2022年初三數(shù)學一輪復(fù)習知識點串講專題27 菱形與梯形

1、內(nèi)裝訂線學校:_姓名：_班級：_考號：_外裝訂線2022年初三數(shù)學一輪復(fù)習知識點串講專題27 菱形與梯形專題27 菱形與梯形【知識要點】知識點一 菱形菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的性質(zhì)：1、 菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2、菱形的四條邊都相等；幾何描述：四邊形ABCD是菱形 AB=BC=CD=AD3、菱形的兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角。幾何描述：四邊形ABCD是菱形 ACBD,AC平分BAD, CA平分BCD，BD平分CBA，DB平分ADC3、菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，菱形的對稱中心是菱形對角線的交點，菱形的對稱軸是菱形對角線所在的直線，菱形

2、的對稱軸過菱形的對稱中心。菱形的判定：1、A對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。2、四條邊相等的四邊形是菱形。3、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。菱形的面積公式：菱形ABCD的對角線是AC、BD，則菱形的面積公式是：S底×高，S知識點二 梯形梯形的定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形；有一個角是直角的梯形叫直角梯形；有兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形.等腰梯形性質(zhì)：1）等腰梯形的兩底平行，兩腰相等；2）等腰梯形的同一底邊上的兩個角相等；3）等腰梯形的兩條對角線相等；4）等腰梯形是軸對稱圖形（底邊的中垂線就是它的對稱軸）。等腰梯形判定：1）兩腰相等的梯形是等腰梯形；2）同一底邊

3、上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；3）對角線相等的梯形是等腰梯形。梯形的面積公式：面積=12×（上底+下底）×高解決梯形問題的常用方法（如下圖所示）：1）“作高”：使兩腰在兩個直角三角形中；2）“移對角線”：使兩條對角線在同一個三角形中；3）“延長兩腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個三角形；4）“等積變形”：連接梯形上底一端點和另一腰中點，并延長交下底的延長線于一點，構(gòu)成三角形并且這個三角形面積與原來的梯形面積相等.5）平移腰。過上底端點作一腰的平行線，構(gòu)造一個平行四邊形和三角形。6）過上底中點平移兩腰?！究疾轭}型】考查題型一 探索菱形的性質(zhì)典例1（2020·湖北黃岡市&#

4、183;中考真題）若菱形的周長為16，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)之比為（ ）ABCD【答案】B【提示】如圖，AH為菱形ABCD的高，AH2，利用菱形的性質(zhì)得到AB4，利用正弦的定義得到B30°，則C150°，從而得到C：B的比值【詳解】解：如圖，AH為菱形ABCD的高，AH2，菱形的周長為16，AB4，在RtABH中，sinB，B30°，ABCD，C150°，C：B5：1故選：B變式1-1（2020·甘肅金昌市·中考真題）如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構(gòu)成，根據(jù)實際需要可以調(diào)節(jié)間的距離，若間的距離調(diào)節(jié)到60，菱形的邊長，則

5、的度數(shù)是（ ）ABCD【答案】C【提示】如圖（見解析），先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)全等的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得【詳解】如圖，連接AC四邊形ABCD是菱形如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構(gòu)成，是等邊三角形故選：C變式1-3（2020·貴州貴陽市·中考真題）菱形的兩條對角線長分別是6和8，則此菱形的周長是（ ）A5B20C24D32【答案】B【提示】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，利用對角線的一半，根據(jù)勾股定理求出菱形的邊長，再根據(jù)菱形的四條邊相等求出周長即可【詳解】解：如圖所示，根據(jù)題意得AO，BO，四邊形AB

6、CD是菱形，ABBCCDDA，ACBD，AOB是直角三角形，AB，此菱形的周長為：5×420故選：B變式1-4（2020·黑龍江鶴崗市·中考真題）如圖，菱形的對角線、相交于點，過點作于點，連接，若，則菱形的面積為（ ）A72B24C48D96【答案】C【提示】根據(jù)菱形的性質(zhì)得O為BD的中點，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得BD的長度，最后由菱形的面積公式求得面積【詳解】解：四邊形是菱形，菱形的面積.故選：C.變式1-4（2020·山東日照市·中考真題）已知菱形的周長為8，兩鄰角的度數(shù)比為1：2，則菱形的面積為（）A8B8C4D2【答

7、案】D【提示】根據(jù)菱形的性質(zhì)和菱形面積公式即可求出結(jié)果【詳解】解：如圖，兩鄰角度數(shù)之比為1：2，兩鄰角和為180°，ABC60°，BAD120°，菱形的周長為8，邊長AB2，菱形的對角線AC2，BD2×2sin60°2，菱形的面積ACBD×2×22故選：D變式1-5（2020·貴州遵義市·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB5，AC6，過點D作DEBA，交BA的延長線于點E，則線段DE的長為（）ABC4D【答案】D【提示】利用菱形的面積等于兩對角線之積的一半，求解菱形的面積，再利用等面積法求菱形的高即可

8、【詳解】解：記AC與BD的交點為，菱形, 菱形的面積 菱形的面積 故選D考查題型二 證明四邊形是菱形典例2（2020·湖南婁底市·中考真題）如圖，中，分別在邊、上的點E與點F關(guān)于對稱，連接、（1）試判定四邊形的形狀，并說明理由；（2）求證：【答案】（1）四邊形為菱形，理由詳見解析；（2）詳見解析【提示】（1）根據(jù)題意可證明，再由可得到四邊形是菱形；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可求解【詳解】解：（1）四邊形為菱形，理由如下 由可得，從而 設(shè)與相交于點O點E與點F關(guān)于對稱且 在和中 ，又四邊形為菱形，（2），據(jù)（1）C 又 變式2-1（2020·山東濱州市

9、·中考真題）如圖，過ABCD對角線AC與BD的交點E作兩條互相垂直的直線，分別交邊AB、BCCD、DA于點P、M、Q、N（1）求證：PBEQDE；（2）順次連接點P、M、Q、N，求證：四邊形PMQN是菱形【答案】（1）見解析；（2）見解析【提示】（1）由ASA證PBEQDE即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出EP=EQ，同理BMEDNE（ASA），得出EM=EN，證出四邊形PMQN是平行四邊形，由對角線PQMN，即可得出結(jié)論【詳解】（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，EB=ED，ABCD，EBP=EDQ，在PBE和QDE中，PBEQDE（ASA）；（2）證明：如圖所示：PBEQDE

10、，EP=EQ，同理：BMEDNE（ASA），EM=EN，四邊形PMQN是平行四邊形，PQMN，四邊形PMQN是菱形變式2-2（2020·江蘇宿遷市·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)在AC上，且AF=CE求證：四邊形BEDF是菱形【答案】見解析【提示】由正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD=BC，DAE=BAE=BCF=DCF=45°，由“SAS”可證ABEADE，BFCDFC，ABECBF，可得BE=BF=DE=DF，可得結(jié)論【詳解】四邊形ABCD是正方形，AB=AD=CD=BC，DAE=BAE=BCF=DCF=45°，在ABE和ADE中，ABE

11、ADE（SAS），BE=DE，同理可得BFCDFC，可得BF=DF，AF=CE，AF-EF=CE-EF，即AE=CF，在ABE和CBF中，ABECBF（SAS），BE=BF，BE=BF=DE=DF，四邊形BEDF是菱形考查題型三 菱形性質(zhì)與判定的綜合典例3（2020·黑龍江綏化市·中考真題）如圖，在中，為斜邊的中線，過點D作于點E，延長至點F，使，連接，點G在線段上，連接，且下列結(jié)論：；四邊形是平行四邊形；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）A1個B2個C3個D4個【答案】D【提示】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)知DA=DB=DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合菱形的判定定理可證得四邊形ADCF為菱

12、形，繼而推出四邊形DBCF為平行四邊形，可判斷；利用鄰補角的性質(zhì)結(jié)合已知可證得CFE =FGE，即可判斷；由的結(jié)論可證得FEGFCD，推出，即可判斷【詳解】在中，為斜邊的中線，DA=DB=DC，于點E，且，AE=EC，四邊形ADCF為菱形，F(xiàn)CBD，F(xiàn)C=AD=BD，四邊形DBCF為平行四邊形，故正確；DF=BC，DE=BC，故正確；四邊形ADCE為菱形，CF=CD，CFE=CDE，CDE+EGC=180，而FGE+EGC=180，CDE=FGE，CFE =FGE，EF=EG，故正確；CDF=FGE，CFD=EFG，F(xiàn)EGFCD，即，BC =DF，故正確；綜上，都正確，故選：D變式3-1（20

13、20·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：（1）分別以點為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點（點M在的上方）；（2）作直線交于點O，交于點D；（3）用圓規(guī)在射線上截取連接，過點O作，垂足為F，交于點G下列結(jié)論：；若，則四邊形的周長為25其中正確的結(jié)論有（ ）A1個B2個C3個D4個【答案】D【提示】證明四邊形ADBE是菱形，推出FG是ACD的中位線，即可得到，由此判斷；根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD=BD，再利用RtACD得到，即可判斷；根據(jù)FG是ACD的中位線，證得，即可判斷；設(shè)OA=x，則OF=9-x，根據(jù)，求出OA=5得到AB=10，BC=8，再根據(jù)，求出BD=，即可判

14、斷.【詳解】由題意知：MN垂直平分AB，OA=OB，EDAB，OD=OE，四邊形ADBE是菱形，OFBC，AF=CF，F(xiàn)G是ACD的中位線，故正確；四邊形ADBE是菱形，AD=BD，在RtACD中，, ，故正確；FG是ACD的中位線，點G是AD的中點，故正確；AC=6，AF=3，設(shè)OA=x，則OF=9-x，解得x=5，AB=10，BC=8，解得BD=，四邊形的周長為.故選：D.變式3-2（2020·四川南充市·中考真題）如圖，面積為S的菱形ABCD中，點O為對角線的交點，點E是線段BC單位中點，過點E作EFBD于F，EGAC與G，則四邊形EFOG的面積為（ ）ABCD【答案

15、】B【提示】由菱形的性質(zhì)得出OAOC，OBOD，ACBD，SAC×BD，證出四邊形EFOG是矩形，EFOC，EGOB，得出EF、EG都是OBC的中位線，則EFOCAC，EGOBBD，由矩形面積即可得出答案【詳解】解：四邊形ABCD是菱形，OAOC，OBOD，ACBD，SAC×BD，EFBD于F，EGAC于G，四邊形EFOG是矩形，EFOC，EGOB，點E是線段BC的中點，EF、EG都是OBC的中位線，EFOCAC，EGOBBD，矩形EFOG的面積EF×EGAC×BD =S；故選：B變式3-3（2019·廣東中考真題）已知菱形，是動點，邊長為4，

16、 ，則下列結(jié)論正確的有幾個（ ）； 為等邊三角形 若，則A1B2C3D4【答案】D【提示】易證ABC為等邊三角形，得AC=BC，CAF=B，結(jié)合已知條件BE=AF可證BECAFC；得FC=EC，F(xiàn)CA=ECB，得FCE=ACB，進而可得結(jié)論；證明AGE=BFC則可得結(jié)論；分別證明AEGFCG和FCGACF即可得出結(jié)論.【詳解】在四邊形是菱形中，ABC為等邊三角形，又，故正確；，F(xiàn)CE=ACB=60°,為等邊三角形，故正確；AGE+GAE+AEG=180°，BEC+CEF+AEG=180°，又CEF=CAB=60°,BEC=AGE，由得，AFC=BEC，A

17、GE=AFC，故正確；AEG=FCGAEGFCG，AGE=FGC，AEG=FCGCFG=GAE=FAC，ACFFCG， AF=1，BE=1，AE=3，故正確. 故選D.考查題型四 探索梯形的性質(zhì)典例4（2019·廣東茂名市·九年級一模）如下圖所示，在梯形中，已知，的面積為，則梯形的面積是（ ）A60B70C80D90【答案】C【提示】設(shè)ABO的面積為S，由梯形的性質(zhì)可得，SCDO=9S，由ABCD可得SABDSACD= ，SACD=3（15+S），又SACD= SADO+ SCDO=15+9S，得到方程，求得S的值，即可求得梯形的面積【詳解】解：設(shè)ABO的面積為S，SABD

18、= SABC，SAOD= SBOC=15，ABCD，SABOSCDO=，SCDO=9S，ABCD，SABDSACD= ，SACD=3（15+S），又SACD= SADO+ SCDO=15+9S，3（15+S）=15+9S，解得：S=5cm2，S梯形ABCD= SADO+ SAOB+ SCOD+ SBOC=15+S+9S+15=80（cm2），故答案為：C考查題型五 梯形性質(zhì)與判定的綜合典例5（2020·江蘇南通市模擬）如圖，梯形ABCD中，ADBC，BAADDC，點E在CB延長線上，BEAD，連接AC、AE 求證：AEAC； 若ABAC， F是BC的中點，試判斷四邊形AFCD的形狀，

19、并說明理由【答案】（1）見解析；（2）四邊形AFCD是菱形，理由見解析【提示】（1）首先連接BD，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得AC=BD，易得四邊形AEBD是平行四邊形，由平行四邊形的對邊相等，即可得AE=BD，繼而證得結(jié)論；（2）由ABAC，F(xiàn)是BC的中點，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，易求得ACB=30°，繼而可證得AF=FC=CD=AD，則可判定四邊形AFCD是菱形【詳解】（1）連接BD梯形ABCD是等腰梯形 ACBD BEAD， ADBC 四邊形AEBD是平行四邊形 AEBD， AEAC （2）四邊形AFCD是菱形， 理由是：ABAC， F是BC的中點AFCF，F(xiàn)ACFCAADDC，DAC

20、DCA ADBC，DACFCA DCAFAC AFDC ADBC，AFDC 四邊形AFCD是平行四邊形 又ADDC四邊形AFCD是菱形變式5-1（2020·上海楊浦區(qū)·九年級一模）如圖，已知在梯形ABCD中，AB/CD，AB=12，CD=7，點E在邊AD上，過點E作EF/AB交邊BC于點F.（1）求線段EF的長；（2）設(shè)，聯(lián)結(jié)AF，請用向量表示向量. 【答案】（1）9；（2）【提示】(1)過D作BC的平行線分別交EF于M，AB于G，由DE：AE=2：3，即可求得，然后在梯形ABCD中，ABCD，AB=12，CD=7，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得EF的長(2)根據(jù)（1

21、）中的比例關(guān)系寫出向量即可.【詳解】解：(1) 過D作BC的平行線分別交EF于M，AB于G，,.又EFAB，ABCD，AB=12，CD=7，CD=MF=GB=7，AG=5.EM=AG=2.EF=EM+MF=9(2) AB=a，由（1）知，AE=35AD=35b,EF=912AB=34a,AF=AE+EF=35b+34a.變式5-2（2020·陜西九年級零模）某高中學校為高一新生設(shè)計的學生板凳的正面視圖如圖所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40cm、8cm為使板凳兩腿底端A、D之間的距離為50cm，那么橫梁EF應(yīng)為多長？（材質(zhì)及其厚度

22、等暫忽略不計）【答案】44cm【解析】解：如圖，設(shè)BM與AD相交于點H，CN與AD相交于點G，由題意得，MH=8cm，BH=40cm，則BM=32cm，四邊形ABCD是等腰梯形，AD=50cm，BC=20cm，EFCD，BEMBAH，即，解得：EM=12EF=EMNFBC=2EMBC=44（cm）答：橫梁EF應(yīng)為44cm根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得AH=DG，EM=NF，先求出AH、GD的長度，再由BEMBAH，可得出EM，繼而得出EF的長度變式5-3（2020·景縣模擬）（材料學習）小學里已經(jīng)學過：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形稱為梯形，平行的一組對邊稱為底，不平行的一組對邊稱

23、為腰如圖（1），在等腰三角形紙片上，畫底邊的平行線可得到一個梯形由可知，于是，又，從而定義：像梯形，兩腰相等的梯形稱為等腰梯形幾何語言：如圖（1），在梯形中，梯形是等腰梯形如果把圖（1）的等腰三角形紙片沿頂角平分線折疊，那么與重合，由于，可知點與點重合，如圖（）2，于是由此，我們可以得到如下結(jié)論：（1）等腰梯形是軸對稱圖形，過兩底中點的直線是它的對稱軸，（2）等腰梯形在同一底上的兩個角相等，（3）等腰梯形的對角線相等（探究歸納）利用等腰梯形與等腰三角形的內(nèi)在聯(lián)系，我們還可以研究：具備什么條件的梯形是等腰梯形?（1）如圖（3），在梯形中，求證：梯形是等腰梯形；歸納提煉1通過（1）的證明可知： _

24、的梯形是等腰梯形；（2）如圖（4），在梯形中，求證：梯形是等腰梯形歸納提煉2：通過（2）證明可知：_ _的梯形是等腰梯形；【答案】（1）詳見解析；在同底邊上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；（2）梯形是等腰梯形；歸納通過（2）的證明可知：對角線相等的梯形是等腰梯形；【提示】（1）分別延長交于點，由平行線的性質(zhì)可得：EADB，EDAC，根據(jù)已知條件和等角代換可得：EADEDA，由等角對等邊的性質(zhì)可得：EAED，根據(jù)線段和差可得ABCD，進而即可求證結(jié)論；（2）過點作的平行線交的延長線于點，易證，由全等三角形的性質(zhì)和等量代換可得：DEBD，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)和等角代換可得：DBCACB，進而由全等三

25、角形的判定可證ACBDBC，進而可得：ABCD，進而即可求證結(jié)論【詳解】解：（1）如圖（1），分別延長交于點， 在梯形中，梯形是等腰梯形；歸納提煉1：通過（1）的證明可知：在同底邊上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；（2）如圖（2），過點作的平行線交的延長線于點，易證，可證得，梯形是等腰梯形；歸納提煉1：通過（2）的證明可知：對角線相等的梯形是等腰梯形；考查題型六 利用輔助線解決梯形計算問題典例6（2019·雷州市模擬）已知等腰梯形的大底等于對角線的長，小底等于高，則該梯形的小底與大底的長度之比是（ ）ABCD【答案】A【提示】先畫出圖形，設(shè)該梯形的小底與大底的長度分別為，利用勾股定理求

26、得與之間的關(guān)系，從而求出梯形的小底與大底的長度比【詳解】解：設(shè)該梯形的小底與大底的長度分別為，過點作，交的延長線于點，四邊形是平行四邊形，由勾股定理得，即，整理得，利用十字相乘法分解因式得或即或為線段的長，即，故選：變式6-1（2020·石家莊市模擬）如圖所示，ABAD于點A，CDAD于點D，C120°若線段BC與CD的和為12，則四邊形ABCD的面積可能是（）A24B30C45D【答案】A【提示】過C作CHAB于H，推出四邊形ADCH是矩形，四邊形ABCD是直角梯形，求得BCH30°，設(shè)BCx，則CD12x，得到AH12x，BHx，CHx，根據(jù)梯形的面積公式和二

27、次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論【詳解】解：過C作CHAB于H，ABAD，CDAD，AADCAHC90°，CDAB，四邊形ADCH是矩形，四邊形ABCD是直角梯形，DCH90°，CDAH，BCD120°，BCH30°，設(shè)BCx，則CD12x，AH12x，BHx，CHx，四邊形ABCD的面積（CD+AB）CH（12x+12x+x）×x，四邊形ABCD的面積（x8）2+24，當x8時，四邊形ABCD的面積有最大值24，即四邊形ABCD的面積可能是24，故選：A變式6-2（2020·湖北隨州市模擬）從正五邊形的五個頂點中，任取四個頂點連成四邊形，則

28、這個四邊形是等腰梯形的概率是（ ）A1B C D0【答案】A【提示】先得出從正五邊形的五個頂點中，任取四個頂點連成四邊形，一共有四種情況，再證明這四種情況下得出的四邊形都是等腰梯形，然后根據(jù)概率公式即可得出答案【詳解】解：如圖，從正五邊形ABCD的五個頂點中，任取四個頂點連成四邊形，可得到四邊形BCDE，CDEA，DEAB，EABC，ABCD，一共四種情況連接BE，五邊形ABCDE是正五邊形，BC=DE=CD=AB=AE，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和（n-2）×180°得：A=ABC=C=D=AED=，ABE=AEB=（180°-A）=36°，CBE=ABC-ABE=72°，C+CBE=180°，BECD，四邊形BCDE是等腰梯形同理，可證四邊形CDEA，DEAB，EABC，ABCD也都是等腰梯形，從正五邊形的五個頂點中，任取四個頂點連成四邊形，則這個四邊形是等腰梯形的概率是：=1故選：A變式6-3（2020·江蘇蘇州市模擬）如圖，在梯形ABCD中，ADBC，EF是梯形ABCD的中位線，若BEF的面積為4cm2，則梯形ABCD的面積為（）A8cm2B12cm2C16cm2D20cm2【答案】C【提示】如圖，過A作ANBC于N，交EF于