步步高北師大版(數(shù)學(xué)文)2017版大一輪復(fù)習(xí)講義：48解三角形的綜合應(yīng)用[來源：學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)1096192]

1、1仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖)2方向角相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等3方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖)【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180°.(×)(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為0，(×)(3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系()(4)如

2、圖，為了測量隧道口AB的長度，可測量數(shù)據(jù)a，b，進(jìn)行計(jì)算()1海面上有A，B，C三個(gè)燈塔，AB10 n mile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC等于()A10 n mile B. n mileC5 n mile D5 n mile答案D解析如圖，在ABC中，AB10，A60°，B75°，BC5.2若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°，且ACBC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的()A北偏東15° B北偏西15°C北偏東10° D北偏西10°答案B解析如圖所示，ACB90

3、°，又ACBC，CBA45°，而30°，90°45°30°15°.點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西15°.3如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)的高度為海拔18 km，速度為1 000 km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1 min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1 km，參考數(shù)據(jù)：1.732)()A11.4 km B6.6 kmC6.5 km D5.6 km答案B解析AB1 000× km，BC·sin 30° km.航線離山頂h&

4、#215;sin 75°×sin(45°30°)11.4 km.山高為1811.46.6 km.4輪船A和輪船B在中午12時(shí)同時(shí)離開海港C，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25 n mile/h,15 n mile/h，則下午2時(shí)兩船之間的距離是_n mile.答案70解析設(shè)兩船之間的距離為d，則d25023022×50×30×cos 120°4 900，d70，即兩船相距70 n mile.5如圖所示，已知樹頂A離地面米，樹上另一點(diǎn)B離地面米，某人在離地面米的C處看此樹，則該人離此樹_

5、米時(shí)，看A，B的視角最大答案6解析過C作CFAB于點(diǎn)F，設(shè)ACB，BCF，由已知得AB5(米)，BF4(米)，AF9(米)則tan()，tan ，tan ().當(dāng)且僅當(dāng)FC，即FC6(米)時(shí)，tan 取得最大值，此時(shí)取得最大值題型一求距離、高度問題例1(1)如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°，則A，B兩點(diǎn)的距離為()A50 m B50mC25 m D. m(2)(2015·湖北)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，

6、行駛600 m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD_m.答案(1)A(2)100解析(1)由正弦定理得AB50(m)(2)在ABC中，AB600，BAC30°，ACB75°30°45°，由正弦定理得，即，所以BC300.在RtBCD中，CBD30°，CDBCtanCBD300·tan 30°100.思維升華求距離、高度問題應(yīng)注意(1)理解俯角、仰角的概念，它們都是視線與水平線的夾角；理解方向角的概念(2)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他

7、量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(3)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理(1)一船自西向東航行，上午10時(shí)到達(dá)燈塔P的南偏西75°的方向上，距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為_海里/小時(shí)(2)如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點(diǎn)間的距離為60 m，則樹的高度為_m.答案(1)(2)3030解析(1)由題意知，在PMN中，PM68海里，MPN75°45°120°，

8、MNP45°.由正弦定理，得，解得MN34海里，故這只船航行的速度為海里/小時(shí)(2)在PAB中，PAB30°，APB15°，AB60，sin 15°sin(45°30°)sin 45°cos 30°cos 45°sin 30°××，由正弦定理得，PB30()，樹的高度為PB·sin 45°30()×(3030)m.題型二求角度問題例2(1)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察

9、站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的_方向(2)如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m，50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角CAD等于()A30° B45°C60° D75°答案(1)北偏西10°(2)B解析(1)由已知ACB180°40°60°80°，又ACBC，AABC50°，60°50°10°，燈塔A位于燈塔B的北偏西10°.(2)依題意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以

10、在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0°<CAD<180°，所以CAD45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.思維升華解決測量角度問題的注意事項(xiàng)(1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步(3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角的大小若AB15

11、m，AC25 m，BCM30°，則tan 的最大值是_(仰角為直線AP與平面ABC所成角)答案解析如圖，過點(diǎn)P作POBC于點(diǎn)O，連接AO，則PAO.設(shè)COx m，則OPx m.在RtABC中，AB15 m，AC25 m，所以BC20 m所以cosBCA.所以AO (m)所以tan .當(dāng)，即x時(shí)，tan 取得最大值為.題型三三角形與三角函數(shù)的綜合問題例3已知函數(shù)f(x)2sin22sincos.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且角A滿足f(A)1.若a3，BC邊上的中線長為3，求ABC的面積S.解(1)由題意知，f(x)si

12、n(1sin 2x)cos 2xsin 2xcos 2x2sin，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.(2)由f(A)1，得sin，2A或，即A0或.又A為ABC的內(nèi)角，A.由A，a3，得|a3，又BC邊上的中線長為3，知|6，聯(lián)立，解得·，即|·|·cos ，|·|.ABC的面積為S|·|·sin .思維升華三角形與三角函數(shù)的綜合問題，要借助三角函數(shù)性質(zhì)的整體代換思想，數(shù)形結(jié)合思想，還要結(jié)合三角形中角的范圍，充分利用正弦定理、余弦定理解題已知ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a1

13、，2cos Cc2b，則ABC的周長的取值范圍是_答案(2,3解析在ABC中，由余弦定理可得2cos C，a1,2cos Cc2b，c2b，化簡可得(bc)213bc.bc2，(bc)213×2，解得bc2(當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)，取等號)故abc3.再由任意兩邊之和大于第三邊可得bc>a1，故有abc>2，故ABC的周長的取值范圍是(2,39函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用典例(12分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方

14、向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由思維點(diǎn)撥(1)利用三角形中的余弦定理，將航行距離表示為時(shí)間t的函數(shù)，將原題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；(2)注意t的取值范圍規(guī)范解答解(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則1分S .3分故當(dāng)t時(shí)，Smin10，v30.即小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小6分(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇則v2t2400900t22&

15、#183;20·30t·cos(90°30°)，8分故v2900.0<v30，900900，即0，解得t.又t時(shí)，v30，故v30時(shí)，t取得最小值，且最小值等于.此時(shí)，在OAB中，有OAOBAB20.11分故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/小時(shí)12分溫馨提醒(1)三角形中的最值問題，可利用正弦、余弦定理建立函數(shù)模型(或三角函數(shù)模型)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題(2)求最值時(shí)要注意自變量的范圍，要考慮問題的實(shí)際意義方法與技巧1利用解三角形解決實(shí)際問題時(shí)，(1)要理解題意，整合題目條件，畫出示意圖，建立一個(gè)三角形模型；

16、(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函數(shù)模型中，要確定相應(yīng)參數(shù)和自變量范圍，最后還要檢驗(yàn)問題的實(shí)際意義2在三角形和三角函數(shù)的綜合問題中，要注意邊角關(guān)系相互制約，推理題中的隱含條件失誤與防范1不要搞錯(cuò)各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混2在實(shí)際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易出現(xiàn)錯(cuò)誤A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)1在相距2 km的A，B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn)C，若CAB75°，CBA60°，則A，C兩點(diǎn)之間的距離為()A. km B. kmC. km

17、 D2 km答案A解析如圖，在ABC中，由已知可得ACB45°，AC2×.2一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A10 海里 B10 海里C20 海里 D20 海里答案A解析如圖所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30°，ACB45°，根據(jù)正弦定理得，解得BC10(海里)3.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d0.6 km，一艘客船從碼頭A出發(fā)

18、勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB1 km，水的流速為2 km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時(shí)間為6 min，則客船在靜水中的速度為()A8 km/h B6 km/hC2 km/h D10 km/h答案B解析設(shè)AB與河岸線所成的角為，客船在靜水中的速度為v km/h，由題意知，sin ，從而cos ，所以由余弦定理得22122××2×1×，解得v6.選B.4如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于()A240(1) m B180(1) mC120(1)

19、 m D30(1) m答案C解析如圖，ACD30°，ABD75°，AD60 m，在RtACD中，CD60 m，在RtABD中，BD60(2)m，BCCDBD6060(2)120(1)m.5.如圖，測量河對岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與D，測得BCD15°，BDC30°，CD30，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于()A5 B15C5 D15答案D解析在BCD中，CBD180°15°30°135°.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB15&

20、#215;15.6江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距_m.答案10解析如圖，OMAOtan 45°30 (m)，ONAOtan 30°×3010 (m)，在MON中，由余弦定理得，MN 10 (m)7在200 m高的山頂上，測得山下一塔頂和塔底的俯角分別是30°，60°，則塔高為_m.答案 解析如圖，由已知可得BAC30°，CAD30°，BCA60°，ACD30&#

21、176;，ADC120°.又AB200 m，AC m.在ACD中，由余弦定理得，AC22CD22CD2·cos 120°3CD2，CDAC m.8(2015·萍鄉(xiāng)模擬)如圖，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn)從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角MAN60°，C點(diǎn)的仰角CAB45°以及MAC75°；從C點(diǎn)測得MCA60°.已知山高BC100 m，則山高M(jìn)N_ m.答案150解析在RtABC中，AC100 m，在MAC中，由正弦定理得，解得MA100 m，在MNA中，MNMA·sin 60°150

22、 m即山高M(jìn)N為150 m.9.如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上(1)求漁船甲的速度；(2)求sin 的值解(1)依題意知，BAC120°，AB12，AC10×220，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC1222022×12×20×cos 120°784.解得BC28.所以漁船甲的速度為14海里/小時(shí)(2)

23、在ABC中，因?yàn)锳B12，BAC120°，BC28，BCA，由正弦定理，得，即sin .10.如圖，在ABC中，ABC90°，AB，BC1，P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，BPC90°.(1)若PB，求PA；(2)若APB150°，求tanPBA.解(1)由已知得PBC60°，所以PBA30°.在PBA中，由余弦定理得PA232××cos 30°，故PA.(2)設(shè)PBA，由已知得PBsin .在PBA中，由正弦定理得，化簡得cos 4sin ，所以tan ，即tanPBA.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：15分鐘)11一個(gè)大型

24、噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m答案A解析設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，在RtBCD中，CBD30°，BCh.在ABC中，A60°，ACh，AB100，根據(jù)余弦定理得，(h)2h210022·h·100·cos 60°，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.12.如圖，一艘船上午930在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午1000到達(dá)B處，此時(shí)又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8n mile.此船的航速是_ n