集合知識(shí)點(diǎn)匯總與練習(xí)

1、1.1.1 集合的含義與表示集合與元素1. 集合是由元素組成的集合通常用大寫字母 A、B、C,表示，元素常用小寫字母 a、b、c,表示。2. 集合中元素的屬性(1) 確定性：一個(gè)元素要么屬于這個(gè)集合, 要么不屬于這個(gè)集合, 絕無模棱兩可的情況。(2) 互異性：集合中的元素是互不相同的個(gè)體,相同的元素只能出現(xiàn)一次。(3) 無序性：集合中的元素在描述時(shí)沒有固定的先后順序。3. 元素與集合的關(guān)系(1) 元素a是集合A中的元素，記做a A,讀作“ a屬于集合A”(2) 元素a不是集合A中的元素，記做a?A,讀作“ a不屬于集合A”4. 集合相等 如果構(gòu)成兩個(gè)集合的元素一樣,就稱這兩個(gè)集合相等,與元素的

2、排列順序無關(guān)。集合的分類1. 有限集：集合中元素的個(gè)數(shù)是可數(shù)的,只含有一個(gè)元素的集合叫單元素集合；2. 無限集：集合中元素的個(gè)數(shù)是不可數(shù)的；3. 空集：不含有任何元素的集合,記做 ?.集合的表示方法1. 常用數(shù)集( 1 )自然數(shù)集：又稱為非負(fù)整數(shù)集,記做 N；(2) 正整數(shù)集：自然數(shù)集內(nèi)排除0的集合，記做 出或心；(3) 整數(shù)集：全體整數(shù)的集合,記做 Z(4) 有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合,記做 Q(5) 實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)的集合,記做 R3. 集合的表示方法(1)自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾?。如大于等?2且小于等于 8的偶數(shù)構(gòu)成的集合(2) 列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號(hào)

3、“ ”括起來表示集合的方法， 一般適用于元素個(gè)數(shù)不多的有限集，簡(jiǎn)單、明了，能夠一目了然地知道集合中的元素是什么。注意事項(xiàng)：元素間用逗號(hào)隔開；元素不能重復(fù)；元素之間不用考慮先后順序；元素較多且有規(guī)律的集合的表示：0,1,2,3，100表示不大于100的自然數(shù)構(gòu)成的集 合。(3) 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是x I | p(x) 注意事項(xiàng)：寫清楚該集合中元素的代號(hào)；說明該集合中元素的性質(zhì)；不能出現(xiàn)未被說明的字母；多層描述時(shí)，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”、“或”；所有描述 的內(nèi)容都要寫在集合符號(hào)內(nèi)；語句力求簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確。(4) 圖示法：主要包括 Venn圖(韋恩圖)、數(shù)軸上的區(qū)間等

4、。韋恩圖法：畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個(gè)集合的方法，常用于直觀表示集合間的關(guān)系。4. 列舉法和描述法之間的相互轉(zhuǎn)換(1) 列舉法轉(zhuǎn)換為描述法：找出集合中元素的共同特征，用描述法來表示。(2) 描述法轉(zhuǎn)換為列舉法：一般為方程的解集、特殊不等式的解集等。【隨堂練一練】一選擇題1. 下列每組對(duì)象可構(gòu)成一個(gè)集合的是(A) 中國(guó)漂亮的工藝品(C)高一數(shù)學(xué)第一張的所有難題2. 下列說法正確的是()(A) 1,2 ，2,1 是兩個(gè)不同的集合(C) x Qb ?是有限集X3. 已知 a= v3，A = x|x > 2，貝U (A) a?A(B) a A)(B) 與1非常接近的數(shù)(D)不等式2x

5、+3> 1的解(B) 0與 0表示同一個(gè)集合(D) x|x Q且x2 + x+ 2 = 0是空集)(C) a = A(D) a?a4. 已知集合S中含有三個(gè)元素且為 ABC的三邊長(zhǎng)，那么 ABC 定不是 ()(A)銳角三角形(B)直角三角形(C)鈍角三角形(D)等腰三角形5. 下列各組集合中，表示同一集合的是()(A) M=(3,2),N=(2,3)(B) M=2,3,N = 3,2(C) M=(x,y)|x +y = 1,N=y| x+y =1(D) M=(3,2),N= (2,4)6. 用列舉法表示集合x|x 2 - 3x + 2 = 0為(A) (1,2)(B) (2,1)(C)1

6、,2(D) x2 - 3x + 2 = 0(Cx| - 3 < ?< 11, x = 2k, k ?(D) x| - 3 < ?< 11, x= 2k, k ?a8. 設(shè)a, b都是非零實(shí)數(shù)，c > 0, y= - +二可能取的值組成的集合為()(A) 3(B) 3,2,1(C) 3,1 , -1(D) 3, -17. 由大于-3且小于11的偶數(shù)組成的集合是(B) x| - 3 < ?< 11(A) x| - 3 < ?< 11，x ?填空題個(gè)元素。9. 由實(shí)數(shù)x, -x , VxX，-所組成的集合里最多有10. 用列舉法表示集合A = x

7、|x ? 三 ?= 11. 集合1,a,b與-1,-b,1是同一集合，則 a=b = 12. 用符號(hào)“？填空：(1) 0 ? ,v2 Z3v2 x|x > 4(2) 5 x|x = n2 + 1, x ?(-1,1 ) _L y|y = x2(-1,1 ) (x,y)|y = x2三解答題13. 已知 M =2,a,b,N =2a,a, b2,且 M=N 試求 a 和 b 的值.14. 已知集合 M = - 2, 3x2 + 3x- 4, x2 + x - 4,若 2M，求 x.15. 已知集合A= x|ax 2 - 3x+ 2 = 0.若A是單元素集合，求a的值及集合A.1.1.2集合

8、間的基本關(guān)系一子集1. 子集定義的三種語言 文字語言：對(duì)于兩個(gè)集合 A和B,如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，則稱集合A是集合B的子集，記作A?B(或A?B),讀作集合B含于集合A(或集合B包含集合A)。 符號(hào)語言：對(duì)于任意aS,都有aB,則稱集合A是集合B的子集。 圖形語言：Venn圖若集合A是集合B的子集，可用右圖來表示兩集合之間的關(guān)系。任何一個(gè)集合是它本身的子集。2. 集合相等如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合 B中的元素，同時(shí)集合B中的任何一個(gè)元素都是集合A中的元素，則稱集合 A等于集合B,記作A=B (A?B且B?A?A=B3. 真子集如果集合A是集合B的子集，并且B中至少

9、有一個(gè)元素不屬于 A，則稱集合A為集合B的 真子集，記作A B或B A (若A?B，且A工B，則集合A是集合B的真子集)4. 子集的性質(zhì) A?A,即任何一個(gè)集合都是它本身的子集 如果A?B, B?A,那么A= B 如果A?B, B?C,那么A?C 如果A B, B C,那么A C二 空集1. 不含任何元素的集合叫做空集，記作 ?.2. 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。3. 0 、0、?與?之間的關(guān)系0刊0工？工?00? 0? ?三 有限集合的子集的個(gè)數(shù)1. n個(gè)元素的集合有2n個(gè)子集2. n 個(gè)元素的集合有 2n - 1個(gè)真子集3. n 個(gè)元素的集合有 2n - 1個(gè)非空子集4.

10、 n 個(gè)元素的集合有 2n - 2個(gè)非空真子集隨堂練一練 】選擇題1. 下列命題中，正確的有 () 空集是任何集合的真子集 若A B, BC,則A C 任何一個(gè)集合均有兩個(gè)或兩個(gè)以上的真子集 如果凡不屬于B的元素也不屬于A,則A?B（A）（B）（C）（D）2. 集合M=1,2,3的真子集的個(gè)數(shù)是（）（A）6（ B）7（ C）8（ D）93. 已知1,2 ?M 1,2,3,4，則符合條件的集合M的個(gè)數(shù)是（）（A）3（ B）4（ C）6（ D）84. 已知M=y ?|?= |? , N= x ?|x= N2，則下列關(guān)系中正確的是（）（A） N M（B） M= N（C） MN（ D） M N5. 下

11、列六個(gè)關(guān)系式中：a , b=b , a；a , b?b , a；?= ?；0 =?；? 0；0 0，其中正確的個(gè)數(shù)是（）（A） 1（ B） 3（C） 4（D） 6二填空題6. 已知集合2x, x2- x有且只有4個(gè)子集，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為 7. 設(shè) A= x|1 < ?< 2, B = x|x - a < 0，若 A B,則 a 的取值范圍為 8. 若集合A= x2 + ax + 3= 0為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 三解答題A9. 設(shè)集合 A=1,2,3,B=x|x?A,求集合 B.10. 已知集合 A = x|x 2 - 3x + 2 = 0, B = x|x 2 -

12、mx + m - 1 = 0，若 B?A,求實(shí)數(shù) m的 取值范圍.11. 設(shè)集合 A=1,a,b,B=a,a2,ab,且 A=B 求實(shí)數(shù) a、b 的值.1.1.3 集合的基本運(yùn)算一并集1. 并集定義的三種語言 文字語言：由所有屬于集合 A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合叫做A和B的并集，記作 AUB. 符號(hào)語言：A UB= x|x A，或x B2. “或”的含義：有三種情況： x A但x?B :x B但x?A :xA 且 x B3. 并集不是兩個(gè)集合所有元素的簡(jiǎn)單拼湊，必須要滿足集合元素的互異性, 出現(xiàn)一次。相同元素只能4. 并集的運(yùn)算性質(zhì):A?(A?B);B?(A? B);A?A=A;A?= A

13、;A UB= B UA;(A UB)?B?A?B(A UB)?A?B?A交集1. 交集定義的三種語言文字語言:由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合叫做A和B的交集，記作A AB.符號(hào)語言:A AB = x|x A，且 x B.圖形語言:Venn 圖2. “所有”的含義：A AB中的任一元素都是A和B的公共元素，A和B的公共元素都屬于A AB.3. 當(dāng)A和B沒有公共元素時(shí)，不能說 A和B沒有交集，而是A AB=?4. 交集的運(yùn)算性質(zhì):(A AB)?A;(A AB)?B;A AA= A; A A?=?; A?B = B?A;補(bǔ)集A?B = B?A?B; A?B = A ?B?A1. 全集：

14、如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，就稱這個(gè)集合為全集,般用字母U表示。全集是相對(duì)的，因研究問題而異。2. 補(bǔ)集定義的三種語言:A的所有元素組成的集合稱為集文字語言：對(duì)于一個(gè)集合 A,由全集U中不屬于集合合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集。符號(hào)語言：？UA = x|x U，且x?A 圖形語言：Venn圖3. 補(bǔ)集是相對(duì)于全集存在的，研究一個(gè)集合的補(bǔ)集之前一定要明確其所對(duì)應(yīng)的全集。4. 若x U，則x 人和x ?二者必居其一。5. 補(bǔ)集運(yùn)算性質(zhì)： A U(?0)=U; A G?=?:?U ?0=A;?U (A U =?uA n?B ; ?U (A ° =?uA U?

15、B【隨堂練一練】選擇題1. 已知集合 A=x|(x- 1)?(x+2)=0，集合 B= x|(x+ 2)?(x- 3)=0，則集合 A U B是()(A) -1,2,3(B)-1,-2,3(C)1,-2,3( D) 1,2-32. 設(shè)集合 M = m?p3<?< 2,N= n ?-1 < n <3，則MnN =()(A) 0,1(B)-1,0,1(C)0,1,2( D) -1,0,1,23. 若集合 A=1,3,x, B = 1, x2, A U B=1,3,x，則滿足條件的實(shí)數(shù) x 有( )(A) 1 個(gè)(B) 2 個(gè)(C) 3個(gè)(D) 4個(gè)4. 已知集合 M = y

16、|y = x2 + 1，x ? N = y|y = x+ 1，x ?,則 M nN等于()(A) (0,1),(1,2)(B) (0,1),(1,2)(C) y|y=1 或 y=2(D) y|y > 15.已知全集U=2,5,8，且?u A= 2,則集合A的真子集的個(gè)數(shù)為（)(A) 3(B) 4(C) 5(D)66.已知全集U=2,3,5，集合 A=2, |a-5|，若?u A = 3，則a的值為()(A) 0(B) 10(C) 0 或 10(D)0 或-10二填空題1. 設(shè)集合A=1,2，則滿足A U B =1,2,3的集合B的個(gè)數(shù)為2. 設(shè)集合 A=(x,y)|x +2y=7,集合 B=(x,y)|x - y=-1，則 A nB= 3. 已知(1,2) A n B, A = (x,y)| y2 = ax + b, B = (x,y)| x2 - ax- b = 0，則 a=，b=4. 已知集合 U=1,2,3,4,5，A=2,3,4，B=4,5，則 A n?B= 三解答題1.設(shè)全集 U=R,集合 A = x|x < 1，或 x> 2，集合 B= x|x < -3，或 x > 1，求