量子力學(xué)第四版卷一曾謹(jǐn)言著習(xí)題答案解析

1、.WORD.格式.專業(yè)資料.整理分享.第一章量子力學(xué)的誕生1.1設(shè)質(zhì)量為m的粒子在諧振子勢V(x)122x中運(yùn)動(dòng)，用量子化條件求粒子能量E的可能取值。提示：利用：p dx 二 nh, n =1,2， p = 2mE-V（x）解：能量為E的粒子在諧振子勢中的活動(dòng)范圍為x wa（ 1）1其中a由下式?jīng)Q定：E =V （x）= -m 2a2。由此得a = .2E/m 2(2)x = _a即為粒子運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。有量子化條件pdx=22m( E_aa2m i a2 - x2dx 二 2m a2-am ：a2 二 nh2(3)代入（2），解出En 二n ,n =1,2,3,( 2積分公式：f Ja2 -u2

2、du = UFa2 -u2 + arcsin+c22a1.2設(shè)粒子限制在長、寬、咼分別為a, b,c的箱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，試用量子化條件求粒子能量的可能取值。解：除了與箱壁碰撞外，粒子在箱內(nèi)作自由運(yùn)動(dòng)。假設(shè)粒子與箱壁碰撞不引起內(nèi)部激發(fā)，則碰撞為彈性碰撞。動(dòng)量大小不改變，僅方向反向。選箱的長、寬、高三個(gè)方向?yàn)閤, y, z軸方向，把粒子沿 x, y, z軸三個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)分開處理。利用量子化條件，對于x方向，有. Px dx = nxh , b =1,2,3,Px 2a = nxh（ 2a :一來一回為一個(gè)周期）Px 二 nxh/2a ,同理可得,Py = nyh/2b,pz = nzh/2c,nx, ny

3、, nz h ,2,3,粒子能量"2 J 2、nxnynz+ 2. 2 2a b c2 -21, 2 2 2. " Enxnynz( px p y pz )=x y z 2m2mnx，ny,nz =1,2,3/1.3設(shè)一個(gè)平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，求能量的可能取值。2兀2提示：利用=nh, n= 1,2，p(p是平面轉(zhuǎn)子的角動(dòng)量。轉(zhuǎn)子的能量E= p(p/2l。解：平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角(角位移)記為 :。它的角動(dòng)量p = I '(廣義動(dòng)量)，P :是運(yùn)動(dòng)慣量。按量子化條件2I p dx = 2二 p 二 mhm =1,23p = mh，因而平面轉(zhuǎn)子的能量Em 二 p2/2I

4、二m2 2/2l，m =1,2,3,B,求粒子能量允許值.1.4有一帶電荷e質(zhì)量m的粒子在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，垂直于平面方向磁場是(解)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中作勻速圓周運(yùn)動(dòng) 單位，洛倫茲與向心力平衡條件是：,設(shè)圓半徑是r ,線速度是v,用高斯制2Bev mv(1)又利用量子化條件，令p二電荷角動(dòng)量q二轉(zhuǎn)角2 JI:pdq 二 ° mrvd= 2：mrv = nh (2)即 mrv = nh (3)1 Re卉 n由(2)求得電荷動(dòng)能=mv :2 2mc再求運(yùn)動(dòng)電荷在磁場中的磁勢能，按電磁學(xué)通電導(dǎo)體在磁場中的勢能磁矩士 =電流*線圈面積*場強(qiáng)=evr , v是電荷的旋轉(zhuǎn)頻率，vv，代入前式得2二

5、r運(yùn)動(dòng)電荷的磁勢能=en （符號是正的）2mc Ben點(diǎn)電荷的總能量=動(dòng)能+磁勢能=E=（ n = 1,2,3 ）2mc1.5 , 1.6未找到答案1.7（ 1）試用Fermat最小光程原理導(dǎo)出光的折射定律n 1si n： 1 二 n2s in：（2）光的波動(dòng)論的擁護(hù)者曾向光的微粒論者提出下述非難:如認(rèn)為光是粒子，則其運(yùn)動(dòng)遵守最小作用量原理射定律:pdl =0認(rèn)為p = mv則：pdl =0這將導(dǎo)得下述折p = Ev仍就成立,cE是粒子能量，從一種n1sin ： 3 二 n3 sin： 1這明顯違反實(shí)驗(yàn)事實(shí)，即使考慮相對論效應(yīng)，則對自由粒子: 媒質(zhì)到另一種媒質(zhì) E仍不變，仍有' pd0

6、，你怎樣解決矛盾?（解）甲法：光線在同一均勻媒質(zhì)中依直線傳播，因此自定點(diǎn)A到定點(diǎn)B的路徑是兩段直線：光程I = n1AQ n2QB設(shè)A, B到界面距離是a,b（都是常量）有I 和 1ase 1 n2bsec： 2又AB沿界面的投影c也是常數(shù)，因而:-1，: 2存在約束條件:atg ： r btg ： 2 二 c（ 2）求（1）的變分，而將1 ,2看作能獨(dú)立變化的，有以下極值條件I 二 n sec：n2bsec 2tg： 2d： 2=° 22匸再求（2）的變分 asec rd1 bsec 2d2 二 0與消去1和d 2得niSin ： 1 二 n2Sin： 2(5)乙法見同一圖，取x為

7、變分參數(shù),取0為原點(diǎn)，則有I =na2X2. b2(c_x2)求此式變分，令之為零，有：這個(gè)式子從圖中幾何關(guān)系得知n1 x&I 二n1! 2 2a x,就是(5).n 2(c -x)、x22.b (c - x)(2)按前述論點(diǎn)光若看作微粒則粒子速度v應(yīng)等于光波的群速度VG光程原理作、.VGd 0,依前題相速,而Vgc2=cn , n是折射率，n是波前陣面更引起的,而波陣面速度則是相速度vp,這樣最小作用量原理仍可以化成最小光程原理前一非難是將光子的傳播速度V看作相速度 vp的誤解.1.8對高速運(yùn)動(dòng)的粒子(靜質(zhì)量m)的能量和動(dòng)量由下式給出2mcv2(1)2mv試根據(jù)哈密頓量 H = E

8、= , m2c4 - c2p2(3)及正則方程式來檢驗(yàn)以上二式.由此得出粒子速度和德布羅意的群速度相等的關(guān)系.計(jì)算速度并證明它大于光速.(解)根據(jù) 式來組成哈氏正則方程式組：q二qi- 2:H,本題中q巾rv，p> =p,因而丄22cp(4)vm c c p中Jm2c4+c2p2從前式解出p(用v表示)即得到(2).又若將 代入(3),就可得到(1)式.其次求粒子速度 v和它的物質(zhì)波的群速度Vg間的關(guān)系.運(yùn)用德氏的假設(shè)：p =k于 式右方，又用E =于式左方,遍除h:co2c2k(k)按照波包理論，波包群速度 Vg是角頻率丟波數(shù)的一階導(dǎo)數(shù):：m2C4 c2k2I 2c2k24罟-+c2k

9、22C P/2 422m c c p最后一式按照（4）式等于粒子速度 V，因而vg二V。又按一般的波動(dòng)理論，波的相速度vg是由下式規(guī)定VP '（:是頻率）Vpk利用（5）式得知1 24m c丄2V 廠2k2 c c（ 6）故相速度（物質(zhì)波的）應(yīng)當(dāng)超過光速。最后找出Vg和Vp的關(guān)系，將（1）（2）相除，再運(yùn)用德氏波假設(shè):E _' _ c2 _ c2p k VVG(7)補(bǔ)充：1.1設(shè)質(zhì)量為m的粒子在一維無限深勢阱中運(yùn)動(dòng)，&, xvO, x>a V（x）“0,0 < x v a試用de Broglie的駐波條件，求粒子能量的可能取值。解：據(jù)駐波條件，有(n =1,

10、2,3,)又據(jù)de Broglie 關(guān)系而能量 = 2a/nE = p2 /2m = 2 /2m -2.2 2 2 -.2 2h n 二 n2ma2（1）（2）（3）2m 4a2= 1,2,3，1 試用量子化條件，求諧振子的能量1諧振子勢能V (x) m - 2x2 (解)(甲法)可以用 Wils on-Sommefeld的量子化條件式：pdq二nh在量子化條件中,令p = m x為振子動(dòng)量，q = x為振子坐標(biāo)，設(shè)總能量E2 2m ， x+2m 2p = 2m(E -代入公式得2m(E-m；x2)dx = nh量子化條件的積分指一個(gè)周期內(nèi)的位移,可看作振幅 OA的四倍,要決定振幅a ,注意在

11、A或B點(diǎn)動(dòng)能為1 2 20, E m a ,(1)改寫為：2a 2 22 m 、a - x dx 二 nh (2) a積分得：m，£2二二nh乙法也是利用量子化條件，大積分變量用時(shí)間t而不用位移X ,按題意振動(dòng)角頻率為 ，直接寫出位移X ,用 t的項(xiàng)表示：q = x = asi nt求微分：dq 二 dx 二 a cos tdt (4) 求積分：p = m x = ma，cos .t (5) 將(4)(5)代量子化條件：2 2 T 2pdq =ma 國cos cotdt = nh2 -TT是振動(dòng)周期,T=,求出積分，得m a2 二-nhn =1,2,3 正整數(shù),箱的長寬高分別為 a,

12、b,c.#2用量子化條件，求限制在箱內(nèi)運(yùn)動(dòng)的粒子的能量八、/rx丨 '0a*(解)三維問題，有三個(gè)獨(dú)立量子化條件，可設(shè)想粒子有三個(gè)分運(yùn)動(dòng)，每一分運(yùn)動(dòng)是自由運(yùn)動(dòng) .設(shè)粒子與器壁作彈性碰撞，則每碰一次時(shí)，與此壁正交方向的分動(dòng)量變號，此周期中動(dòng)量與位移同時(shí)變號，量(如Px T - px),其余分動(dòng)量不變，設(shè)想粒子從某一分運(yùn)動(dòng)完成一個(gè)周期 子化條件：apxd qnxh =2 Px 0dx =2a Px (1)b1 Pydq廠 nyh =2Py 0dy =2bpy (2)cPzdq nzh =2Pz0dz =2cPz (3)px, py, pz都是常數(shù)，總動(dòng)量平方p=jp： + py +總能量是：2(p"+py2m 2m+ pZ)=>(也2 (£)2 (E)28m a b c但 nx, ny, nz 二 1,2,33平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為求能量允許值.(解)解釋題意：平面轉(zhuǎn)子是個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)體，它的位置由一坐標(biāo)(例如轉(zhuǎn)角)決定，它的運(yùn)動(dòng)是一種