高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 3.1 指數(shù)函數(shù) 3.1.1 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪學(xué)案 蘇教版必修1

1、31指數(shù)函數(shù)311分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義2了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，理解n次方根與n次根式的概念，熟練掌握用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示一個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)根3能運(yùn)用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算和化簡(jiǎn)，會(huì)進(jìn)行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的相互轉(zhuǎn)化1根式(1)方根的概念：我們知道，如果x2a，那么x稱為a的平方根；如果x3a，那么x稱為a的立方根一般地，如果一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足xna(n1，nn*)，那么稱x為a的n次實(shí)數(shù)方根當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根是一個(gè)負(fù)數(shù)此時(shí)，a的n次方根只有一個(gè)，記為x當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)此時(shí)，正數(shù)a的正的n次實(shí)數(shù)方根

2、用符號(hào)表示，負(fù)的n次實(shí)數(shù)方根用符號(hào)表示正的n次實(shí)數(shù)方根與負(fù)的n次實(shí)數(shù)方根可以合并成±(a0)由此可得：負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作0(2)根式的概念：式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)(3)根式的性質(zhì)：當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，a；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，|a|正數(shù)開(kāi)方要分清，根指奇偶大不同，根指為奇根一個(gè)，根指為偶雙胞生負(fù)數(shù)只有奇次根，算術(shù)方根零或正，正數(shù)若求偶次根，符號(hào)相反值相同負(fù)數(shù)開(kāi)方要慎重，根指為奇才可行，根指為偶無(wú)意義，零取方根仍為零【做一做11】在，中，屬于最簡(jiǎn)根式的個(gè)數(shù)是_解析：根據(jù)最簡(jiǎn)根式的定義判斷3，2，2答案：0【做一做12】當(dāng)8x9時(shí)，化簡(jiǎn)_答案：2x17

3、2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)正數(shù)a的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：我們規(guī)定：(a0，m，nn*)(2)正數(shù)a的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：(a0，m，nn*)(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義在最簡(jiǎn)結(jié)果中，不能既有根式又有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，同時(shí)，也不能既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有分母的形式如、都不是最簡(jiǎn)形式應(yīng)該注意，分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子和分母與根式的根指數(shù)和被開(kāi)方式的指數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系不可顛倒【做一做21】下列等式中，一定成立的是_；答案：【做一做22】將化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為_(kāi)答案：3有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)ar·asars(a0，r，sq)；(2)(ar)sars(a0，r，sq)；(3)(ab)rarbr(a

4、0，b0，rq)【做一做31】0123x0_答案：100【做一做32】8_答案：128()n和有什么區(qū)別？它們分別等于什么？剖析：分析這兩個(gè)式子的含義和成立的條件，多舉例子來(lái)體會(huì)它們的區(qū)別()n是實(shí)數(shù)a的n次方根的n次冪，其中實(shí)數(shù)a的取值由n的奇偶性來(lái)決定：當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，ar例如，()327，()532，()70；當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí)，a0例如，()427，()23，()60；若a0，式子()n無(wú)意義，例如，()2、()4均無(wú)意義，也就不能說(shuō)它們的值了由此看只要()n有意義，其值就恒等于a，即()na是實(shí)數(shù)an的n次方根，是一個(gè)恒有意義的式子，a的取值不受n的奇偶性限制，ar但是這個(gè)式

5、子的值受n的奇偶性限制：當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，其值為a，即a，例如，2，61；當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí)，其值為|a|，即|a|，例如，3，|3|3由此看題型一 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算【例1】計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)(2a1)0；(5)分析：在冪的運(yùn)算中，首先觀察冪的底數(shù)，如果冪的底數(shù)能化成冪的形式時(shí)如(1)(2)(3)，就先把冪的底數(shù)寫成冪的形式，再進(jìn)行冪的乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算，這樣比較簡(jiǎn)便在冪的運(yùn)算中，對(duì)于形如m0的式子，要注意對(duì)底數(shù)m是否為零進(jìn)行討論，因?yàn)橹挥性趍0時(shí)，m0才有意義；而對(duì)于形如的式子，我們一般是先變形為，然后再進(jìn)行運(yùn)算解：(1)；(2)0.225225；(3)；(4)(

6、2a1)01；(5)1反思：在進(jìn)行有關(guān)冪的運(yùn)算時(shí)，要注意化歸思想的運(yùn)用；另外化繁為簡(jiǎn)一直是我們解題的一條基本原則熟悉冪的運(yùn)算條件和冪的運(yùn)算性質(zhì)是正確解題的關(guān)鍵題型二 根式的化簡(jiǎn)【例2】化簡(jiǎn)的結(jié)果是_解析：先將式子中的根式逐個(gè)化簡(jiǎn)，后進(jìn)行運(yùn)算原式69答案：9反思：對(duì)多個(gè)根式組成的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，我們解題的一般原則是先算根號(hào)內(nèi)的，后進(jìn)行根式運(yùn)算在進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí)，要注意根指數(shù)為奇數(shù)的情況，如，若a0，則0；若a0，則0，但對(duì)根指數(shù)為偶數(shù)的根式，只有當(dāng)a0時(shí)，對(duì)根式才有意義題型三 有理數(shù)冪的混合運(yùn)算【例3】已知a，b，求÷ 的值分析：化簡(jiǎn)、求值一類問(wèn)題，往往是先將被求代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后再代入已知

7、字母的值，求得代數(shù)式的值解：a0，原式×又a27b0，原式反思：本題容易先直接將a，b的值代入，后化簡(jiǎn)，但因運(yùn)算繁瑣，不容易得出正確的結(jié)果所以在解決問(wèn)題時(shí)，一定要先審題，比較一下各種思路的優(yōu)劣，然后再動(dòng)手做題這樣才能養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣【例4】已知，求aa1，a2a2的值分析：本題主要考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及其應(yīng)用觀察到，對(duì)已知等式兩邊平方即可求解解：，a2a19aa17又(aa1)249，a22a249a2a247反思：本題是已知代數(shù)式的值求其他代數(shù)式的值，通常又簡(jiǎn)稱為“知值求值”，解決此類題目要從整體上把握已知的代數(shù)式和所求的代數(shù)式的特點(diǎn)，常從整體代入來(lái)求值1設(shè)x12p，y12p，則y等于_(用x表示)解析：由條件得2px1,2py1，從而(x1)(y1)1，y1答案：2如果，則x的值是_解析：由條件得，所以，x±答案：±3化簡(jiǎn)_解析：答案：在；(nn，ar)各式中，一定有意義的是_(填序號(hào))解析：在中(4)2n1為負(fù)數(shù)，所以開(kāi)偶次方無(wú)意義，故錯(cuò)誤；在中因?yàn)閍r，所以a5r，故可能沒(méi)有意義，所以錯(cuò)誤答案：5(1)_；(2)_解析：(1)原式(2)原式答案：(1)(2)6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edb