江蘇省泰興市高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 3.3 二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題 3.3.3 簡單的線性規(guī)劃問題1教案 蘇教版必修5

1、3.3.3簡單的線性規(guī)劃問題（1）教學(xué)目標(biāo)：1讓學(xué)生了解線性規(guī)劃的意義，以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等概念2讓學(xué)生掌握線性規(guī)劃的圖解法，并會(huì)用圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值與最小值教學(xué)重點(diǎn)：用圖解法求線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)用圖解法求解簡單線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解這一方法的理解和掌握教學(xué)方法：1在學(xué)生的獨(dú)立探究和師生的雙邊活動(dòng)中完成簡單的線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)理論的構(gòu)建，在實(shí)踐中掌握求解簡單的線性規(guī)劃問題的方法圖解法2滲透數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力教學(xué)過程：一、問題情境1情境：我們先考察生產(chǎn)中遇到的一個(gè)問題：（投影）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)1t甲種產(chǎn)

2、品需要a種原料4t、b種原料12t，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1t乙種產(chǎn)品需要a種原料1t、b種原料9t，產(chǎn)生的利潤為1萬元現(xiàn)有庫存a種原料10t，b種原料60t，問如何安排才能使利潤最大？為理解題意，可以將已知數(shù)據(jù)整理成下表：（投影）a種原料（t）b種原料（t）利潤（萬元）甲種產(chǎn)品（1t）4122乙種產(chǎn)品（1t）191現(xiàn)有庫存（t）1060設(shè)計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的噸數(shù)分別為x、y，根據(jù)題意，a、b兩種原料分別不得超過10t和60t，即，即這是一個(gè)二元一次不等式組，此外，產(chǎn)量不可能是負(fù)數(shù),所以于是上述問題轉(zhuǎn)化為如下的一個(gè)數(shù)學(xué)問題：在約束條件下，求出x，y，使利潤（萬元）達(dá)到最大2問題：上述問題

3、如何解決？二、學(xué)生活動(dòng)讓學(xué)生探究解決這個(gè)問題分幾個(gè)步驟；讓學(xué)生分組討論：如何在不等式組確定的區(qū)域中找到取得最大值的數(shù)對(duì)（x，y）；由學(xué)生整理解決這個(gè)問題的思路（投影）首先，作出約束條件所表示的區(qū)域其次，考慮的幾何意義，將變形為，它表示斜率為2，在y軸上截距為p的一條直線平移直線，當(dāng)它經(jīng)過兩直線與的交點(diǎn)a（1.25，5）時(shí)，直線在y軸上的截距p最大因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)1.25t和5t時(shí)，可獲得最大利潤7.5萬元三、數(shù)學(xué)建構(gòu)（投影）1目標(biāo)函數(shù)，線性目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃問題，可行解，可行域，最優(yōu)解 諸如上述問題中，不等式組是一組對(duì)變量x，y的約束條件，由于這組約束條件都是關(guān)于

4、x，y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式，我們把它稱為目標(biāo)函數(shù)由于又是關(guān)于x，y的一次解析式，所以又可叫做線性目標(biāo)函數(shù)另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題例如：我們剛才研究的就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規(guī)劃問題那么，滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域在問題中，可行域就是陰影部分表示的區(qū)域其中可行解（一般是區(qū)域的頂點(diǎn)）分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫

5、做這個(gè)問題的最優(yōu)解2用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟：（1）列出線性約束條件及寫出目標(biāo)函數(shù)；（2）畫出線性約束條件所表示的平面區(qū)域；（3）通過平面區(qū)域求出滿足線性條件下的可行解；（4）用圖形的直觀性求最值；（5）檢驗(yàn)由（4）求出的解是否為最優(yōu)解或符合問題的實(shí)際意義3應(yīng)用線性規(guī)劃的圖解方法，一般必須具備下列條件：（1）能夠?qū)⒛繕?biāo)函數(shù)表示為最大化或最小化的要求；（2）要有不同選擇的可能性存在，即所有可行解不止一個(gè)；（3）所求的目標(biāo)函數(shù)是受條件約束的；（4）約束條件應(yīng)明確地表示為線性不等式或等式；（5）約束條件中所涉及的變量不超過3個(gè)四、數(shù)學(xué)運(yùn)用例1若已知滿足求的最大值和最小值解約束條件，是

6、關(guān)于的一個(gè)二元一次不等式組；目標(biāo)函數(shù)：是關(guān)于的一個(gè)二元一次函數(shù)；可行域：是指由直線和所圍成的一個(gè)三角形區(qū)域（包括邊界）（如圖）；可行解所有滿足即三角形區(qū)域內(nèi)（包括邊界）的點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)數(shù)都是可行解；最優(yōu)解，即可行域內(nèi)一點(diǎn)，使得一組平行線為參數(shù)）中的z取得最大值和最小值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)就是線性規(guī)劃的最優(yōu)解當(dāng)直線，即過三角形區(qū)域，且縱截距取最值時(shí)，z有最值，即目標(biāo)函數(shù)z有最值由圖知，當(dāng)l過b（1,1）點(diǎn)和a（5,2）時(shí)，z有最小值和最大值，例2已知滿足不等式組求使取最大值的整數(shù)的值解不等式組的解集為三直線：所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界），設(shè)與，與，與交點(diǎn)分別為a，b，c，則a，b，c坐標(biāo)分別為作一組平行線平行于，當(dāng)l往l0右上方移動(dòng)時(shí)，t隨之增大，當(dāng)l過c點(diǎn)時(shí)最大為，但不是整數(shù)解又由知x可取1，2，3，當(dāng)x1時(shí)，代入原不等式組得y2， xy1；當(dāng)x2時(shí)，得y0或1， xy2或1；當(dāng)x3時(shí)，y1， xy2故xy的最大整數(shù)解為或練習(xí)：設(shè)，式中x，y滿足條件求z的最大值或最小值五、回顧反思本節(jié)課的主要內(nèi)容為：1目標(biāo)函數(shù)，線性目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃問題、可行解、可行域、最優(yōu)解；2用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟；3應(yīng)用線性規(guī)劃的圖解方法，必須具備的條件我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要