二次函數(shù)復習重點以及根的分布問題

1、初三數(shù)學培優(yōu)卷：二次函數(shù)考點分析二次函數(shù)的圖像拋物線的時候應抓住以下五點:開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.二次函數(shù) y=ax2+bx+c a, b, c 是常數(shù)，a 豐 02一般式： y=ax +bx+c，三個點頂點式：y=a x- h 2+k，頂點坐標對稱軸頂點坐標b2a4ac b24a).頂點坐標h, ka b c作用分析I a |的大小決定了開口的寬窄，丨a |越大，開口越小，|a |越小，開口越大，a, b的符號共同決定了對稱軸的位置，當b=0時，對稱軸x=0，即對稱軸為y軸，當a, b同號時，對稱軸x=<0,2a即對稱軸在y軸左側，當a, b?異號時，對稱軸

2、x= >0，即對稱軸在y軸右側，左同右異y軸為0|2ac?的符號決定了拋物線與 y軸交點的位置，c=0時，拋物線經(jīng)過原點，c>0時，與y軸交于正半軸；c<0時，與y?軸交于負半軸，以上 a, b, c的符號與圖像的位置是共同作用的，也可以互相推出.交點式：y=ax- x ix- x 2,有交點的情況與x軸的兩個交點坐標xi, X2對稱軸為h一元二次方程ax2 bx c 0根的分布情況2 2設方程ax bx c 0 a 0的不等兩根為Xi,X2且 X2，相應的二次函數(shù)為 f x ax bx c 0,方程的根即為二次函數(shù)圖象與 x軸的交點，它們的分布情況見下面各表每種情況對應的均

3、是充要條件表一：兩根與0的大小比擬即根的正負情況兩個負根即兩根都小于 0X 0,x20兩個正根即兩根都大于0x10, x2 0一正根一負根即一個根小于0,一個大于0 %0 x2表二：兩根與k的大小比擬分布情況兩根都小于k即x1k, x2k兩根都大于k即x1 k, x2k一個根小于k，一個大于k即Xik x2o大致圖象<a得出的結論b2a k2ao大致圖象<a得出的結論b2af kb2af k綜合結論不討論ab2ab2aa f k表三：根在區(qū)間上的分布分布情況兩根都在m,n內(nèi)兩根有且僅有一根在 m, n內(nèi)圖象有兩種情況，只畫了一種一根在 m,n內(nèi)，另一根在 p,q內(nèi)，m n p q得

4、出的結論0f m 0f n 0bmn2aO大致圖象<af m 0fn0fmfn0或fp0fpfq0f q 0得出的結論0f m 0f n 0bm 一 n2af m 0fn0f mf n0或fp0f pf q0f q 0綜合結論不討論a根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間m,n夕卜，即在區(qū)間兩側 x-i m, x2 n ,圖形分別如下需滿足的條件是f n 0f n 0對以上的根的分布表中一些特殊情況作說明：(1)兩根有且僅有一根在 m, n內(nèi)有以下特殊情況:1 假設f m0或f n 0，那么此時f m gf n0不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為可以求出另外一根，然后可以根

5、據(jù)另一根在區(qū)間m, n內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值。如方程mx2 m 2 x 2 0、 2 2 2在區(qū)間1,3上有一根，因為f 10,所以mx m 2 x 2 x 1 mx 2，另一根為，由13mm2得 m 2即為所求；32 方程有且只有一根，且這個根在區(qū)間m, n內(nèi)，即0，此時由0可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，求出相應的根，檢驗根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如假設不在，舍去相應的參數(shù)。如方程x2 4mx2m 60有且一根在區(qū)間 3,0內(nèi)，求m的取值范圍。分析：3 gf 00 即14m 150得出 3 m15 ;由1420即16m4 2m 60得出1或m -，當2m 1時,23,0，即1滿足

6、題意；當m |時，根x 33,0，i不滿足題意;綜上分析，得出3m蘭或m14例2、方程2x2m 1 x m 0有兩個不等正實根，求實數(shù) m的取值范圍。例3、二次函數(shù)y_ 2 _ _ _m 2 x 2m 4 x 3m 3與x軸有兩個交點，一個大于 1，一個小于1,求實數(shù)m的取值范圍。例4、二次方程mx22m 3 x 40只有一個正根且這個根小于 1，求實數(shù)m的取值范圍。1.解：由 2m 1 gf 00 即2解：由0m 1 0 2g2f 002m 1 m 18m0,從而得 1 m 1即為所求的范圍。2m 3 2或 m 3 22m 00 m 3 22或m 3 2 2即為所求的范圍。13解：由 m 2 gf 1 0即 m 2 g2m 102 m即為所求的范圍。、 14解：由題意有方程在區(qū)間