選修4-4簡單曲線的極坐標(biāo)方程

1、1.31.3簡單曲線的極坐標(biāo)方程簡單曲線的極坐標(biāo)方程3 3、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1、極坐標(biāo)系的四要素、極坐標(biāo)系的四要素2 2、點(diǎn)與其極坐標(biāo)一一對應(yīng)的條件、點(diǎn)與其極坐標(biāo)一一對應(yīng)的條件極點(diǎn)；極軸；長度單位；角度單位極點(diǎn)；極軸；長度單位；角度單位及它的正方向。及它的正方向。) 0(tan,222 xxyyx sin,cos yx)2 , 0, 0 曲線的極坐標(biāo)方程曲線的極坐標(biāo)方程一、定義：一、定義：如果曲線上的點(diǎn)與方程如果曲線上的點(diǎn)與方程f( , )=0有如下關(guān)系有如下關(guān)系()曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(所有坐標(biāo)中所有坐標(biāo)中至少有一個(gè)至少有一個(gè))符

2、合方程符合方程f( , )=0 ；()方程方程f( , )=0的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。都在曲線上。 則曲線的方程是則曲線的方程是f( , )=0 。探究:如圖，半徑為如圖，半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為的圓的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a0)，你能用一個(gè)等式表示，你能用一個(gè)等式表示圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)( , )滿足滿足的條件？的條件？xC(a,0)O例例1、已知圓已知圓O的半徑為的半徑為r，建立怎，建立怎樣的坐標(biāo)系，可以使圓的極坐標(biāo)樣的坐標(biāo)系，可以使圓的極坐標(biāo)方程更簡單？方程更簡單？題組練習(xí)題組練習(xí)1 1求下列圓的極坐標(biāo)方程求下列圓的極坐標(biāo)方程()中心在極點(diǎn)，半

3、徑為中心在極點(diǎn)，半徑為2；()中心在中心在(a,0)，半徑為，半徑為a；()中心在中心在(a, /2)，半徑為，半徑為a；()中心在中心在( 0, )，半徑為，半徑為r。 2 2acos 2asin 2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2練習(xí)3以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)(1,1)為圓心，為圓心，1為為半徑的圓的方程是半徑的圓的方程是 .2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即解：cos()4把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的方程直線的極坐標(biāo)方程直線的極坐標(biāo)方程答：

4、與直角坐標(biāo)系里的情況一樣，求答：與直角坐標(biāo)系里的情況一樣，求曲線的極坐標(biāo)方程就是找出曲線上動曲線的極坐標(biāo)方程就是找出曲線上動點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo) 與與 之間的關(guān)系，然后列之間的關(guān)系，然后列出方程出方程 ( , )=0 ，再化簡并討論。，再化簡并討論。怎樣求曲線的極坐標(biāo)方程？怎樣求曲線的極坐標(biāo)方程？例題例題1：求過極點(diǎn)，傾角為：求過極點(diǎn)，傾角為 的射線的射線的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。4 oMx4 分析：分析：如圖，所求的射線如圖，所求的射線上任一點(diǎn)的極角都上任一點(diǎn)的極角都是是 ，其，其/ 4 極徑可以取任意的非負(fù)數(shù)。故所求極徑可以取任意的非負(fù)數(shù)。故所求直線的極坐標(biāo)方程為直線的極坐標(biāo)方程為(0)4

5、新課講授新課講授1、求過極點(diǎn)，傾角為、求過極點(diǎn)，傾角為 的射線的極的射線的極坐標(biāo)方程。坐標(biāo)方程。54 易得易得5(0)4 思考：思考：2、求過極點(diǎn)，傾角為、求過極點(diǎn)，傾角為 的直線的極的直線的極坐標(biāo)方程。坐標(biāo)方程。4 544 或或 和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標(biāo)系里的的表示形式比較起來，極坐標(biāo)系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？線組合而成。原因在哪？0 為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，可以考慮允許為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，可以考慮允許極徑可以取全體實(shí)數(shù)。則上面的直極徑可以取全體實(shí)數(shù)。則上面的直線的極坐標(biāo)方程可

6、以表示為線的極坐標(biāo)方程可以表示為()4R 和和5()4R 例題例題2、求過點(diǎn)求過點(diǎn)A(a,0)(a0)，且垂直，且垂直于極軸的直線于極軸的直線L的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。解：如圖，設(shè)點(diǎn)解：如圖，設(shè)點(diǎn)( , )M 為直線為直線L上除點(diǎn)上除點(diǎn)A外的任外的任意一點(diǎn)，連接意一點(diǎn)，連接OMox AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA 即即cosa 可以驗(yàn)證，點(diǎn)可以驗(yàn)證，點(diǎn)A的坐標(biāo)也滿足上式。的坐標(biāo)也滿足上式。求直線的極坐標(biāo)方程步驟求直線的極坐標(biāo)方程步驟1、根據(jù)題意畫出草圖；、根據(jù)題意畫出草圖；2、設(shè)點(diǎn)、設(shè)點(diǎn) 是直線上任意一點(diǎn)；是直線上任意一點(diǎn)；( , )M 3、連接、連接MO；4、根據(jù)

7、幾何條件建立關(guān)于、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于 的方的方 程，并化簡；程，并化簡；, 5、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。例題例題3設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為 ，直線，直線 過點(diǎn)過點(diǎn)P且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ,求直線求直線 的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。 11(,) lloxMP 1 1 解：如圖，設(shè)點(diǎn)解：如圖，設(shè)點(diǎn)( , )M 點(diǎn)點(diǎn)P外的任意一點(diǎn)，連接外的任意一點(diǎn)，連接OM為直線上除為直線上除則則 由點(diǎn)由點(diǎn)P的極坐標(biāo)知的極坐標(biāo)知 ,OMxOM 1OP 1xOP 設(shè)直線設(shè)直線L與極軸交于點(diǎn)與極軸交于點(diǎn)A。則。則在在MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理由正弦定理得得11sin()sin() 11sin()sin() 顯然點(diǎn)顯然點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo)也是它的解。也是它的解。 .小結(jié)：小結(jié)：（1）曲線的極坐標(biāo)方程概念）曲線的極坐標(biāo)方程概念（2）圓的極