競賽課件17：靜電場：原理與方法

1、 靜電場的兩大外觀表現(xiàn)靜電場的兩大外觀表現(xiàn)對引入電場的任何帶電體產(chǎn)生力的作用對引入電場的任何帶電體產(chǎn)生力的作用.當帶電體在電場中移動時當帶電體在電場中移動時, ,電場力做功電場力做功, ,說明電說明電場具有能量場具有能量. . 描述靜電場的基本規(guī)律描述靜電場的基本規(guī)律對一個孤立系統(tǒng)，電荷可在系統(tǒng)各部分之間遷移，但其總量保對一個孤立系統(tǒng)，電荷可在系統(tǒng)各部分之間遷移，但其總量保持不變持不變原來為零的始終為零，原來為某一量原來為零的始終為零，原來為某一量Q Q的，則始終的，則始終為為Q Q，此即電荷守恒定律，此即電荷守恒定律 122=kq qFr在真空中的任何靜電場中，通過任一閉合曲面的在真空中的任

2、何靜電場中，通過任一閉合曲面的電通量等于這閉合曲面所包圍的電荷的代數(shù)和的電通量等于這閉合曲面所包圍的電荷的代數(shù)和的0分之一，這就是真空中靜電場的高斯定理分之一，這就是真空中靜電場的高斯定理0iieq 等效處理方法等效處理方法等效對稱替代法等效對稱替代法等效電像變換法等效電像變換法示例示例規(guī)律規(guī)律規(guī)規(guī)律律應用應用示例示例示例示例 球在第一次與板接觸后獲得電量為球在第一次與板接觸后獲得電量為q，說明有量，說明有量值為值為q的正電荷從板上轉移到球上，由電荷守恒可的正電荷從板上轉移到球上，由電荷守恒可知，此時板上電量為知，此時板上電量為(Q-q),球與板這一系統(tǒng)中的總電量是按比例球與板這一系統(tǒng)中的總電

3、量是按比例分配到球上與板上的分配到球上與板上的qQq 當多次操作直至最終板上電量又一次為當多次操作直至最終板上電量又一次為Q但不能但不能向與之接觸的球遷移時（此時兩者等電勢），球上電向與之接觸的球遷移時（此時兩者等電勢），球上電量達到最大量達到最大: maxqqQQq maxqqqQQ 一個金屬球借助導電薄板從起電機上獲得電荷，一個金屬球借助導電薄板從起電機上獲得電荷，板在每次與球接觸后又從起電機上帶電至電量為板在每次與球接觸后又從起電機上帶電至電量為Q如果球在第一如果球在第一次與板接觸后帶電量為次與板接觸后帶電量為q，求球可獲得的最大電量，求球可獲得的最大電量. 如圖所示，半徑相同的兩個金屬

4、球如圖所示，半徑相同的兩個金屬球A、B相距很遠，原來不帶電，相距很遠，原來不帶電，C球先與遠處電池正極接觸，（負極接地），接著與球球先與遠處電池正極接觸，（負極接地），接著與球A接觸，再與接觸，再與B球接觸；然球接觸；然后又與電池正極接觸，重復上述過程，反復不已已知后又與電池正極接觸，重復上述過程，反復不已已知C球第一次與電池接觸后的球第一次與電池接觸后的帶電量為帶電量為q，第一次與，第一次與A球接觸后球接觸后A球的帶電量為球的帶電量為Q1，求，求A球與球與B球最后的帶電量球最后的帶電量Q與與Q；設設 ，至少經(jīng)過幾次與，至少經(jīng)過幾次與C球接觸后，球接觸后，A球的帶電量可達最后帶電量球的帶電量可

5、達最后帶電量的一半？的一半？ 1910Qq CAB 設設A A、B B球半徑為球半徑為R, ,C球半徑為球半徑為r, ,C球與球與A A球第球第1 1次接觸后有次接觸后有11qQQrR qQrR 時 電荷不再從電荷不再從C C球移向球移向A A球，故球，故RQqr C球與球與B球接觸最終球接觸最終亦有亦有 qQrR 11QqqQQ 由由式及題給條件式及題給條件 19rR 若第次若第次C與與A接觸后接觸后A又獲電量又獲電量Q2， 212qQQQrR 則則22910Qq n次次C、A接觸后有接觸后有 919104.511010nqq n7 次次返回返回11QqqQ =r2r1mO 2 1 1S 2

6、S MQq21121coscosrkqFkqr 22222coscosrkqFkqr 帶電球殼內(nèi)場強為零帶電球殼內(nèi)場強為零!320343krErr r 把兩個相同的電量為把兩個相同的電量為q的點電荷固定在相距的點電荷固定在相距l(xiāng)的地方，在二的地方，在二者中間放上第三個質量為者中間放上第三個質量為m的電量亦為的電量亦為q的點電荷，現(xiàn)沿電荷連線方向給第三個點的點電荷，現(xiàn)沿電荷連線方向給第三個點電荷一小擾動，證明隨之發(fā)生的小幅振動為簡諧運動并求其周期電荷一小擾動，證明隨之發(fā)生的小幅振動為簡諧運動并求其周期T FBFAqAAqBBOllx22ABkqFFl 質點在平衡位置質點在平衡位置O時：時：質點在

7、距平衡位置質點在距平衡位置x的某位置的某位置時：時：222224212AkqkqxFlllx 222224212BkqkqxFlllx 2332kqxl kqxxFlll2241414 22lm lqTk 2kQR點電荷點電荷q在兩側場強等值反向在兩側場強等值反向!qEqEq整個帶電球內(nèi)部場強為整個帶電球內(nèi)部場強為0;外表面場強大小為外表面場強大小為設球殼除設球殼除A外其余部分在外其余部分在A處的場強為處的場強為EAA在在A A內(nèi)側有內(nèi)側有0qAEE 在在A A外側有外側有2qAkQEER 22AEkQR 22FkqQR 均勻帶電球殼半徑為均勻帶電球殼半徑為R，帶正電，電量為，帶正電，電量為Q

8、，若在，若在球面上劃出很小一塊，它所帶電量為球面上劃出很小一塊，它所帶電量為q試求球殼的其余部分對它的試求球殼的其余部分對它的作用力作用力 一個半徑為一個半徑為a的孤立的帶電金屬絲環(huán)，其中心的孤立的帶電金屬絲環(huán)，其中心電勢為電勢為U0將此環(huán)靠近半徑為將此環(huán)靠近半徑為b的接地的球，只有環(huán)中心的接地的球，只有環(huán)中心O位于球面位于球面上，如圖試求球上感應電荷的電量上，如圖試求球上感應電荷的電量 O點點O1點電勢均為點電勢均為0;環(huán)上電荷在環(huán)上電荷在OO點的總電勢為點的總電勢為U U0 00iikqUa 球上感應電荷在球上感應電荷在OO1 1點引起的電勢點引起的電勢U Ub bO1a bOO點點O1點

9、電勢均由環(huán)上電荷及點電勢均由環(huán)上電荷及球上感應電荷共同引起！球上感應電荷共同引起！1ibOikQUUb 環(huán)上電荷在環(huán)上電荷在OO1 1點的總電勢為點的總電勢為122iOikqUab 0212OUaUab 022aUab 022abUk aQb 正點電荷正點電荷1和正點電荷和正點電荷2分別放置在分別放置在A、B兩點，兩點，兩點間相距兩點間相距L現(xiàn)以現(xiàn)以L為直徑作一半圓，電荷在此半圓上有一電勢最為直徑作一半圓，電荷在此半圓上有一電勢最小的位置小的位置P，設，設PA與與AB的夾角為的夾角為，則，則 （用三角函數(shù)（用三角函數(shù)表示）表示） 切向場強為切向場強為0位置為位置為電勢最小的位置！電勢最小的位置

10、！ 1222sincoscossinkQkQLL 321tanQQ 1Q2Q3121tanQQ 電荷均勻分布在半球面上，它在這半球的中心電荷均勻分布在半球面上，它在這半球的中心O處電場強度等于處電場強度等于E0兩個平面通過同一條直徑，夾角為兩個平面通過同一條直徑，夾角為，從半球中，從半球中分出一部分球面，如圖所示試求所分出的這部分球面上（在分出一部分球面，如圖所示試求所分出的這部分球面上（在“小小瓣瓣”上）的電荷在上）的電荷在O處的電場強度處的電場強度E E0E2 0sin2 EE 小小半球面均勻分布電荷半球面均勻分布電荷在在O點引起的場強可視點引起的場強可視為為“小瓣小瓣”球面電荷球面電荷與

11、與“大瓣大瓣”球面電荷球面電荷在在O點引起的電場的矢點引起的電場的矢量和量和.由對稱性及半球幾何關系可知由對稱性及半球幾何關系可知E大大與與E小小垂直，如圖所示垂直，如圖所示: : 有兩個異種點電荷，其電量之比為有兩個異種點電荷，其電量之比為n，相互間距，相互間距離為離為d試證明它們的電場中電勢為零的等勢面為一球面，并求此等試證明它們的電場中電勢為零的等勢面為一球面，并求此等勢面的半徑及其中心與電量較小電荷的距離勢面的半徑及其中心與電量較小電荷的距離r Oyx-qnq以小電量電荷所在位置為坐以小電量電荷所在位置為坐標原點，建立直角坐標標原點，建立直角坐標 ,x y 2222kqknqxydxy

12、 d-q與與nq在坐標為（在坐標為（x、y）的點電勢迭加為零，即有的點電勢迭加為零，即有 2222211dndxynn 2,01dn 球心坐標球心坐標球半徑球半徑21ndrn 半徑分別為半徑分別為R1和和R2的兩個同心半球相對放置，如的兩個同心半球相對放置，如圖所示，兩個半球面均勻帶電，電荷密度分別為圖所示，兩個半球面均勻帶電，電荷密度分別為1和和2，試求大的半，試求大的半球面所對應底面圓直徑球面所對應底面圓直徑AOB上電勢的分布上電勢的分布 AB大半球面上電荷量為大半球面上電荷量為2112 R 大半球面上電荷在底面引起的電勢為整個大半球面上電荷在底面引起的電勢為整個大球大球面上電荷引起電勢的

13、一半面上電荷引起電勢的一半, ,即即211111122kRUk RR 小半球面上電荷量為小半球面上電荷量為2222 R 小半球面上電荷在其底面引起的電勢為整個小球小半球面上電荷在其底面引起的電勢為整個小球面上電荷引起電勢的一半面上電荷引起電勢的一半, ,即即222222222kRUk RR 根據(jù)電場疊加原根據(jù)電場疊加原理理, ,直徑直徑ABAB上電上電荷分布為荷分布為: : 11222121221222kRRRRrUrRURrRk 小半球面上電荷在球面外引起的電勢亦為小半球面上電荷在球面外引起的電勢亦為整個小球面上電荷引起電勢的一半整個小球面上電荷引起電勢的一半,即即222222kRUr 一半

14、徑為一半徑為R、帶電量為、帶電量為Q的均勻帶電球面，試求其上的表面的均勻帶電球面，試求其上的表面張力系數(shù)張力系數(shù)，定義為面上單位長度線段兩側各向對方施加的作用力定義為面上單位長度線段兩側各向對方施加的作用力 R E2 sin2R TT2sin2SR 222sinsin2424QQqRR 208QER 在球面上取一面元在球面上取一面元面元受力如示面元受力如示0220222sin4s2i28n23eQFRQQR 面元周邊所受張力合力大小為面元周邊所受張力合力大小為2sinsin22TR 面元處于平衡面元處于平衡, ,則則2220sin232sinsin222QRR 223064QR 返回返回q點電

15、荷電場點電荷電場SS球面上各處場強大小均為球面上各處場強大小均為2204kqqErr 1222018.85 10C /N m4 k 從該球面穿出的電通量從該球面穿出的電通量 220044eqqESrr e eES 電場線的疏密表示電場的強弱，若場中某面元上有電場線的疏密表示電場的強弱，若場中某面元上有條電場線垂直穿過，則條電場線垂直穿過，則 0eq 根據(jù)電場線的性質根據(jù)電場線的性質在電場中在電場中沒有電荷處電場線是連續(xù)的、不沒有電荷處電場線是連續(xù)的、不相交的，可以肯定包圍點電荷相交的，可以肯定包圍點電荷q q的的任意封閉曲面任意封閉曲面SS上的電通量也是上的電通量也是 qS 入入出出0e 0q

16、 0eq 根據(jù)電場迭加原理，將上述結果推廣到任意點電荷根據(jù)電場迭加原理，將上述結果推廣到任意點電荷系構成的靜電場：若閉合曲面包圍的電荷的代數(shù)和系構成的靜電場：若閉合曲面包圍的電荷的代數(shù)和為為 ,iiq 0ieiq 則則返回返回O rRr 由高斯定理有由高斯定理有 2200440eERR Rr 由高斯定理有由高斯定理有 222044eQRQEkRR RE0rO rRr 由高斯定理有由高斯定理有 330eRQr Rr 由高斯定理有由高斯定理有 222044eQRQEkRR RE0rR23044eERQRr 3EkQRr ES 由高斯定理有由高斯定理有 0eS 022eES QQ 兩面積兩面積S、間

17、距間距d平行板電容器當平行板電容器當帶電荷量帶電荷量Q時，板時，板間電場由電場間電場由電場疊加原理可得為疊加原理可得為0022E 4 kQS 半徑為半徑為r的圓板，在與其中心的圓板，在與其中心O距離為距離為d處置一處置一點電荷點電荷q，試求板上電通量，試求板上電通量 球冠面上的電通量與圓板的電通量相同！球冠面上的電通量與圓板的電通量相同！qdrR222kqkqERrd 距距q為為R處電場強度大小為處電場強度大小為球冠面積為球冠面積為 2SR Rd 22ekqR RdR 22012qddr 在相距在相距d的兩根平行細長導線上均勻地分布有異種電荷，其線密度的兩根平行細長導線上均勻地分布有異種電荷，

18、其線密度為及為及 求在對稱平面上與導線所在平面相距為求在對稱平面上與導線所在平面相距為x的一點的一點P的電場強度的電場強度 由高斯定理有由高斯定理有 0el 022eERlR l R02ER 2d2dxP 1E 2EPE1222022EEdx 22220/22222pdEddxx 22024pdExd 如圖，有如圖，有“無限長無限長”均勻帶電圓柱面，半徑為均勻帶電圓柱面，半徑為R，電荷面密，電荷面密度為度為，試求其場強，并作，試求其場強，并作E（r）圖）圖 rR 0e 0eES rR RE02eRl l 2eeESrl 01Rr rE0R0 如圖，在一厚度為如圖，在一厚度為d的無窮大平板層內(nèi)均

19、勻地分布有正電荷，的無窮大平板層內(nèi)均勻地分布有正電荷，其密度為其密度為，求在平板層內(nèi)及平板層外的電場強度，求在平板層內(nèi)及平板層外的電場強度E，并作，并作E（r）圖）圖 dS 2dr 時02eSr 02eESr 2dr 時0eS d 022eESd rE0d/202d 02d 一點電荷一點電荷q位于一立方體中心，立方體邊長為位于一立方體中心，立方體邊長為a，試問通過，試問通過立方體一面的電通量是多少？如果點電荷移至立方體的一個角上，這時通過立方立方體一面的電通量是多少？如果點電荷移至立方體的一個角上，這時通過立方體每個面的電通量各是多少？體每個面的電通量各是多少？ 點電荷位于立方體中心時，通過立

20、方體一個表面的電通量為點電荷位于立方體中心時，通過立方體一個表面的電通量為 06eq 點電荷位于立方體頂點時，點電荷位于立方體頂點時，通過立方體一個表面的電通量為通過立方體一個表面的電通量為 0614eq 024q 如圖，電場線從正電荷如圖，電場線從正電荷q1出發(fā)，與正點電荷及負點出發(fā)，與正點電荷及負點電荷的連線成電荷的連線成角，則該電場線進入負點電荷角，則該電場線進入負點電荷q2的角度的角度是多大？是多大？ +q1q2以點電荷以點電荷+q1與與-q2為中心，為中心，取一半徑取一半徑r很小的球面，可很小的球面，可視為其上電場線均勻分布，視為其上電場線均勻分布，穿出穿出2角所對的球冠面的角所對的

21、球冠面的電場線應完全穿入電場線應完全穿入2角所角所對的球冠面，兩面上電通對的球冠面，兩面上電通量相等：量相等： 12220021cos21cos44r rr rqqrr 12sinsin22qq -4qq 準確地畫出兩點電荷準確地畫出兩點電荷q及及4q的電場線分布示意圖的電場線分布示意圖. 若若兩電荷相距兩電荷相距a，場強為零的點在兩點電荷連線延長線，場強為零的點在兩點電荷連線延長線距距+q為為x遠處遠處: 2214xxaax 由上題，從由上題，從+q出發(fā)，出發(fā)，與兩電荷連線所成與兩電荷連線所成角度在角度在0,之間的之間的電場線進入電場線進入-4q終止終止時與兩電荷連線夾時與兩電荷連線夾角在角

22、在0,/3之間，之間，如圖如圖:AO點電勢為點電勢為0：0rRqqqlrR 由高斯定理知由高斯定理知0rRqqq Rlr RR lQqr rlR rr lQqR qrRl 如圖，兩個以如圖，兩個以O為球心的同心金屬球殼都接地，半徑為球心的同心金屬球殼都接地，半徑分別是分別是r、R現(xiàn)在離現(xiàn)在離O為為l（rlR）的地方放一個點電荷）的地方放一個點電荷q問兩問兩個球殼上的感應電荷的電量各是多少？個球殼上的感應電荷的電量各是多少？ . Q+球殼內(nèi)、外表面感應電荷電量總等于球球殼內(nèi)、外表面感應電荷電量總等于球殼中心電荷量殼中心電荷量內(nèi)外感應電荷在球殼中心引起的電勢為內(nèi)外感應電荷在球殼中心引起的電勢為kQ

23、kQUab 從中心移動極小電量過程中可認為中心點電勢不變從中心移動極小電量過程中可認為中心點電勢不變,Qqn 取取在第在第i次移動中的元功為次移動中的元功為 11iQQWk ninnab 移動移動Q到無窮遠的總功為到無窮遠的總功為 111limnniQQWk ninnab 221111limnnikQniabn 2112kQab 如圖，兩個以如圖，兩個以O為球心的同心金屬球殼都接地，半徑為球心的同心金屬球殼都接地，半徑分別是分別是r、R現(xiàn)在離現(xiàn)在離O為為l（rlR）的地方放一個點電荷）的地方放一個點電荷q問兩問兩個球殼上的感應電荷的電量各是多少？個球殼上的感應電荷的電量各是多少？ . 返回返回

24、 如圖所示，將表面均勻帶正電的半球，沿線分成兩部分，然后將如圖所示，將表面均勻帶正電的半球，沿線分成兩部分，然后將這兩部分移開很遠的距離，設分開后的球表面仍均勻帶電，試比較點與點電場強這兩部分移開很遠的距離，設分開后的球表面仍均勻帶電，試比較點與點電場強度的大小度的大小 AA A2R2RA E1E23EA23EE ABCDO203414 若正四面體的四個面電勢相同，四面體就是一個等勢體，若正四面體的四個面電勢相同，四面體就是一個等勢體，其中心點電勢即可確定，現(xiàn)正四面體其中心點電勢即可確定，現(xiàn)正四面體ABCD各面靜電勢均各面靜電勢均不同，其中心點的電勢難以直接確定不同，其中心點的電勢難以直接確定

25、. 如圖所示，如圖所示，正四面體正四面體ABCDABCD各面為導體，但又彼此各面為導體，但又彼此絕緣已知帶電后四個面的靜電勢分別為、和絕緣已知帶電后四個面的靜電勢分別為、和, ,求四面體求四面體中心中心點的電勢點的電勢 0 0 1 4 2 3 進行等效替代進行等效替代：另有同樣的三個四個：另有同樣的三個四個面的靜電勢分別為面的靜電勢分別為1、 2 、 3和和4的正的正四面體，將它們適當?shù)丿B在一起，使四個四面體，將它們適當?shù)丿B在一起，使四個面的電勢均為面的電勢均為1+2 +3+4 ，中心點，中心點O共共點，這個疊加而成的四面體是等勢體，其點，這個疊加而成的四面體是等勢體，其中心中心O點電勢點電勢

26、40=1+2 +3+4 如圖所示，在半徑為如圖所示，在半徑為R、體密度為的均勻帶電球體內(nèi)部挖去半、體密度為的均勻帶電球體內(nèi)部挖去半徑為徑為r的一個小球，小球球心與大球球心的一個小球，小球球心與大球球心O相距為相距為a，試求點的場強，并證明空腔，試求點的場強，并證明空腔內(nèi)電場均勻內(nèi)電場均勻 O r1OAE1EAE2r212EEEA110Er3 120Err3A 則則帶電球內(nèi)半徑為帶電球內(nèi)半徑為r處處場強場強320343krErr 220Er3 0a3 aBABP OMABAP處帶寬設為處帶寬設為l 帶面積為帶面積為2sinslR 均勻帶電球電荷面密度為均勻帶電球電荷面密度為P處帶上電荷量為處帶上

27、電荷量為22sin4 QQlRR P處弧上電荷線密度為處弧上電荷線密度為sin2 QlR 如圖所示，在半徑為如圖所示，在半徑為R的細圓環(huán)上分布有不能移動的正電荷，的細圓環(huán)上分布有不能移動的正電荷，總電量為總電量為Q，AB是它的一條直徑，如果要使是它的一條直徑，如果要使AB上的場強處處為零，則圓環(huán)上的上的場強處處為零，則圓環(huán)上的電荷應該如何分布？電荷應該如何分布？ sin4QR 24QR 均勻帶電金屬球表面每一個面元受到整均勻帶電金屬球表面每一個面元受到整個球面其余部分電荷對它的靜電力大小個球面其余部分電荷對它的靜電力大小是是 2224ikQQFSRR 則單位面積靜電力則單位面積靜電力 248F

28、kQPsR 設想另半球對此半球的作用力與壓強亦為設想另半球對此半球的作用力與壓強亦為P P的氣體作的氣體作用在半球上的壓力相平衡，則用在半球上的壓力相平衡，則 2224288kQkQFRRR 22032QR 兩個半球合在一起組成一個完整的金屬球，球的半兩個半球合在一起組成一個完整的金屬球，球的半徑為徑為R，如圖所示，求兩個半球間的靜電斥力，如圖所示，求兩個半球間的靜電斥力. +EQE-QEEEEQQ 10r3EQ 而而203ErQ 1200rr33EEd= 則則r1r2E d03Ed 可可得得S V d cosVS d 03EVdS 03cosE 在強度為在強度為E的均勻電場中放著一個均勻的金

29、屬球，其半徑為的均勻電場中放著一個均勻的金屬球，其半徑為R，由于感應，在球上產(chǎn)生了表面密度為由于感應，在球上產(chǎn)生了表面密度為的電荷，的電荷，與圖中標出的角與圖中標出的角有關系求關有關系求關系式系式() 如圖所示，如圖所示，平面上有一段長為平面上有一段長為l的均勻帶電直線的均勻帶電直線AB，在該平面取，在該平面取直角坐標直角坐標Oxy，原點，原點O為為AB中點，中點，AB沿沿x軸軸試證明該平面上任一點試證明該平面上任一點P的電場線的電場線方向沿方向沿APB的角平分線；的角平分線；試求該平面上的電場線方程試求該平面上的電場線方程試求該平面上的等勢試求該平面上的等勢線方程線方程. PCEPBAhix

30、 i2 1rin siniirnx i 2rnh 2irqnh 元電荷在元電荷在P點點引起的場強引起的場強qikhEn 各點合場強均沿該點對各點合場強均沿該點對AB張角的角平分線張角的角平分線 !利用雙曲線性質：雙曲線上各點切線沿該點與雙曲線利用雙曲線性質：雙曲線上各點切線沿該點與雙曲線兩焦點夾角平分線，而所研究的電場其各點電場線切兩焦點夾角平分線，而所研究的電場其各點電場線切線沿各點對線沿各點對A A、B B張角平分線，則電場線為一簇焦距張角平分線，則電場線為一簇焦距為為l l /2 2的的雙曲線雙曲線2222212xyala 利用橢圓性質：橢圓上各點法線為該點與橢圓兩焦點利用橢圓性質：橢圓

31、上各點法線為該點與橢圓兩焦點夾角平分線，所研究的電場其各點電場線切線沿各點夾角平分線，所研究的電場其各點電場線切線沿各點對對A A、B B張角平分線，而等勢線與電場線處處垂直，張角平分線，而等勢線與電場線處處垂直，則其等勢線即為一簇焦距為則其等勢線即為一簇焦距為 l l /2 2的的橢圓橢圓2222212xyala 返回返回 如圖，無限大的接地導體板，在距板如圖，無限大的接地導體板，在距板d處的處的A點有點有一個電量為一個電量為Q的正電荷，求板上的感應電荷對點電荷的正電荷，求板上的感應電荷對點電荷Q的作用力的作用力 QA-Q24kQFd 2016Qd 由于導體板接地，板上電勢為零，在點電荷由于

32、導體板接地，板上電勢為零，在點電荷Q Q的作用下，板的右側出現(xiàn)感應電荷的作用下，板的右側出現(xiàn)感應電荷. .由于導體為一等勢面，從點電荷由于導體為一等勢面，從點電荷Q Q出出發(fā)的電場線應處處與導體面正交而終發(fā)的電場線應處處與導體面正交而終止，因而導體板右側電場線分布大致止，因而導體板右側電場線分布大致如圖所示如圖所示聯(lián)想到等量異種電荷的電場：聯(lián)想到等量異種電荷的電場：導體板上感應電荷對板右側電場的影響，導體板上感應電荷對板右側電場的影響，可用與點電荷可用與點電荷Q關于導體面成鏡像對稱的另關于導體面成鏡像對稱的另一虛設點電荷一虛設點電荷-Q替代，板上感應電荷對替代，板上感應電荷對Q的的作用亦等效于

33、像電荷作用亦等效于像電荷-Q對對Q發(fā)生的作用發(fā)生的作用由庫侖定律，板上感應電荷對點電荷由庫侖定律，板上感應電荷對點電荷Q Q的的作用力大小為作用力大小為ROrPq q 由導體表面感應由導體表面感應電荷總電量在電荷總電量在O點點引起的電勢與點引起的電勢與點電荷電荷q在在O點引起點引起的電勢之和為零的電勢之和為零得得 0kqkqdR 根據(jù)唯一性原理可知，等效的像電荷量即為根據(jù)唯一性原理可知，等效的像電荷量即為Rqqd 像電荷位置，應令其在球面上任意點引起的電勢與像電荷位置，應令其在球面上任意點引起的電勢與q在同一在同一點電勢疊加為零，即滿足點電勢疊加為零，即滿足 22222cos2coskqkqR

34、dRdRrRr 2222222cos2cos dRrRrR RdRd 2 242322cos d rRRrdR d對任意角位置等式均成立必有對任意角位置等式均成立必有2rRd 22222kRdqkqdrRqFd 如圖所示，如圖所示，設在一接地導體球的右側設在一接地導體球的右側P點，有一點電荷點，有一點電荷q，它與，它與球心的距離為球心的距離為d，球的半徑為，球的半徑為R，求導體球上的感應電荷為多少？點電荷，求導體球上的感應電荷為多少？點電荷q受到的電受到的電場力為多大？場力為多大？ 半徑為半徑為R2的導電球殼包圍半徑為的導電球殼包圍半徑為R的金屬球，金屬球的金屬球，金屬球原來具有電勢為原來具有

35、電勢為U，如果讓球殼接地，則金屬球的電勢變?yōu)槎嗌?？，如果讓球殼接地，則金屬球的電勢變?yōu)槎嗌伲?U金屬球上電量設為金屬球上電量設為Q1kQUR 由由1URQk球殼接地后設感應電荷的像電荷電球殼接地后設感應電荷的像電荷電量為量為q，由高斯定理，由高斯定理 000Qq1R UqQk 殼接地后球的電勢為殼接地后球的電勢為Q與與q引起的引起的電勢疊加電勢疊加12URUUR 212RRUR Ecqab-qa qb -qEaEbaE bE c像電荷在像電荷在c點引起的場強大小點引起的場強大小 25kqEd 2452525cEkqEd 兩個電量兩個電量q相等的正點電荷位于一無窮大導體平板相等的正點電荷位于一無

36、窮大導體平板的同一側，且與板的距離均為的同一側，且與板的距離均為d，兩點電荷之間的距離為，兩點電荷之間的距離為2d求在求在兩點電荷聯(lián)線的中點處電場強度的大小與方向兩點電荷聯(lián)線的中點處電場強度的大小與方向 如圖，速調(diào)管用于甚高頻信號的放大速調(diào)管如圖，速調(diào)管用于甚高頻信號的放大速調(diào)管主要由兩個相距為主要由兩個相距為b的腔組成，每個腔有一對平行板初始速度為的腔組成，每個腔有一對平行板初始速度為v0的一束電子通過板上的小孔橫穿整個系統(tǒng)要放大的高頻信號以的一束電子通過板上的小孔橫穿整個系統(tǒng)要放大的高頻信號以一定的相位差（一個周期對應于一定的相位差（一個周期對應于2相位）分別加在兩對電極板上，相位）分別加

37、在兩對電極板上，從而在每個腔中產(chǎn)生交變水平電場當輸入腔中的電場方向向右時，從而在每個腔中產(chǎn)生交變水平電場當輸入腔中的電場方向向右時，進入腔中的電子被減速；反之，電場方向向左時，電子被加速這進入腔中的電子被減速；反之，電場方向向左時，電子被加速這樣，從輸入腔中射出的電子經(jīng)過一定的距離后將疊加成短電子樣，從輸入腔中射出的電子經(jīng)過一定的距離后將疊加成短電子束如果輸出腔位于該短電子束形成處，那么，只要加于其上的電束如果輸出腔位于該短電子束形成處，那么，只要加于其上的電壓相位選擇恰當，輸出腔中的電場將從電子束中吸收能量設電壓壓相位選擇恰當，輸出腔中的電場將從電子束中吸收能量設電壓信號為周期信號為周期T=

38、1.010-9 s，電壓，電壓V=0.5 V的方波電子束的初始速度的方波電子束的初始速度v0=2.0106 m/s，電子荷質比，電子荷質比e/m=1.761011 C/kg假定間距假定間距a很小，很小，電子渡越腔的時間可忽略不計保留位有效數(shù)字，計算：電子渡越腔的時間可忽略不計保留位有效數(shù)字，計算：(a)使使電子能疊加成短電子束的距離電子能疊加成短電子束的距離b(b)由相移器提供的所需的輸出腔由相移器提供的所需的輸出腔與輸入腔之間的相位差與輸入腔之間的相位差 相移器相移器輸入腔輸入腔v0aab輸出腔輸出腔解答解答相移器相移器輸入腔輸入腔v0aab輸出腔輸出腔 通過輸入腔的電子通過輸入腔的電子電場

39、向電場向左左時被電場時被電場加速加速電場向電場向右右時被電場時被電場減速減速由動能定理：由動能定理： 2201122tUemvmv 202tUevmv 要形成短電子束，應使后半周期通要形成短電子束，應使后半周期通過輸入腔被加速的電子經(jīng)過一段距過輸入腔被加速的電子經(jīng)過一段距離離b在輸出腔在輸出腔“追追”上前半周期通上前半周期通過輸入腔被減速的電子，從而疊加過輸入腔被減速的電子，從而疊加成短電子束，故此應有：成短電子束，故此應有： 2200222bTbUeUevvmm 讀題讀題mm24096220022.2721.01.9562.0441010222.04412.9561022UevmTbUeUe

40、vvmm b)為使輸出腔中的電場從短電子束中吸收能量，應使電為使輸出腔中的電場從短電子束中吸收能量，應使電場方向向右，電場力對電子束做負功當輸入腔電場方場方向向右，電場力對電子束做負功當輸入腔電場方向向右時滿足向向右時滿足20222bkUeTvm 269202.272 102211.6221.956 101.0 102bkkkUeTvm 0.622232 0.321378 讀題讀題 如圖所示，如圖所示，N個一價正離子和個一價正離子和N個一價負離子交錯排列個一價負離子交錯排列成一維點陣，相鄰離子間的間距為成一維點陣，相鄰離子間的間距為a計算這個相互靜電作用的點陣計算這個相互靜電作用的點陣總靜電能（總靜電能（N） 除兩端處的一些離子外，每個離子與其周圍離子的相互作用除兩端處的一些離子外，每個離子與其周圍離子的相互作用情形都相同，任取一正離子記為情形都相同，任取一正離子記為A0，兩側各對離子依次為，兩側各對離子依次為A-1、A+2212keEa 這是與第這是與第1 對負離子所共有的對負離子所共有的! A0在第在第2對正離子中間位置具有電勢能對正離子中間位置具有電勢能 2222keEa A0在第在第1對負離子中間位置具有電勢能對負離子中間位置具有電勢能 A0這是與第這是與第2 對正離子所共有的對正離子所共有的! 221111234keEa 22ln2k