高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 2.3 反證法與放縮法素材3 新人教A版選修45

1、2.3 反證法與放縮法庖丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué) 一、反證法 1.反證法的意義：先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件（或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等）矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法. 反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾.具體地說，反證法不直接證明命題“若p則q”，而是先肯定命題的條件p，并否定命題的結(jié)論q，然后通過合理的邏輯推理，而得到矛盾，從而斷定原來的結(jié)論是正確的.記憶要訣 用反證法證明命題“若p則q”的過程可以用下圖表示. 2.利用反證法

2、證明不等式，一般有下面幾個(gè)步驟： 第一步,分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論； 第二步,作出與所證不等式結(jié)論相反的假定； 第三步,從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果； 第四步,斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原先要證的不等式成立. 辨析比較 常見的結(jié)論詞與反設(shè)詞原結(jié)論詞等于（=）大于(>)小于(<)對(duì)所有x成立對(duì)任意x不成立至少一個(gè)至多一個(gè)至少n個(gè)至多n個(gè)p或qp且q反設(shè)詞不等于()不大于()不小于()存在某個(gè)x不成立存在某個(gè)x成立一個(gè)都沒有至少兩個(gè)至多n-1個(gè)至少n+1個(gè)且或 3通常在什么情況下用反證法？ 有些不等式，從正面證如果說不清楚，可

3、以考慮反證法.即先否定結(jié)論，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原有結(jié)論是正確的.學(xué)法一得 凡是含“至少”“唯一”或含有否定詞的命題，大多適宜用反證法. 不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內(nèi)容相結(jié)合.高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，純不等式的證明，歷來是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，本難點(diǎn)著重培養(yǎng)大家數(shù)學(xué)式的變形能力、邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.二、放縮法 1.放縮法的意義：所謂放縮法，即是把要證的不等式一邊適當(dāng)?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。怪贸雒黠@的不等量關(guān)系后，再應(yīng)用不等量大、小的傳遞性，從而使不等式得

4、到證明的方法.也就是說：欲證ab，可通過適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，借助一個(gè)或多個(gè)中間量使得bb1，b1b2，b1a，或aa1，a1a2，aib，再利用傳遞性，達(dá)到欲證的目的.這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其在今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)用處更為廣泛. 2.放縮法的理論依據(jù)主要有：不等式的傳遞性；等量加不等量為不等量；同分子（分母）異分母（分子）的兩個(gè)分式大小的比較. 3.放縮法經(jīng)常采用的技巧有：舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)），在和或積中換大（或換?。┠承╉?xiàng)，擴(kuò)大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福┑?如：.誤區(qū)警示 用放縮法證明不等式，關(guān)鍵是放、縮適當(dāng)，放得過大或過小都不能達(dá)到證題目的.典題·熱題知識(shí)點(diǎn)一：反

5、證法證明不等式例1 設(shè)a3+b3=2，求證a+b2.思路分析：要證的不等式與所給的條件之間的聯(lián)系不明顯，而且待證式比已知式次數(shù)低，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰，于是考慮用反證法.證明：假設(shè)a+b>2，則有a>2-b，從而a3>8-12b+6b2-b3,a3+b3>6b2-12b+8=6(b-1)2+2. 所以a3+b3>2，這與題設(shè)條件a3+b3=2矛盾，所以，原不等式a+b2成立.誤區(qū)警示 不能根據(jù)已知等式找出幾組數(shù)值，代入待證不等式中進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證成立也不能算是證明成功了.例2 設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+px+q,求證：|f(1)|,|f(2)|,|f(3

6、)|中至少有一個(gè)不小于.思路分析：要證明幾個(gè)代數(shù)式中，至少有一個(gè)滿足某個(gè)不等式時(shí)，需要考慮的情形較多，一一列舉直接證明不容易，通常采用反證法進(jìn)行.證明：假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于，則|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2. 另一方面，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|f(1)-2f(2)+f(3)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2. 兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原來的結(jié)論正確.方法歸納 一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，通常是指所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件

7、、已證不等式，以及臨時(shí)假定矛盾等各種情況.例3 設(shè)0<a,b,c<1，求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同時(shí)大于.思路分析：題目中出現(xiàn)了“不可能同時(shí)大于”字樣，而且三個(gè)式子的地位相同，結(jié)合0<(1-a)a2=，可得到方向相矛盾的兩個(gè)不等式，適于用反證法.證明：設(shè)(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,則三式相乘：(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>.又0<a,b,c<1,0<(1-a)a2=.同理：(1-b)b,(1-c)c,以上三式相乘：(1-a)a·(1-b)b

8、3;(1-c)c,與矛盾.原式成立.巧解提示 凡涉及到證明不等式為否定性命題、唯一性命題或是含“至多”“至少”等字句時(shí)，可考慮使用反證法.知識(shí)點(diǎn)二：放縮法證明不等式例4 當(dāng)n>2時(shí)，求證：logn(n-1)logn(n+1)<1.思路分析：不等式左邊含有不確定字母n，兩個(gè)對(duì)數(shù)式底數(shù)相同，真數(shù)中沒有常數(shù)項(xiàng)，而右邊為常數(shù)1，應(yīng)考慮應(yīng)用基本不等式逐步放縮證明，采用放縮法證明較好.證明：n>2，logn(n-1)>0,logn(n+1)>0.logn(n-1)logn(n+1)<2=2<2=1.n>2時(shí),logn(n-1)logn(n+1)<1.方

9、法歸納 在用放縮法證明不等式ab時(shí)，我們找一個(gè)(或多個(gè))中間量c作比較，即若能斷定ac與cb同時(shí)成立，那么ab顯然正確.所謂的“放”即把a(bǔ)放大到c，再把c放大到b;反之，所謂的“縮”即由b縮到c，再把c縮到a.同時(shí)在放縮時(shí)必須時(shí)刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及.例5 若n是正整數(shù)，求證<2.思路分析：左邊不能直接通分，而且項(xiàng)數(shù)不定，分析此式的形式特點(diǎn)，借助進(jìn)行變形，可以通過適當(dāng)?shù)胤趴s，使不等式簡(jiǎn)化，從而得出證明.證明：,k=2,3,4,n.巧解提示 實(shí)際上，我們?cè)谧C明<2的過程中，已經(jīng)得到一個(gè)更強(qiáng)的結(jié)論，這恰恰在一定程度上體現(xiàn)了放縮法的基本思想.例6 設(shè)a、b、c是三角形的

10、邊長(zhǎng)，求證3.思路分析：根據(jù)不等式的對(duì)稱性，三個(gè)字母地位相同，不妨設(shè)出大小順序，結(jié)合三角形三邊之間的關(guān)系，進(jìn)而應(yīng)用放縮法選擇適當(dāng)?shù)氖阶臃趴s變形，以達(dá)到證明目的.證明：由不等式的對(duì)稱性，不妨設(shè)abc，則b+c-ac+a-ba+b-c,且2c-a-b0，2a-b-c0.-3=-1+-1+-1=0,3.方法歸納 本題中為什么要將b+c-a與a+b-c都放縮為c+a-b呢？這是因?yàn)?c-a-b0，2a-b-c0，而2b-a-c無法判斷符號(hào)，因此無法放縮.所以在運(yùn)用放縮法時(shí)要注意放縮能否實(shí)現(xiàn)及放縮的跨度.問題·探究交流討論探究問題 有人說反證法很難，根本想不通；有人說反證法不難，看課本中的例題

11、用起來很簡(jiǎn)單，那如何體會(huì)反證法的難與易呢？探究過程: 學(xué)生甲：反證法太難了，都是逆向思維，根本想不到. 學(xué)生乙：其實(shí)反證法不難，在生活中不也經(jīng)常使用嗎？先假設(shè)怎樣怎樣，然后就會(huì)出現(xiàn)什么樣的事情，最后發(fā)現(xiàn)那不可能，出現(xiàn)了笑話，說明假設(shè)的不對(duì). 學(xué)生丙：反證法不難，只要見到含有否定形式的命題，如含有“至多”“至少”“不可能”等時(shí)就用反證法.學(xué)生甲：那要找不到矛盾呢？ 學(xué)生乙：只要按照正確的推理總會(huì)找到矛盾的，可以和已知矛盾，也可以和常識(shí)矛盾，也可以和假設(shè)本身矛盾等等，反正只要找到矛盾就可以. 學(xué)生甲：那反證法有什么好處呀？ 學(xué)生丙：反證法比直接證明多了一個(gè)條件，那就是假設(shè)，當(dāng)然容易證明了.老師：反

12、證法也不是萬能的，一般證明還是先用直接證法，當(dāng)要證的結(jié)論和條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰時(shí)，還有就是從正面證明需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而且從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形時(shí)用反證法較好.還有，平時(shí)應(yīng)該擁有較為扎實(shí)的基本功，在推理中才能較快地找到矛盾，也就是要多積累素材.探究結(jié)論:反證法作為一種證明方法，其實(shí)也不是很新，很早就接觸了，說來并不算難，只要多積累一下這方面的知識(shí)技巧就可以較為熟練的應(yīng)用了.思想方法探究問題 反證法證題，可以說是一個(gè)難點(diǎn)，就是感覺難懂難用.因?yàn)橐郧拔覀兊淖C明，所采用的方法均為直接證法，由已知到結(jié)論，順理成章.而對(duì)于屬于間接證法的

13、反證法，許多同學(xué)正是難以走出直接證法的局限，從而不能深刻或正確理解反證法思想.怎樣才能更好地理解反證法呢？探究過程:其實(shí)，反證法作為證明方法的一種，有時(shí)起著直接證法不可替代的作用.在生活中的應(yīng)用也非常廣泛，只是我們沒有注意罷了.下面看兩則故事，體會(huì)一下，對(duì)我們正確理解反證法很有幫助. 故事一：南方某風(fēng)水先生到北方看風(fēng)水，恰逢天降大雪.乃作一歪詩(shī)：“天公下雪不下雨，雪到地上變成雨；早知雪要變成雨，何不當(dāng)初就下雨.”他的歪詩(shī)又恰被一牧童聽到，亦作一打油詩(shī)諷刺風(fēng)水先生：“先生吃飯不吃屎，飯到肚里變成屎；早知飯要變成屎，何不當(dāng)初就吃屎.” 實(shí)際上，小牧童正是巧妙地運(yùn)用了反證法，駁斥了風(fēng)水先生否定事物普

14、遍運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，只強(qiáng)調(diào)結(jié)果，不要變化過程的形而上學(xué)的錯(cuò)誤觀點(diǎn)：假設(shè)風(fēng)水先生說的是真理，只強(qiáng)調(diào)變化最后的結(jié)果，不要變化過程也可，那么，根據(jù)他的邏輯，即可得出先生當(dāng)初就應(yīng)吃屎的荒唐結(jié)論.風(fēng)水先生當(dāng)然不會(huì)承認(rèn)這個(gè)事實(shí)了.那么，顯然，他說的就是謬論了. 這就是反證法的威力，一個(gè)原本非常復(fù)雜難證的哲學(xué)問題被牧童運(yùn)用了“以其人之道，還治其人之身”的反證法迎刃而解了. 如果說這則故事還尚不能讓我們明白反證法的思路的話，不妨再看看故事二. 故事二：王戎小時(shí)候，愛和小朋友在路上玩耍.一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨(dú)有王戎沒動(dòng).等到小朋友們摘了李子一嘗，原來是苦的！他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的.” 這是很著名的“道旁苦李”的故事.實(shí)質(zhì)上王戎的論述，也正是運(yùn)用了反證法，我們不妨把這則故事改編成像幾何題目中的“已知、求證、證明”，再和反證法的步驟進(jìn)行對(duì)比，大家就明白了.探究結(jié)論:反證法的應(yīng)用廣泛，