《依測(cè)度收斂》ppt課件

1、目 的 ： 了 解 依 測(cè) 度 收 斂 概 念 ， 掌 握Lebesgue定理與 Riesz定理。重點(diǎn)與難點(diǎn)：Lebesgue定理與 Riesz定理及其證明。根本內(nèi)容：一依測(cè)度收斂定義 魯津定理實(shí)踐是說，恣意可測(cè)函數(shù)都可以用延續(xù)函數(shù)在某種意義下逼近。我們可以將定理2改述成：假設(shè) 是E上的可測(cè)函數(shù)，那么對(duì)恣意 ，存在 上的延續(xù)函數(shù)，使得)(xf0 1R。 )()(| xgxfxmE留意到所以對(duì)恣意n，有進(jìn)一步，對(duì)恣意 ，有取 ，那么存在 上的延續(xù)函數(shù) ，使1| )()(|)()(|1 nnxgxfxExgxfxE， 1| )()(| nxgxfxmE0 | )()(|xgxfxmE0 n1Rng

2、 得 這種收斂性與前面的幾乎處處收斂概念 不同的。我們稱它為依測(cè)度收斂，詳細(xì)說 來即下面的。定義2 設(shè)E是可測(cè)集， 都是E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，如 。)(0| )()(| nxgxfxmEnn， )( )( )(21xfxfxf 果對(duì)于恣意 ，都有 那么稱 在E上依測(cè)度收斂到 ，記作下面的定理闡明：幾乎處處收斂蘊(yùn)含依測(cè)度收斂。0 0| )()(|lim xfxfxmEnn)(xfn)(xf。 ffn二Lebesgue定理1 Lebesgue定理的表達(dá)定理4lebesgue定理 設(shè)E是測(cè)度有限的可測(cè)集， 是E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，假設(shè) 那么必有， )( )( )(21xfxfxf， .)

3、()(Eeaxfxfn。 )()(xfxfn證明：由葉果洛夫定理，對(duì)恣意 ，存在E的可測(cè)子集 ，使得 且 在 上一致收斂到 ，于是對(duì)恣意 ，存在 ，當(dāng) 時(shí)，有 于是 ，任 0 E， )( EEm)(xfnE)(xf0 NNn )(| )()(|Exxfxfn EExfxfxEn | )()(|意 ，從而由 的恣意性立得 。證畢。問題1：Lebesgue定理中E為有限測(cè)度集的條件可否去掉？為什么？Nn )(| )()(|EEmxfxfxmEn)()(xfxfn問題問題2 2：LebesgueLebesgue定理的逆能否成立？舉定理的逆能否成立？舉例闡明。例闡明。3 3反例反例 定理定理4 4的逆

4、普通是不對(duì)的，即依測(cè)度收的逆普通是不對(duì)的，即依測(cè)度收斂不一定意味著幾乎處處收斂，下面的斂不一定意味著幾乎處處收斂，下面的例子闡明了這一點(diǎn)。例子闡明了這一點(diǎn)。例 設(shè) ，對(duì)恣意正整數(shù)k，將 區(qū)間k等分，并定義令 1 , 0( E 10 ( ，), 2 , 1(),10),11)()(kikikixkikixxfki )()(),()(,)()2(23)2(12)1 (11xfxxfxfx 于是 是E上的處處有限的可測(cè)函數(shù)。對(duì)恣意 ，假設(shè) 那么 顯然有 假設(shè) ，那么當(dāng) 是第k次等分 區(qū)間后所對(duì)應(yīng)的函 )()(),()(),()()3(36)3(25)3(14xfxxfxxfx )(xn0 ， 0 ，

5、 | )(| xxEn0| )(|lim xxEnn1 n) 1 , 0 數(shù)組中第i個(gè)函數(shù)時(shí)有 所以 留意到當(dāng) 時(shí)， ，做 這闡明 。然而，對(duì)恣意 ),1| )(|kikixxEn 。 /1)(|kxxmEn n k0| )(|lim xxmEnn0n),1 , 00 x 總有無窮多個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)等于1，也有無窮多個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)等于0，所以 在 上處處不收斂于0。 雖然幾乎處處收斂強(qiáng)于依測(cè)度收斂，但我們可以從依測(cè)度收斂的函數(shù)序列中找一個(gè)幾乎處處收斂的子序列。這就是著名的黎斯Riesz定理。)(xn)(xn) 1 , 0三Riesz定理1 Riesz定理的表達(dá)*定理5Riesz定理設(shè) 是E上的可測(cè)函

6、數(shù)，假設(shè) ，那么存在子序列 ，使得2 Riesz定理的證明), 2 , 1(, nffnffnjnf。 .)()(Eeaxfxfin證明：首先設(shè) 。留意到對(duì)任何可測(cè) 函數(shù)序列 ，它不收斂到某個(gè)函數(shù) 的點(diǎn)集是因此我們只需找到 的一個(gè)子序列 使得ngg NnnNkkxgxgxE1| )()(|11nfjnf NinNkkxfxfxEmj01| )()(|11 mE 即可。這等價(jià)于說對(duì)恣意的k，有 對(duì)每個(gè)k，由 ，知 故對(duì)恣意i及k存在 ，當(dāng) 時(shí)，有 NinNkxfxfxEmj01| )()(|1ffn)(01| )()(| nkxfxfxmEnininn inkxfxfxmE211)()(| 特別

7、地 由于此處 都是恣意的，所以在上述不等式中可以取 ，即 假設(shè)必要，還可以使 滿足inkxfxfxmEj211)()(| ki,ki inixfxfxmEj211)()(| in innn21 于是對(duì)恣意的k，只需 ，就有 ，從而這闡明 ki ki11 iniixfxfxmEj21)()(| 1)()(|kxfxfxmEjn inixfxfxmEj211)()(| NinkxfxfxEmj1| )()(|因此 進(jìn)而 1| )()(|kxfxfxEmjnNi )(,211kNN NinNkxfxfxEmj01| )()(|lim NinNkxfxfxEmj01| )()(|1所以下設(shè) ，令那么

8、是測(cè)度有限的可測(cè)集，且對(duì)恣意 。由前面的證明，對(duì) ，存在 的子序列 ，使 .)()(Eeaxfxfin mE, 1,|)(1nimxxxxIinm mmIEE .mnEeafmf 1Enf)1(nf ，當(dāng)然在每個(gè)上仍有 。同理可從 中取子列 ，使 ，依此類推，由歸納法可作出一串子序列 ，任得對(duì)任意m， 是 的子序列，且 。令 .1)1(Eeaffn), 3 , 2( mEmffn)1()1(nf)2(nf .2)2(Eeaffn)(mnf)(mnf)1( mnf .)(mmnEeaff那么 顯然仍是 的子序列。記 那么 ，且對(duì)恣意 ，存在M，使得 時(shí)， ，于是 ，顯然當(dāng) 時(shí)， 是 ， 21 )

9、()()( ixfxfiinj)(xfin)(xfn， )()(|)(0 xfxfExEmnmm mmEE00 00 mE0EEx Mm 0EExm )()()(xfxfmnmi inf 的子序列，故也有 ，即 。證畢。問題3：一個(gè)依測(cè)度收斂的函數(shù)列能否有獨(dú)一的極限？假設(shè)極限不獨(dú)一，這些極限有什么關(guān)系？)(mnf)()(xfxfin .Eeaffjn三依測(cè)度收斂函數(shù)列極限的獨(dú)一性 下面的定理闡明：依測(cè)度收斂的可測(cè)函數(shù)序列在幾乎處處相等意義下有獨(dú)一的極限。 定理6 設(shè) 是E上的可測(cè)函數(shù)，假設(shè) ，且 ，那么 證明：由于 所以對(duì)恣意正整數(shù)k，有ffn,)()(xfxfn )()(xgxfn。 .)(

10、)(Eeaxgxf | )()(| )()(| )()(|xgxfxfxfxgxfnn 但因21| )()(|21| )()(|1| )()(|kxgxfxEkxgxfxEkxgxfxEn , 021| )()(|lim21| )(|lim kxgxfxEkxfxmEnnn所以由于故換言之， ，證畢作業(yè)：P78 21，22，0/1| )()(| kxgxfxmE 1,1)()(|)()(|kkxgxfxExgxfxE，0)()(| xgxfxmE.)()(Eeaxgxf 習(xí)題三1、設(shè)f 是E上的可測(cè)函數(shù)，證明：對(duì)恣意實(shí)數(shù)a， 是可測(cè)集。2、設(shè)f 是E上的函數(shù)，證明：f 在E上可測(cè)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)一切

11、有理數(shù)r， 是可測(cè)集。)(|axfxE )(|rxfxE 3、設(shè)f是R1上的可測(cè)函數(shù)，證明：對(duì)恣意常數(shù)a， 仍是R1上的可測(cè)函數(shù)。4、設(shè) 是E上的可測(cè)函數(shù)，證明： 在E上也可測(cè)。5、假設(shè)a,b上的函數(shù) 在恣意線段上可測(cè)，試證它在整個(gè)閉區(qū)間a,b上也可測(cè)。)(axf)(xf)(3xf)(xf6、設(shè)f 是R1上的可測(cè)函數(shù)，證明： 當(dāng) 時(shí)，規(guī)定 都是R1上的可測(cè)函數(shù)。7、設(shè)f 是E上的可測(cè)函數(shù)，證明：i對(duì)R1上的任何開集O，f-1(O)是可測(cè)集；ii對(duì)R1上的任何閉集F，f-1(F)是可測(cè)集；)1(),(),(32xfxfxf0 x0)01( fiii對(duì)R1上的任何 型集或 型集M，f-1(M)是可

12、測(cè)集。8、設(shè) 是E上幾乎處處有限的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，證明對(duì)恣意 存在閉集 ，使 ，而在F上， 有界。GFfmE, , 0 EF )(FEm)(xf9、設(shè) 是E上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)序列.證明：假設(shè)對(duì)恣意 ，都有 那么必有10、證明：假設(shè) 是Rn上的延續(xù)函數(shù)，那么 在Rn的任何可測(cè)子集E上都可測(cè)。11、證明：假設(shè) 是Rn上的可微函數(shù)， nf0 ， | )(|1 nnxfxmE。 .0)(limEeaxfnn )(xf)(xf)(xf 證明 都是Rn上的可測(cè)函數(shù)。12、 設(shè) 是E上的兩個(gè)可測(cè)函數(shù)序列，且 都是E上的有限函數(shù)，證明：i對(duì)恣意實(shí)數(shù)， 假設(shè) ，那么還有), 1(nixfi ,nnhfhfhhffn

13、n,(,hafhafnn , mEii 假設(shè) ,且 在E上幾乎處處不等于0，那么iii13、設(shè) 是E上的可測(cè)函數(shù)， ，那么當(dāng) 且f 是有限函數(shù)，對(duì)恣意 ， ,fhhfnnhhn, mE,fhhfnnnf mEffn0 P 有 (i) (ii)對(duì)E上恣意可測(cè)函數(shù)h，有14、設(shè)f是a,b上的函數(shù)，那么f可測(cè)當(dāng)且僅當(dāng)以下幾個(gè)條件之一成立。ppnff|ppnhfhf| i存在多項(xiàng)式序列 ，在a,b上， ii假設(shè) ，存在三角多項(xiàng)式序 列 ，在 上15、設(shè)f 是R1上的可測(cè)函數(shù)，且在某個(gè)點(diǎn) to處延續(xù)，假設(shè)對(duì)恣意 有 )(xPn. eafpn)2 , 0(, banT,ba.)()(eaxfxTn,121Rtt 證明必有常數(shù)c，使得 。16、Egoroff定理中的條件 能否去 掉？17、設(shè) ， 是E上幾乎處處有限 的可測(cè)函數(shù)序列，假設(shè) ，)()()(2121tftfttf cttf )( mEnf mE.0)(Eeaxfn 試證存在E的可測(cè)子集列 使 ，且 ， 而在每個(gè) 上， 都一致收斂到0。 18、證明恣意有界閉集上