隨機(jī)過(guò)程總復(fù)習(xí)

1、第一章復(fù)習(xí)內(nèi)容第一章復(fù)習(xí)內(nèi)容一、期望和方差一、期望和方差 1期望期望 設(shè)設(shè)離散型離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為 kkpxXP )(, 2 , 1 k則則)(XEkkkpx 1 設(shè)設(shè)連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為 ，)(xf則則)(XEdxxxf)( 函數(shù)期望函數(shù)期望 當(dāng)當(dāng) X為為離散型離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量則則 當(dāng)當(dāng)X為為連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，則則)(XgY )()(XgEYEkkkpxg)(1 )()(XgEYEdxxfxg)()( 2.方差方差 計(jì)算方差時(shí)通常用下列關(guān)系式：計(jì)算方差時(shí)通常用下列關(guān)系式： 稱(chēng)隨機(jī)變量稱(chēng)隨機(jī)變量 的期望的期望為為X

2、的方差，即的方差，即 2)(XEX )()var(XDX )(2XEXE )()var(XDX 22)(XEXE 3性質(zhì)性質(zhì)（1）（2） （3 3） 若若X X和和Y Y相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則CCE )(0)( CD)()(XCECXE )()(2XDCCXD niiniiXEXE11)()()()()(YEXEXYE 計(jì)算協(xié)方差時(shí)通常用下列關(guān)系式：計(jì)算協(xié)方差時(shí)通常用下列關(guān)系式： 二、協(xié)方差二、協(xié)方差 ),(CovYX)()(YEYXEXE ),(CovYX)()()(YEXEXYE 三、矩母函數(shù)三、矩母函數(shù) 1定義定義 為為X的矩母函數(shù)的矩母函數(shù)2原點(diǎn)矩原點(diǎn)矩的求法的求法 稱(chēng)稱(chēng) 的數(shù)學(xué)期望

3、的數(shù)學(xué)期望 tXe)(tXeEt 利用矩母函數(shù)可求得利用矩母函數(shù)可求得X的各階矩，即對(duì)的各階矩，即對(duì) 逐次求導(dǎo)并計(jì)算在逐次求導(dǎo)并計(jì)算在 點(diǎn)的值：點(diǎn)的值： )(t 0 t)(tXXeEt )()tXnneXEt （ )0()nnXE （ 3和的矩母函數(shù)和的矩母函數(shù) 定理定理1 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 的的矩母函數(shù)分別為矩母函數(shù)分別為 ， ， ， rXXX，21)(1t )(2t )(tr 則其和則其和 的矩母函數(shù)為的矩母函數(shù)為 rXXXY 21 )(tY )(1t )(2t )(tr n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和和的矩母函數(shù)等于它的矩母函數(shù)等于它們的矩母函數(shù)

4、之們的矩母函數(shù)之積積. 四、特征函數(shù)四、特征函數(shù) 特征函數(shù)特征函數(shù) 設(shè)設(shè)X為隨機(jī)變量，稱(chēng)復(fù)隨機(jī)變量為隨機(jī)變量，稱(chēng)復(fù)隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望itXe )(tX itXeE為為X的特征函數(shù)，其中的特征函數(shù)，其中t是實(shí)數(shù)。是實(shí)數(shù)。 還可寫(xiě)成還可寫(xiě)成 )(tX sincostXiEtXE 特征函數(shù)與分布函數(shù)相互唯一確定。特征函數(shù)與分布函數(shù)相互唯一確定。性質(zhì)性質(zhì)則和則和 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 的的 特征函數(shù)分別為特征函數(shù)分別為 ， ， rXXX，21)(1t )(2t )(tr rXXXY 21的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為 )(tY )(1t )(2t )(tr n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)

5、變量之個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和和的特征函數(shù)等于它的特征函數(shù)等于它們的特征函數(shù)之們的特征函數(shù)之積積.練習(xí)練習(xí):設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 其它其它02021)(xxxp試求試求X的矩母函數(shù)。的矩母函數(shù)。解：解： 2021)(xdxeeEttxtX 022120 dxexettxtx222222)12()1(1221teteetettttt 練習(xí)練習(xí) 解解 由于由于 所以所以 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布，的泊松分布，求求X的特征函數(shù)。的特征函數(shù)。 ekkXPk?。?)(tX ekekkitk！0！keekitk)(0 iteee )1( i

6、tee 練習(xí)練習(xí) 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從服從0，2上的均勻分布，上的均勻分布，求求X的特征函數(shù)。的特征函數(shù)。 解解 X的概率密度為的概率密度為 所以所以 其它其它02021)(xxfdxetitxX21)(20 iteit212 .)(,)(:)()()(),()()(X0),(0),(N2121212121過(guò)過(guò)程程不不是是而而過(guò)過(guò)程程的的是是具具有有參參數(shù)數(shù)為為證證明明過(guò)過(guò)程程，令令的的獨(dú)獨(dú)立立的的，分分別別是是參參數(shù)數(shù)為為和和設(shè)設(shè)PoissontYPoissontXtNtNtYtNtNtPoissonttNtt 練習(xí)練習(xí)的的矩矩母母函函數(shù)數(shù)為為過(guò)過(guò)程程的的參參數(shù)數(shù)為為)(tNPoiss

7、on )1(0!)(uetkkutektee 0)(N!)()()(ktkkutuXekteeEu 的的矩矩母母函函數(shù)數(shù)為為則則)(tX)1()(exp)()()(212121uNNNNetuuu .)(21過(guò)過(guò)程程的的是是具具有有參參數(shù)數(shù)為為即即PoissontX 解解:的的矩矩母母函函數(shù)數(shù)為為因因此此)(tY)()()(2121tNtNuNNeEu .)(過(guò)程過(guò)程不是不是即即PoissontY0)(N!)()()(ktkkutuXekteeEu )1(0!)(uetkkutektee )()(21uuNN )()(21tuNtuNeEeE tteteuu)(exp2121 推廣推廣.Poi

8、sson0),() t (), 2 , 1(Poissonn), 2 , 1(0),(N11ii niiniittNninitt過(guò)過(guò)程程，參參數(shù)數(shù)為為是是證證明明參參數(shù)數(shù)分分別別為為過(guò)過(guò)程程，個(gè)個(gè)相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的是是設(shè)設(shè)條件分布函數(shù)與條件期望條件分布函數(shù)與條件期望 離散型離散型 若若 ，則稱(chēng)，則稱(chēng) 0)jyYP （jijjjijippyYPyYxXPyYxXP ),)|（為在條件為在條件 下，隨機(jī)變量下，隨機(jī)變量Y的條件分布律。的條件分布律。 ixX 為在條件為在條件 下，隨機(jī)變量下，隨機(jī)變量X的條件分布律的條件分布律 。jyY iijijiijppxXPyYxXPxXyYP),)|（同樣

9、同樣1、條件分布函數(shù)的定義、條件分布函數(shù)的定義 連續(xù)型連續(xù)型 同樣同樣)(),()|(yfyxfyxfY 稱(chēng)為在條件稱(chēng)為在條件 下，隨機(jī)變量下，隨機(jī)變量X的條件分布律的條件分布律 。yY )(),()|(xfyxfxyfX 稱(chēng)為在條件稱(chēng)為在條件 下，隨機(jī)變量下，隨機(jī)變量Y的條件分布律。的條件分布律。 xX 注意：分母不等于注意：分母不等于02、條件期望的定義、條件期望的定義 離散型離散型 其中其中連續(xù)型連續(xù)型 )|(jyYXE )|(1jiiiyYxXPx )(),()|(jjijiyYPyYxXPyYxXP )|(yYXE dxyxfx)|( 其中其中)|(yxf條件概率密度條件概率密度 3

10、、全數(shù)學(xué)期望公式、全數(shù)學(xué)期望公式 定理定理 對(duì)一切隨機(jī)變量對(duì)一切隨機(jī)變量X和和Y，有有 連續(xù)型連續(xù)型 )|(YXE是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量Y的函數(shù)，當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，當(dāng) 時(shí)取值時(shí)取值因而它也是隨機(jī)變量。因而它也是隨機(jī)變量。 yY )|(yYXE 離散型離散型 )|(YXEE )(XE)()|()(1jjjyYPyYXEXE dyyfyYXEXEY)()|()( 設(shè)二維隨機(jī)向量（設(shè)二維隨機(jī)向量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為）的聯(lián)合概率密度為 其它其它010),(xyeyxfx.,)4;)3);()2);(),()1的獨(dú)立性的獨(dú)立性討論討論求求YXXYExyfyfxfXYYX解：解： xxXdyedyyxfxf0

11、),()(10, xxex 1),()(yxYdxedxyxfyf10,1 yeey練習(xí)練習(xí): 其它其它0101)(),()()2xyxxfyxfxyfXXYXY)1 , 0(2 XXXYE.2,x均均值值為為中中點(diǎn)點(diǎn)條條件件分分布布是是均均勻勻分分布布dyxyfyxXYExXY)(,10)3 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)210 xdyxyx .,)()(),()4不獨(dú)立不獨(dú)立所以所以YXyfxfyxfYXXY 練習(xí)練習(xí): :對(duì)于隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量X和和Y，滿(mǎn)足條件，滿(mǎn)足條件則有則有,10)(, 2)( YEXE )(YXEE2練習(xí)練習(xí): :若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立，滿(mǎn)足條件，滿(mǎn)足條件,10

12、)(, 2)( YEXE則有則有 YXE2 )(YXEE2 一礦工困在礦井中，要到達(dá)安全地帶，有三個(gè)一礦工困在礦井中，要到達(dá)安全地帶，有三個(gè)通道可選擇，他從第一個(gè)通道出去要走通道可選擇，他從第一個(gè)通道出去要走1個(gè)小時(shí)可個(gè)小時(shí)可到達(dá)安全地帶，從第二個(gè)通道出去要走到達(dá)安全地帶，從第二個(gè)通道出去要走2個(gè)小時(shí)又個(gè)小時(shí)又返回原處，從第三個(gè)通道出去要走返回原處，從第三個(gè)通道出去要走3個(gè)小時(shí)也返回個(gè)小時(shí)也返回原處。設(shè)任一時(shí)刻都等可能地選中其中一個(gè)通道，原處。設(shè)任一時(shí)刻都等可能地選中其中一個(gè)通道，試問(wèn)他到達(dá)安全地點(diǎn)平均要花多長(zhǎng)時(shí)間。試問(wèn)他到達(dá)安全地點(diǎn)平均要花多長(zhǎng)時(shí)間。 練習(xí)練習(xí) 解解 設(shè)設(shè)X表示礦工到達(dá)安全地

13、點(diǎn)所需時(shí)間，表示礦工到達(dá)安全地點(diǎn)所需時(shí)間，Y 表示表示他選定的通道，則他選定的通道，則 )( XE)|(YXEE)1()1|( YPYXE) 2() 2|( YPYXE) 3() 3|( YPYXE)3()2(131EXEX 6)( XE所以所以 .,)(,)1(:saXXEX 則則可測(cè)可測(cè)是關(guān)于是關(guān)于若若結(jié)論結(jié)論 .,)2(saXEXEX 則則相互獨(dú)立相互獨(dú)立與與若若代數(shù)，代數(shù)，為子為子 EXYYXYX)3(XY 則則可測(cè)，可測(cè)，為為的期望存在，且的期望存在，且及及設(shè)設(shè)這幾個(gè)結(jié)論在鞅過(guò)程中反復(fù)用。這幾個(gè)結(jié)論在鞅過(guò)程中反復(fù)用。 先對(duì)一個(gè)適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量取條件先對(duì)一個(gè)適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量取條件,不僅使我

14、們不僅使我們能求得期望能求得期望,也可以用這種方法計(jì)算概率也可以用這種方法計(jì)算概率.以以A記一個(gè)任意的事件且定義示性隨機(jī)變量記一個(gè)任意的事件且定義示性隨機(jī)變量X為為 不發(fā)生不發(fā)生如果如果發(fā)生發(fā)生如果如果AAX,01從從X的定義得到的定義得到 )(APXE .),(YyYAPyYXE對(duì)任意的隨機(jī)變量對(duì)任意的隨機(jī)變量 因此因此,我們得到我們得到)()()(ydFyYAPAPY )()()(ydFyYAPAPY dyyfyYXEXEY)()|()( dyyfyYAPAPY)()()(全期望公式全期望公式全概率公式全概率公式)()|()(1jjjyYPyYXEXE ）（iniiBPBAPAP 1)|)

15、(獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布)()(),(,21212121xXXPxFxFXXXFFXXXX則則有有其其分分布布函函數(shù)數(shù)為為令令函函數(shù)數(shù)分分別別為為它它們們的的分分布布相相互互獨(dú)獨(dú)立立設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量)()(1121tdFtXxXXP)()(12tdFtxF)(,)()(xFFFFtdFtxF212112 記記為為的的卷卷積積稱(chēng)稱(chēng)作作其其中中 一般地，對(duì)一般地，對(duì)有界函數(shù)有界函數(shù)G(x)和單調(diào)函數(shù)和單調(diào)函數(shù)F(x)，都，都可以定義可以定義F與與G的卷積。的卷積。 )()()(tdFtxGxGF注意：注意：G*F可能沒(méi)有意義。但當(dāng)可能沒(méi)有意義。但當(dāng)F和和G都是分布函都是分布函

16、數(shù)時(shí)，滿(mǎn)足交換率，還滿(mǎn)足結(jié)合率和分配率。數(shù)時(shí)，滿(mǎn)足交換率，還滿(mǎn)足結(jié)合率和分配率。)()()()()()()()(xHFxGFxHGFxHGFxHGFxFGxGF 重要公式重要公式2121021110,),()(,),(,),( nxFFxFFSnXSSFnkXnnnknnknk則則有有的的分分布布記記作作令令的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量，是是獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布與與設(shè)設(shè)重卷積。重卷積。的的為為稱(chēng)稱(chēng)nFFn 01000 xxxF,)(其中其中第二章復(fù)習(xí)內(nèi)容第二章復(fù)習(xí)內(nèi)容隨機(jī)過(guò)程的分類(lèi)隨機(jī)過(guò)程的分類(lèi)T離散、離散、I離散離散T離散、離散、I連續(xù)連續(xù)參數(shù)參數(shù)T狀態(tài)狀態(tài)I分類(lèi)分類(lèi)T連續(xù)連續(xù) 、I離散離散T連續(xù)連

17、續(xù) 、I連續(xù)連續(xù) Poisson過(guò)程是參數(shù)過(guò)程是參數(shù) 狀態(tài)狀態(tài) 的隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)過(guò)程.Brown運(yùn)動(dòng)是參數(shù)運(yùn)動(dòng)是參數(shù) 狀態(tài)狀態(tài) 的隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)過(guò)程.離散離散連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)問(wèn)問(wèn):Markov過(guò)程和鞅過(guò)程呢？過(guò)程和鞅過(guò)程呢？ （不特定，四種都有）（不特定，四種都有）練習(xí)練習(xí) 袋中放有一個(gè)白球，兩個(gè)紅球，每隔袋中放有一個(gè)白球，兩個(gè)紅球，每隔單位時(shí)間從袋中任取一球，取后放回，對(duì)單位時(shí)間從袋中任取一球，取后放回，對(duì)每一個(gè)確定的每一個(gè)確定的t對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量試求這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)族。試求這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)族。分析分析先求先求 的概率分布的概率分布)(tX所以所以解解3t

18、te)(tX3231P ttexexttx11113,323,0，)(tXE31323tet隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征 2方差函數(shù)方差函數(shù))()()(2ttXEtXDX )()(tXEtX 1均值函數(shù)均值函數(shù) 3協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù))()(22ttXEX 注注 4自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù))()(),(),(212121ttttRttXX 注注Poisson過(guò)程及過(guò)程及Brown運(yùn)動(dòng)的自相關(guān)函數(shù)及協(xié)方差運(yùn)動(dòng)的自相關(guān)函數(shù)及協(xié)方差函數(shù)等。函數(shù)等。 5互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù) 6互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)練習(xí)練習(xí)解解求求:(1)均值函數(shù)均值函數(shù);(2)協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù);(3)方差函數(shù)。方差函數(shù)。（

19、1）)(tX 2cos)(tUEtXE 2cosUtE t2cos2 （2）),(21tt )()()()(2211ttXttXEXX 2cos)2(2cos)2(21tUtUE )2(2cos2cos221 UEtt2cos2cos21UDtt 212cos2cos4tt （3）練習(xí)練習(xí).)(), 0(, 0,)(數(shù)數(shù)的的均均值值函函數(shù)數(shù)和和自自相相關(guān)關(guān)函函試試求求其其中中設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)過(guò)過(guò)程程tXaUAtetXAt 解解:)()()(AtXeEtXEt dxaeatx 01)1(1ateat dxaeeeEattxAtAt1)(0)(2121 )()(21tXtXE ),(21ttRX)1(

20、)(1)(2121ttaetta 練習(xí)練習(xí)解解試求它們的互協(xié)方差函數(shù)。試求它們的互協(xié)方差函數(shù)。)(UtEtX UtE )(2UtEtY 2UEt ),(21ttXY )()()()(22211UEttYUEttXE )(2221UEUEtt )(221UDtt 2213 tt 所以所以1.嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程定義定義1則則 稱(chēng)為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程稱(chēng)為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程)(tX若對(duì)任意的若對(duì)任意的Ttttn ,21，和任意的和任意的)(Tti 使使得得記記為為具具有有相相同同的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布 , )(,),(1 ntXtX)(,),(1ntXtXd與與)(,),(1 ntXtX)(,),(1ntXtX嚴(yán)平穩(wěn)

21、過(guò)程的有限維分布關(guān)于時(shí)間是平移不變的嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的有限維分布關(guān)于時(shí)間是平移不變的.2.寬平穩(wěn)過(guò)程寬平穩(wěn)過(guò)程定義定義2如果它滿(mǎn)足：如果它滿(mǎn)足： )()(tXEtX則稱(chēng)則稱(chēng) 為寬平穩(wěn)過(guò)程，為寬平穩(wěn)過(guò)程，)(tX簡(jiǎn)稱(chēng)平穩(wěn)過(guò)程簡(jiǎn)稱(chēng)平穩(wěn)過(guò)程因?yàn)橐驗(yàn)榫岛瘮?shù)均值函數(shù) )(tX2)( B)( 注注:(3)可等價(jià)描述為可等價(jià)描述為:.),(2121有有關(guān)關(guān)僅僅與與自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)ttttR 注注2注注1 嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程不一定是寬平穩(wěn)過(guò)程。嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程不一定是寬平穩(wěn)過(guò)程。因?yàn)閲?yán)平穩(wěn)過(guò)程不一定是二階矩過(guò)程。因?yàn)閲?yán)平穩(wěn)過(guò)程不一定是二階矩過(guò)程。若嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程存在二階矩，則它一定是寬平穩(wěn)過(guò)程。若嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程存在二階矩，則它一定

22、是寬平穩(wěn)過(guò)程。寬平穩(wěn)過(guò)程也不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。寬平穩(wěn)過(guò)程也不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。因?yàn)閷捚椒€(wěn)過(guò)程只保證一階矩和二階矩不隨時(shí)間因?yàn)閷捚椒€(wěn)過(guò)程只保證一階矩和二階矩不隨時(shí)間推移而改變，這當(dāng)然不能保證其有窮維分布不隨推移而改變，這當(dāng)然不能保證其有窮維分布不隨時(shí)間而推移。時(shí)間而推移。)0(| )(|BB )()( BB )0(| )(| )()( ,)(為為偶偶函函數(shù)數(shù) 練習(xí)練習(xí);, 2 , 1),(,)2 , 0(,cos)(是是寬寬平平穩(wěn)穩(wěn)序序列列證證明明的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量上上的的均均勻勻分分布布是是服服從從這這里里設(shè)設(shè) ttXUUttX 0cos21)(20 utdutXE ),( st usduu

23、tcoscos2120 Nststst ,021當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)解解:.,有有關(guān)關(guān)協(xié)協(xié)方方差差僅僅與與均均值值為為常常數(shù)數(shù)st )cos()cos(21coscosbababa UttXsin)( )cos()cos(21sinsinbababa 的隨機(jī)變量序列的隨機(jī)變量序列,)()(0nXiYin 則則令令練習(xí)練習(xí)獨(dú)立增量過(guò)程獨(dú)立增量過(guò)程 重要結(jié)論重要結(jié)論:Poisson 過(guò)程和過(guò)程和Brown運(yùn)動(dòng)都是獨(dú)立平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)都是獨(dú)立平穩(wěn)增量過(guò)程增量過(guò)程.它們本身都不是平穩(wěn)過(guò)程它們本身都不是平穩(wěn)過(guò)程.問(wèn)：?jiǎn)枺篜oissin過(guò)程（或更新過(guò)程）中，事件發(fā)生（更新）過(guò)程（或更新過(guò)程）中，事件發(fā)生（更新）的時(shí)刻是不是

24、獨(dú)立增量過(guò)程？的時(shí)刻是不是獨(dú)立增量過(guò)程？nT定義定義3.1.1:,0)(,0),(以以下下兩兩個(gè)個(gè)特特點(diǎn)點(diǎn)它它具具備備發(fā)發(fā)生生的的次次數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)刻刻某某一一特特定定事事件件到到滿(mǎn)滿(mǎn)足足如如果果稱(chēng)稱(chēng)為為計(jì)計(jì)數(shù)數(shù)過(guò)過(guò)程程隨隨機(jī)機(jī)過(guò)過(guò)程程AttNttN .,()()()()(,)2(;0)()1(發(fā)發(fā)生生的的次次數(shù)數(shù)事事件件時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)表表示示且且時(shí)時(shí)且且取取值值為為整整數(shù)數(shù)AtssNtNtNsNtstN 第三章復(fù)習(xí)內(nèi)容第三章復(fù)習(xí)內(nèi)容定義定義3.1.2, 2 , 1 , 0,!)()()(, 0, 0,)3(;)2(;0)0()1(,)0(0),( nntensNstNPtspoissonttNpoi

25、ssonttNnt 有有即即對(duì)對(duì)一一切切發(fā)發(fā)布布的的次次數(shù)數(shù)服服從從均均值值為為的的的的時(shí)時(shí)間間區(qū)區(qū)間間中中事事件件發(fā)發(fā)生生在在任任一一長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為過(guò)過(guò)程程有有獨(dú)獨(dú)立立增增量量如如果果過(guò)過(guò)程程的的稱(chēng)稱(chēng)為為參參數(shù)數(shù)為為計(jì)計(jì)數(shù)數(shù)過(guò)過(guò)程程)(2)()(,0)4()(1)()(,0, 0)3(;)2(;0)0()1(,0),(hotNhtNPhhohtNhtNPhNttN 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)存存在在過(guò)過(guò)程程有有平平穩(wěn)穩(wěn)獨(dú)獨(dú)立立增增量量它它滿(mǎn)滿(mǎn)足足是是一一個(gè)個(gè)計(jì)計(jì)數(shù)數(shù)過(guò)過(guò)程程設(shè)設(shè) 定義定義3.1.2的等價(jià)定義的等價(jià)定義 :)(0),(分分別別為為協(xié)協(xié)方方差差函函數(shù)數(shù)和和方方差差函函數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的

26、均均值值過(guò)過(guò)程程，的的是是參參數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)、tNPoissonttN 0,),min(),( tststs ttNE )(顯見(jiàn)顯見(jiàn)Poisson過(guò)程本身不是平穩(wěn)過(guò)程，其增量是過(guò)程本身不是平穩(wěn)過(guò)程，其增量是平穩(wěn)過(guò)程。平穩(wěn)過(guò)程。ttND )(0,),min(),(2tstssttsRN ttXEtX )()(ttX )(var, 0 ts對(duì)對(duì) )()()()()()(),(tXtXsXtXEsXtXEstRX )()()()(2tXEtXsXtXE )()()()(2tXEtXsXEtXE )1()()(2 sttttst tststsXEtXEsXtXEstX )1()()()()(),(0,)

27、,min(),( tststs . 3)4(1)1()3(;3)4(, 1)1()2(;1)2()1(,2)0),( NNPNNPNPPoissonttX試求試求過(guò)程過(guò)程的的為強(qiáng)度為為強(qiáng)度為設(shè)設(shè) 解解:1)2(0)2(1)2()1( NPNPNP414045! 14! 04 eee2)1()4(1)1(3)4(, 1)1()2( NNPNPNNP8261236! 26! 12 eee 3)4(1)1()3(NNP3)4(/ 3)4(, 1)1( NPNNP)! 38/(36838 ee練習(xí)練習(xí): 1)()(,)0()0),(tXhtXPPoissonttX則則過(guò)程過(guò)程的的為強(qiáng)度為為強(qiáng)度為設(shè)設(shè)

28、hhe 函函數(shù)數(shù)為為的的概概率率密密度度則則對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的時(shí)時(shí)間間間間隔隔序序列列是是過(guò)過(guò)程程的的為為強(qiáng)強(qiáng)度度為為設(shè)設(shè)), 2 , 1(,)0()0),( nXXPoissonttXnnte 22t設(shè)設(shè)N(t)是參數(shù)為是參數(shù)為 的的Poisson過(guò)程過(guò)程,事件發(fā)生時(shí)刻事件發(fā)生時(shí)刻 在已知在已知N(t)=2的條件下的聯(lián)合概率密度為的條件下的聯(lián)合概率密度為_(kāi).2W,1W練習(xí)練習(xí):.,的的指指數(shù)數(shù)分分布布參參數(shù)數(shù)為為服服從從間間各各次次事事件件發(fā)發(fā)生生的的間間隔隔時(shí)時(shí)過(guò)過(guò)中中 nXPoisson.,分分布布的的和和參參數(shù)數(shù)為為服服從從次次事事件件發(fā)發(fā)生生時(shí)時(shí)刻刻第第過(guò)過(guò)中中 nTnPoissonn重要

29、結(jié)論重要結(jié)論nnnnttttntttfTTTntN 2121210!),(,)(聯(lián)聯(lián)合合分分布布密密度度為為的的事事件件發(fā)發(fā)生生時(shí)時(shí)刻刻的的條條件件下下在在已已知知例例2：一理發(fā)師在一理發(fā)師在t=0時(shí)開(kāi)門(mén)營(yíng)業(yè)時(shí)開(kāi)門(mén)營(yíng)業(yè),設(shè)顧客按強(qiáng)度為設(shè)顧客按強(qiáng)度為的泊松過(guò)程到達(dá)的泊松過(guò)程到達(dá).若每個(gè)顧客理發(fā)需要若每個(gè)顧客理發(fā)需要a分鐘分鐘,a是正是正常數(shù)常數(shù) . 求第二個(gè)顧客到達(dá)后不需等待就馬上理發(fā)的求第二個(gè)顧客到達(dá)后不需等待就馬上理發(fā)的概率及到達(dá)后等待時(shí)間概率及到達(dá)后等待時(shí)間S的平均值的平均值 .解：解：設(shè)第一個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)間為設(shè)第一個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)間為T(mén)1，第二個(gè)顧客的，第二個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)間為到達(dá)時(shí)間為T(mén)2

30、。令。令X2= T2 - T1，則第二個(gè)顧客到達(dá)，則第二個(gè)顧客到達(dá)后不需等待等價(jià)于后不需等待等價(jià)于 X2a。由定理知由定理知X2服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，故的指數(shù)分布，故 atdteaXP 2 aatee 等待時(shí)間等待時(shí)間所所以以平平均均等等待待時(shí)時(shí)間間為為 aXaXXaS2220)1(1)(0aaxeadxexaES .25,5 . 25,10次次的的概概率率在在使使用用期期限限內(nèi)內(nèi)維維修修過(guò)過(guò)兩兩試試求求它它年年需需維維修修一一次次年年內(nèi)內(nèi)平平均均后后需需要要維維修修一一次次年年年年內(nèi)內(nèi)它它平平均均在在前前年年設(shè)設(shè)某某設(shè)設(shè)備備的的使使用用期期限限為為解解:強(qiáng)度函數(shù)為強(qiáng)度函數(shù)為過(guò)程過(guò)

31、程此為非齊次此為非齊次,Poisson 105,2150,5 . 21)(ttt5 . 4215 . 21)()10(50105100 dtdtdttm! 2)5 . 4(2)0()10(25 . 4 eNNP沒(méi)被維修過(guò)的概率沒(méi)被維修過(guò)的概率5 . 405 . 4! 0)5 . 4(0)0()10( eeNNP練習(xí)練習(xí):維修過(guò)一次的概率維修過(guò)一次的概率 000)(yyaeyfayY )(1)(tNiiYtX考慮一特定保險(xiǎn)公司的全部賠償，設(shè)在考慮一特定保險(xiǎn)公司的全部賠償，設(shè)在0,t 內(nèi)投保內(nèi)投保死亡的人數(shù)死亡的人數(shù)N(t)是發(fā)生率為是發(fā)生率為 的泊松過(guò)程。設(shè)的泊松過(guò)程。設(shè) 是是第第n個(gè)投保人的賠

32、償價(jià)值，個(gè)投保人的賠償價(jià)值， 獨(dú)立同分布。獨(dú)立同分布。nY nY表示表示0,t 內(nèi)保險(xiǎn)公司必須付出的內(nèi)保險(xiǎn)公司必須付出的全部賠償。全部賠償。).(),(tVarXtEX試求試求練習(xí)練習(xí):解：解：它它的的數(shù)數(shù)字字特特征征為為是是復(fù)復(fù)合合泊泊松松過(guò)過(guò)程程 ,)(tX)(,)(2YEttXVarEYttXE .的的指指數(shù)數(shù)分分布布顯顯然然服服從從參參數(shù)數(shù)為為 aYn2221,1EYYEaVarYaEY 222aYE 2222)(,1)(atattXVaratattXE 第四章復(fù)習(xí)內(nèi)容第四章復(fù)習(xí)內(nèi)容Poisson 過(guò)程是更新過(guò)程過(guò)程是更新過(guò)程.是事件發(fā)生的時(shí)是事件發(fā)生的時(shí)間間隔為獨(dú)立同指數(shù)分布的更新過(guò)

33、程間間隔為獨(dú)立同指數(shù)分布的更新過(guò)程.更新過(guò)程的參數(shù)可以為離散的更新過(guò)程的參數(shù)可以為離散的,也可以為也可以為連續(xù)的連續(xù)的.但狀態(tài)是離散的但狀態(tài)是離散的.它是計(jì)數(shù)過(guò)程它是計(jì)數(shù)過(guò)程.)()()(1tFtFntNPnn 1)()()(nntFtNEtM1)()()(1tTtTntNntNntNnn 111niiniitXtX更新函數(shù)更新函數(shù)更新密度更新密度 1)()(nntftm卷積的定義卷積的定義 )()()(*tdFtxGxGF練習(xí)練習(xí):判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確tTntNn )()1(tTntNn )()2(tTntNn )()3(tTntNn )()4( )( )( )( )(

34、( ) )( )( )ntNtTtTntNnn )()(tTntNntNtTnn )()( ?,), 2(, 2 , 1,服服從從什什么么分分布布則則更更新新發(fā)發(fā)生生的的時(shí)時(shí)刻刻分分布布的的服服從從參參數(shù)數(shù)為為更更新新過(guò)過(guò)程程的的來(lái)來(lái)到到間間隔隔niTiX ),2( nTn更新方程更新方程更新方程的唯一更新方程的唯一有界的解有界的解 tsdFstKtHtK0)()()()( tsdMstHtHtK0)()()()( 1)()(nntFtM其中其中已知已知其中其中)(),(tFtH三個(gè)更新定理三個(gè)更新定理nXEu )(1)()1( tuttM)()()(,0,)2( tuatMatMaF時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)

35、非格點(diǎn)分布非格點(diǎn)分布若若第五章復(fù)習(xí)內(nèi)容第五章復(fù)習(xí)內(nèi)容馬爾可夫性即無(wú)后效性馬爾可夫性即無(wú)后效性.nnSknkjmiknmijPPpppSjimnKC )()()()()2(1, 0,）（有有對(duì)一切對(duì)一切方程方程狀態(tài)的分類(lèi)及性質(zhì)是重點(diǎn)狀態(tài)的分類(lèi)及性質(zhì)是重點(diǎn)互通互通,類(lèi)類(lèi),不可約不可約,周期等概念周期等概念.狀態(tài)狀態(tài)i非常返非常返常返常返正常返正常返零常返零常返1 iif1 iif iu iu 1)(nniiiiff 1)(nniiinfu.,的概率的概率有限步內(nèi)可以到達(dá)有限步內(nèi)可以到達(dá)出發(fā)出發(fā)表示從表示從iifii.所所需需的的平平均均步步數(shù)數(shù)出出發(fā)發(fā)再再返返回回到到表表示示由由iiui 0)(n

36、niipi為為常常返返狀狀態(tài)態(tài)0lim11)(0)( niiniinniipfpi此時(shí)此時(shí)為非常返為非常返狀態(tài)狀態(tài)1., 1,.,)1( iiiufii此時(shí)此時(shí)則為吸收態(tài)則為吸收態(tài)且且遍歷遍歷狀態(tài)狀態(tài)則為遍歷則為遍歷且非周期且非周期正常返正常返狀態(tài)狀態(tài)0lim,)1()( nijnpSij有有則則對(duì)對(duì)為為非非常常返返或或零零常常返返若若狀狀態(tài)態(tài)jndijnudpSijidj )(lim,)2(有有則則對(duì)對(duì)為為正正常常返返且且周周期期為為若若狀狀態(tài)態(tài)平穩(wěn)分布與極限分布平穩(wěn)分布與極限分布(重點(diǎn)重點(diǎn))jjnijnup1lim,)( 對(duì)對(duì)于于遍遍歷歷的的馬馬爾爾可可夫夫鏈鏈研究狀態(tài)的關(guān)系研究狀態(tài)的關(guān)系

37、(重點(diǎn)重點(diǎn)),(21j jiiP11 ),(21j 解出解出練習(xí)練習(xí): :設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為I I = 1 = 1，2 2，3 3，44， 其一步轉(zhuǎn)移矩陣為其一步轉(zhuǎn)移矩陣為畫(huà)出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖畫(huà)出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖.10.60.20.20.71120.33411001010000.30.7000.60.20.20PP練習(xí)練習(xí)設(shè)今日有雨，則明日也有雨的概率為設(shè)今日有雨，則明日也有雨的概率為0.70.7，今日無(wú)雨明日有雨的概率為今日無(wú)雨明日有雨的概率為0.50.5，求星期一，求星期一有雨，星期三也有雨的概率。有雨，星期三也有雨的概率。解解: 其為有兩個(gè)狀態(tài)的馬爾可夫鏈，有雨記為其為有兩個(gè)狀

38、態(tài)的馬爾可夫鏈，有雨記為1，無(wú)雨，無(wú)雨記為記為0，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為 7 . 03 . 05 . 05 . 010P10 64. 036. 06 . 04 . 0102)2(PP1064. 0)2(11 P故所求故所求例例 10041430414121P設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為1,2,3,一步轉(zhuǎn)移矩陣為一步轉(zhuǎn)移矩陣為.),3 , 2 , 1(并并確確定定其其狀狀態(tài)態(tài)關(guān)關(guān)系系求求 ifii解解:狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如下?tīng)顟B(tài)轉(zhuǎn)移圖如下:2141414143121414141431)2(0,21)(11)1(11 nffn12111 f故故)2(0,43)(22)1(22

39、nffn14322 f故故)2(0, 1)(33)1(33 nffn133 f故故因此因此,狀態(tài)狀態(tài)3為正常返態(tài)為正常返態(tài),且為吸收態(tài)且為吸收態(tài).因此因此,狀態(tài)狀態(tài)1和和2為非常返態(tài)為非常返態(tài), 31322121P練習(xí)：設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為練習(xí)：設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為1,2,一步轉(zhuǎn)移矩陣為一步轉(zhuǎn)移矩陣為.,)3(12)2(12)1(12)3(11)2(11)1(11ffffff求求91313221,313221,21)3(11)2(11)1(11 fff812121,412121,212)3(12)2(12)1(12 fff解解:21213231 31322121P練習(xí)：設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為練習(xí)

40、：設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為1,2,一步轉(zhuǎn)移矩陣為一步轉(zhuǎn)移矩陣為解解:.,2211并并研研究究其其狀狀態(tài)態(tài)關(guān)關(guān)系系試試求求ff21213231狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如右狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如右:91323121,313221,21)3(11)2(11)1(11 fff,32)31(21,32)31(213)5(112)4(11 ff131191312111 f.1為為常常返返故故狀狀態(tài)態(tài)61322121,313221,31)3(22)2(22)1(22 fff,32)21(21,32)21(213)5(222)4(22 ff121161313122 f.2為為常常返返故故狀狀態(tài)態(tài)21213231 32312121P練習(xí)：

41、設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為練習(xí)：設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為1,2,一步轉(zhuǎn)移矩陣為一步轉(zhuǎn)移矩陣為.lim,nnP 并并求求試試求求其其平平穩(wěn)穩(wěn)分分布布解解:顯然顯然,此鏈具有遍歷性。此鏈具有遍歷性。 13221312121212211由由解得解得53,5221 53525352limnnP 01001010ppP練習(xí)：設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為練習(xí)：設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為1,2,3,一步轉(zhuǎn)移矩陣為一步轉(zhuǎn)移矩陣為.,)3()4()2()2(PPPPP 并證明并證明試求試求解解: ppppPPP0101001)2( ppppPPP0101001)2()2()4( 010010100101001)2()3(ppppppP

42、PP 01001010pp 5.005.05.05.0005.05.0P練習(xí)：設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為練習(xí)：設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為1,2,3,一步轉(zhuǎn)移矩陣為一步轉(zhuǎn)移矩陣為13, 021000 XPXPXP初始分布初始分布.3)3(;2, 1, 3)2(;2, 1)1(21020的的概概率率態(tài)態(tài)求求經(jīng)經(jīng)兩兩步步轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移移后后處處于于狀狀求求求求 XXXPXXP解解:1212, 1)1(02020 XXPXPXXP00)2(12 P(3) 25. 025. 05 . 05 . 025. 025. 025. 05 . 025. 02P經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)3的概率為的概率為25. 025.

43、 05 . 025. 0)1 , 0 , 0(32 XP25. 05 . 05 . 011, 323132, 1, 3)2(102010210 XXXPXXPXPXXXP練習(xí)練習(xí):P91,例例5.1.2注注:Markov鏈的轉(zhuǎn)移概率是條件概率鏈的轉(zhuǎn)移概率是條件概率.設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為1,2,3,4,一步轉(zhuǎn)移矩陣為一步轉(zhuǎn)移矩陣為 100041414141002121002121P試研究其狀態(tài)關(guān)系試研究其狀態(tài)關(guān)系.解解:狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如下?tīng)顟B(tài)轉(zhuǎn)移圖如下:21412141214121411練習(xí)練習(xí)狀態(tài)分為三類(lèi)狀態(tài)分為三類(lèi)1,2,3,4121121,21,2121,211)(1111

44、)(11)2(11)1(11 nnnnfffff121121,21,2121,211)(2222)(22)2(22)1(22 nnnnfffff21412141214121411141),2(0,4133)(33)1(33 fnffn, 1)1(44 f 11)(11122nnnnnnfu又又因因?yàn)闉?11)(22222nnnnnnfu又又因因?yàn)闉楣薁顟B(tài)故狀態(tài)1與與2都是正常返狀態(tài)都是正常返狀態(tài),又因周期都是又因周期都是1,故都為故都為遍歷狀態(tài)遍歷狀態(tài).故狀態(tài)故狀態(tài)3是非常返狀態(tài)是非常返狀態(tài).1111)(444 nnnfu故狀態(tài)故狀態(tài)4是吸收狀態(tài)是吸收狀態(tài).練習(xí)練習(xí)設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為設(shè)馬氏鏈

45、的狀態(tài)空間為1,2,一步轉(zhuǎn)移矩陣為一步轉(zhuǎn)移矩陣為 8.02.02.08.0P.求求平平穩(wěn)穩(wěn)分分布布平穩(wěn)分布滿(mǎn)足平穩(wěn)分布滿(mǎn)足解：解：)21,21(,21,2118 . 02 . 02 . 08 . 02121212211 故故解得解得練習(xí)練習(xí) 設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為1,2,一步轉(zhuǎn)移矩陣為一步轉(zhuǎn)移矩陣為 83854143P.limnnP 求求平平穩(wěn)穩(wěn)分分布布及及解解:)72,75(,72,751834185432121212211 故故解得解得由由 72757275lim,lim)(nnnijnjPP得得由由 27,5721121 uuujj分別為分別為的平均回轉(zhuǎn)時(shí)間的平均回轉(zhuǎn)時(shí)

46、間與與知狀態(tài)知狀態(tài)還可由還可由 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題要會(huì)求轉(zhuǎn)移概率矩陣根據(jù)實(shí)際問(wèn)題要會(huì)求轉(zhuǎn)移概率矩陣,有些實(shí)際問(wèn)有些實(shí)際問(wèn)題是用頻率來(lái)估計(jì)概率的題是用頻率來(lái)估計(jì)概率的.如課本如課本P109例例5.3.7Poisson過(guò)程和生滅過(guò)程是連續(xù)時(shí)間離散狀態(tài)過(guò)程和生滅過(guò)程是連續(xù)時(shí)間離散狀態(tài)的的Markov過(guò)程過(guò)程.Brown運(yùn)動(dòng)是連續(xù)時(shí)間連續(xù)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)是連續(xù)時(shí)間連續(xù)狀態(tài)的Markov過(guò)程過(guò)程.第六章復(fù)習(xí)內(nèi)容第六章復(fù)習(xí)內(nèi)容了解上鞅了解上鞅,下鞅下鞅,鞅的定義鞅的定義.”“賭博賭博有利有利賭博中下鞅體現(xiàn)了賭博中下鞅體現(xiàn)了.”“賭博賭博不利不利賭博中上鞅體現(xiàn)了賭博中上鞅體現(xiàn)了.”“賭博賭博公平公平賭博中鞅體現(xiàn)了賭博中

47、鞅體現(xiàn)了證明時(shí)所用條件期望基本公式證明時(shí)所用條件期望基本公式.,)(,)1(saXFXEFXnn 則則可測(cè)可測(cè)關(guān)于關(guān)于若若.),()(,)2(saXEFXEFXnn 則則相互獨(dú)立相互獨(dú)立與與若若EXYYXYX)3(nnnFXYFF 則則可測(cè)，可測(cè)，為為的期望存在，且的期望存在，且及及設(shè)設(shè) 、 上鞅nXnY 上鞅nnYX 、 下鞅nXnY 下鞅nnYX 上鞅 下鞅nXnY 上鞅nnYX 下鞅 上鞅nXnY 下鞅nnYX 下鞅nnXY 上鞅nnXY nX nY若若為下鞅，為下鞅，為上鞅，則有為上鞅，則有 ( )nnXY為下鞅為下鞅 AnnXY為上鞅為上鞅 BnnXY為下鞅為下鞅 CnnXY為上鞅為

48、上鞅 DA練習(xí)練習(xí):nX), 2 , 1(n uXEi nkknXS10 unXnS設(shè)為一族獨(dú)立隨機(jī)變量序列，且，令則當(dāng)時(shí)，關(guān)于是下鞅。0 u0 unXnS時(shí)，關(guān)于是上鞅。nXnS時(shí)，關(guān)于是鞅。第七章復(fù)習(xí)內(nèi)容第七章復(fù)習(xí)內(nèi)容Brown運(yùn)動(dòng)的定義運(yùn)動(dòng)的定義), 0()(, 0)3(;0),()2(;0)0()1(0),(2tNtXtttXXttX 服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布對(duì)對(duì)每每一一個(gè)個(gè)有有平平穩(wěn)穩(wěn)獨(dú)獨(dú)立立增增量量如如果果滿(mǎn)滿(mǎn)足足隨隨機(jī)機(jī)過(guò)過(guò)程程 ., 1運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)Brown .,路路徑徑的的連連續(xù)續(xù)性性獨(dú)獨(dú)立立增增量量正正態(tài)態(tài)增增量量運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的性性質(zhì)質(zhì)Brown(1) 0)2(,0),(BPBrowntt