高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.4等比數(shù)列第2課時課件新人教A版必修

1、 2.4 等等 比比 數(shù)數(shù) 列列 （第（第2課時）課時） 定義：一般地，如果一個數(shù)列從第定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2 2項起，項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)等比數(shù)列的公比，列的公比，公比通常用字母公比通常用字母q q表示表示(q0).(q0).n 1naq(qn,q0a是與 無關(guān)的數(shù)或式子 且）如果一個數(shù)列如果一個數(shù)列是等比數(shù)列，它的公比是是等比數(shù)列，它的公比是q q，那么，那么,1a,2a,3a,na，21aa q由此可知，等比數(shù)列由此可知，等比數(shù)列 的通項公

2、式為的通項公式為 na2321aaqa q3431aa qa q4541aaqa qn 1n11aa qa ,q0（）(1) 1，2，4，8，16，觀察數(shù)列觀察數(shù)列1 1 1(2) 8,4,2,1,2 4 8(3) 4，4，4，4，4，4，4，(4) 1，-1，1，-1，1，-1，1，公比公比 q=2公比公比 q=12公比公比 q=1公比公比 q=-1探究點探究點1 1：等比數(shù)列的圖象等比數(shù)列的圖象等比數(shù)列的圖象1數(shù)列：數(shù)列：1，2，4，8，16，123456789102468101214161820o遞增數(shù)列遞增數(shù)列通過圖象觀察性質(zhì)通過圖象觀察性質(zhì)等比數(shù)列的圖象212345678910o數(shù)列

3、：數(shù)列：,81,41,21, 1 , 2, 4, 812345678910遞減數(shù)列遞減數(shù)列等比數(shù)列的圖象3123456789102468101214161820o數(shù)列：數(shù)列：4 4，4 4，4 4，4 4，4 4，4 4，4 4， 常數(shù)列常數(shù)列等比數(shù)列的圖象412345678910o12345678910數(shù)列：數(shù)列：1，-1，1，-1，1，-1，1，擺動數(shù)列擺動數(shù)列- -1 類比等差數(shù)列的性質(zhì)，類比等差數(shù)列的性質(zhì)， 等比數(shù)列有哪些性質(zhì)呢？等比數(shù)列有哪些性質(zhì)呢？探究點探究點2 2：等差、等比數(shù)列的性質(zhì)比較等差、等比數(shù)列的性質(zhì)比較an-an-1=d （n2） 等差數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列等比數(shù)列 常數(shù)

4、常數(shù)減減除除加加乘乘dnaan) 1(1) 0(111qaqaann加加- -乘乘乘乘乘方乘方 迭加法迭加法迭乘法迭乘法等比數(shù)列用等比數(shù)列用“比比”代替了等差數(shù)列中的代替了等差數(shù)列中的“差差”定義定義數(shù)學(xué)表數(shù)學(xué)表達式達式通項公通項公式證明式證明通項通項 公式公式1(0n2)nnaq qa，,由等差數(shù)列的性質(zhì)，猜想等比數(shù)列的性質(zhì)aan n 是公差為是公差為d d的等差數(shù)列的等差數(shù)列bbn n 是公比為是公比為q q的等比數(shù)列的等比數(shù)列性質(zhì)性質(zhì)1 1： a an n=a=am m+(n-m)d+(n-m)d性質(zhì)性質(zhì)2 2：若：若a an-kn-k,a,an n,a,an+kn+k是是aan n 中

5、的三項中的三項 ， 則則2a2an n= =a an+kn+k+ a+ an-kn-k 猜想猜想2 2：性質(zhì)性質(zhì)3 3： 若若n+mn+m= =p+qp+q, ,則則a am m+a+an n= =a ap p+a+aq q猜想猜想1 1：n mnmb b q 若若b bn-kn-k,b,bn n,b,bn+kn+k 是是 b bn n 中的三項中的三項, ,則則若若n+mn+m= =p+qp+q，則，則b bn nbbm m= =b bp pbbq q2nn kn kbbb猜想猜想3 3：性質(zhì)性質(zhì)4 4：從原數(shù)列中取出：從原數(shù)列中取出偶數(shù)項組成的新數(shù)列公偶數(shù)項組成的新數(shù)列公差為差為2d.2d

6、.( (可推廣可推廣) )性質(zhì)性質(zhì)5: 5: 若若ccn n 是公差為是公差為dd的等差數(shù)列，則數(shù)列的等差數(shù)列，則數(shù)列 a an n+c+cn n 是公差為是公差為d+dd+d的的等差數(shù)列等差數(shù)列. . 若若 d dn n 是公比為是公比為qq的等比數(shù)列的等比數(shù)列, ,則數(shù)列則數(shù)列 b bn nddn n 是公比為是公比為qqqq的等比數(shù)列的等比數(shù)列. .猜想猜想4 4：從原數(shù)列中?。簭脑瓟?shù)列中取出偶數(shù)項，組成的新出偶數(shù)項，組成的新數(shù)列公比為數(shù)列公比為 ( (可推可推廣廣) ) 2q猜想猜想5 5：若數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列,則(1)當q1,a10或0q1,a11, a10或0q0時, a

7、n是遞減數(shù)列; 當q=1時, an是常數(shù)列; 當q0.(3)an=amqn-m(n,mn*).(4)當n+m=p+q(n,m,p,qn*)時,有anam=apaq.(5)當an是有窮數(shù)列時,與首末兩項等距離的兩項的積都相等,且等于首末兩項的積.【知識提升知識提升】(7)若bn是公比為q的等比數(shù)列,則數(shù)列an bn 是公比為qq的等比數(shù)列.(6)數(shù)列an(為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列.(9)在an中,每隔k(kn*)項取出一項,按原來順序排列,所得的新數(shù)列仍為等比數(shù)列,且公比為qk+1.(10)當m，n，p(m，n，pn*)成等差數(shù)列時，am , an , ap 成等比數(shù)列.(8)數(shù)

8、列是公比為 的等比數(shù)列.q1na1例1、等比數(shù)列 an 中， a 4 a 7 = 512，a 3 + a 8 = 124, 公比q為整數(shù)，求a10法一：直接列方程組求：直接列方程組求 a 1、q法二：由：由 a 4 a 7 = a 3 a 8 = 5120512124323 aa412833 aa或或 128441288383aaaa或或 公比公比 q 為整數(shù)為整數(shù) 128483aa3241285 q2 q a 10 = a 3q 10 3= 4(-2) 7= 512例例2.已知已知an、bn是項數(shù)相同的等比數(shù)是項數(shù)相同的等比數(shù)列，求證列，求證an bn是等比數(shù)列是等比數(shù)列. 當當數(shù)數(shù)項項數(shù)數(shù)

9、兩兩個個數(shù)數(shù)時時數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)嗎嗎為為類類證證nnnnnnnn1212列列 a、a、b是b是相相同同的的等等差差列列，列列 pa +qb其pa +qb其中中p,q是p,q是常常也也是是等等差差列列？是是的的，公公差差pd +qd .可pd +qd .可分分以以：比比析析明明. .證明：設(shè)數(shù)列an的首項是a1，公比為q1; bn的首項為b1，公比為q2，那么數(shù)列anbn的第n項與第n+1項分別為：n 1n 1nn11121112aqbqaqbq,與n-1nn-1n1112111211121112即即a b(q q ) 與a b(q q ) 與a b(q q ) .a b(q q ) .為為n nn

10、+1n+11112n+1n+111121212n-1n-1nn1112nn1112aba b(q q )aba b(q q )因因= q q .= q q .aba b(q q )aba b(q q )它是一個與它是一個與n n無關(guān)的常數(shù)，所以無關(guān)的常數(shù)，所以 a an n b bn n 是一個是一個以以q q1 1q q2 2為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列. .思考思考:1. an是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，c是不為是不為0的常數(shù)，的常數(shù)，數(shù)列數(shù)列can是等比數(shù)列嗎？是等比數(shù)列嗎？2. 已知已知an，bn是項數(shù)相同的等比數(shù)列是項數(shù)相同的等比數(shù)列， 是等比數(shù)列嗎？是等比數(shù)列嗎？ nnbaa7 b

11、.5 c-5 d-7na472aa568a a 110aa472aa56474784,2a aa aaa 1.已知為等比數(shù)列，解析:選d. ，4747110110471011102,4,4,28,17,2,48,17. 或或aaaaaaaaaaaaaad d（ ）則2. 在等差數(shù)列an中，a3a118，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7a7，則b6b8的值為 ()a2 b4 c8 d16d d解析：解析：選選d.d.因為因為 a an n 為等差數(shù)列，所以為等差數(shù)列，所以 4 4b b7 7. .又又 b bn n 為等比數(shù)列，所為等比數(shù)列，所以以b b6 6b b8 8 16.16.3117=2 a

12、aa27b3.3.（真題（真題福建高考）已知等比數(shù)列福建高考）已知等比數(shù)列 的公比為的公比為q q，記記 ，cn= am(n-1)+1am(n-1)+2am(n-1)+m ，則以下結(jié)則以下結(jié)論一定正確的是（）論一定正確的是（）a. a. 數(shù)列數(shù)列 為等差數(shù)列，公差為為等差數(shù)列，公差為 b. b. 數(shù)列數(shù)列 為等比數(shù)列，公比為為等比數(shù)列，公比為q q2m2m c. c. 數(shù)列數(shù)列 為等比數(shù)列，公比為為等比數(shù)列，公比為 d. d. 數(shù)列數(shù)列 為等比數(shù)列，公比為為等比數(shù)列，公比為 namnmnmnmnaaab )1(2)1(1)1(*,nnm nbmq2mqmmq nb nc ncc c【解題指南】

13、如何判定一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列，注意一定是作差，或作比，看看是不是常數(shù).(1) 1(1) 2(1)nm nm nm nmcaaa112nmnmnmn mcaaa2112(1) 1(1) 2(1)()mmmm mmnmnmnmn mnm nm nm nmcaaaq qqqqcaaa 解析解析: :選選c.c.顯然，顯然， 不可能是等比數(shù)列；不可能是等比數(shù)列； 是等比數(shù)是等比數(shù)列；證明如下：列；證明如下： nb nc4.4.在等比數(shù)列在等比數(shù)列aan n 中，中，a an n0 0，a a2 2 a a4 4+2a+2a3 3a a5 5+a+a4 4a a6 6=36,=36,那么那么a a3

14、 3+a+a5 5= _= _ . .5.5.在等比數(shù)列在等比數(shù)列aan n 中，中， a a1515 =10, a=10, a4545=90,=90,則則 a a3030 =_. =_. 6.6.在等比數(shù)列在等比數(shù)列aan n 中，中，a a1 1+a+a2 2 =30=30, , a a3 3+a+a4 4 =120, =120, 則則a a5 5+a+a6 6=_.=_.6 63030480480或或-30-307 7.32323232與的等比中項是的等比中項是_.8 8.已知正數(shù)等比數(shù)列已知正數(shù)等比數(shù)列na 中，中，12nnnaaana9 9.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，且是等比數(shù)列，且5681,aa則則3132310loglog+log_.aaa1對所有的自然數(shù)對所有的自然數(shù) n 都成立，則公比都成立，則公比 q =_.5 1220課堂小結(jié)課堂小結(jié)1. 等比中項的定義；等比中項的定義；2. 等比數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的性質(zhì)；3. 判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列的方法判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列的方法數(shù)數(shù) 列列等等 差差 數(shù)數(shù) 列列等等 比比 數(shù)數(shù) 列列關(guān)關(guān) 系系 式式性性 質(zhì)質(zhì)中中 項項 構(gòu)造三數(shù)