃筐的俯視圖，上面的板是籃板，O'為籃筐面的圓心，籃圈的內(nèi)直徑為d=0.45m，P0就是3.1, 3.2情形下的速度平面P，但是這里討論一般情況，也就是球接觸籃筐的位置不確定，假設(shè)為A點，O'A與平面P0所成角為，平面P是在O'

23、A上的豎直平面，可知籃球的球心O在平面P上。球速v0為任意方向，如圖所示，可以將初速度v0沿平面P切向和法向正交分解，得到正交速度v與vz，它們的關(guān)系是vz=v0sinv=v0cosv再通過情形(3.1)分解為vt和vn，其中vz與vt成的夾角正切值為vzvt=tan.因為籃圈平面是中心對稱平面，取籃圈平面，逆時針旋轉(zhuǎn)角度，轉(zhuǎn)動前后是等效的，平面P到了與P0重合的位置。顯然，切向速度v在平面P上，也就是與籃筐截面平行。若忽略旋轉(zhuǎn)，這個情況和情形3.1的模型是一樣的，可以用相同的方法處理。根據(jù)情形3.1可知，平面P上的速度v碰撞后反彈速度v'依然在平面P上，水平豎直方向的分解速度vx與v

24、y大小可由式(1.10)得到。而對于速度vz，不考慮旋轉(zhuǎn)時，速度vz相當(dāng)于籃球碰撞在平面上的切向速度。在速度vz方向，根據(jù)動量定理，fzt=mvz'-mvzf的方向與vz相反，且對籃球受到的切面的摩擦力，有fz2+f2=f總2=(N)2根據(jù)前面的結(jié)論可知fzf=vzvt=tan由式(1.4)得到f總t=m1+evcos-也即ft=mv1+ecos-sinfzt=mv1+ecos-cos代入式(3.1)中，vz'=vz-v1+ecos-cos將式(3.5)代入式(1.6)中，得出vt'=v(sin-1+ecos-sin)再根據(jù)式(1.9)，我們得出了類似(1.10)的表達

25、式，即vy=v0cosecos-sin-sin-cos+1+ecos-cossinvx=v0cosecos-cos+sin-sin-1+ecos-sinsin根據(jù)情形(3.1)的正交分解方法以及式(1.11), (1.12)，作出籃球反彈的速度圖像，因為速度vz與vx正交，應(yīng)滿足d2-R2sz2+(sx+Rcos-d2)2sy=Rsin+h 其中sx=vxtsy=-vyt+12gt2sz=vz't 聯(lián)立式(3.6), (3.9)與式(3.10)得到不等式d2-R2vy+vy2+4gRsin+hgv0sin-v1+ecoscos2+vy+vy2+4gRsin+hgvx+Rcos-d22

26、其中=-再結(jié)合式(3.8)，得到關(guān)于參數(shù), , , v0的四元非線性不等式?？梢源_定其中某些變量的值解出剩余變量的取值范圍，進而通過數(shù)學(xué)分析求得為了進球這些參數(shù)應(yīng)該滿足的關(guān)系。同時也可以代入具體的數(shù)值判斷是否能進球。在這里由于數(shù)學(xué)水平有限以及工具的限制，并不能利用作圖或者計算軟件表示出來。至此這個模型的求解大概就到此為止。我們在模型3.1的基礎(chǔ)上引入了另一個參量用來表達任意速度方向，利用籃圈對稱性解決籃球打在籃圈表面任意一點的問題。這樣將一般情況轉(zhuǎn)化為情形(3.1)的特殊情況，然后結(jié)合前面的結(jié)論求解。然后再討論籃球有旋轉(zhuǎn)的情況。根據(jù)情形(3.2)的結(jié)論，假設(shè)籃球在接觸籃筐時有角速度，則角速度的

27、影響體現(xiàn)在摩擦力的方向上，而摩擦力的大小不變。假設(shè)角速度的方向任意，大小為，在接觸點上的線速度u0=×R，對線速度u0作類似v0的正交分解，再與vz和v合成為總相對速度v總，則摩擦力的方向與v總方向相反，但大小還是由式(1.3)可得，將摩擦力正交分解為v方向和vz方向，代入式(3.5)即可進一步得出表達式。在這種條件下，角速度的方向不確定，可能對結(jié)論造成很奇怪的影響。而現(xiàn)實生活中，投出去的球的旋轉(zhuǎn)不應(yīng)該是隨機的，所以討論這個情況的意義不大。四、總結(jié)4.1 建模過程總結(jié)評價我們解決這個問題的主要思想，就是建立合理的數(shù)學(xué)模型，通過物理分析和物理原理列出相關(guān)關(guān)系得出結(jié)論。我們對籃球打籃筐這一過程提出了數(shù)個可能的物理過程，建立了一些數(shù)學(xué)模型，最終選擇了這樣一個模型來表達籃球與籃筐接觸的過程：我們假設(shè)籃圈是圓筒形，并先從最簡單的情況入手，在情形(3.1)中我們假設(shè)速度方