預(yù)緊力作用下的螺栓聯(lián)接板組裝接觸剛度分析

1、預(yù)緊力作用下的螺栓聯(lián)接板組裝接觸剛度分析Niels Leergaard Pedersen（副教授）,Pauli Pedersen（名譽教授，教授）(固體力學(xué)與機(jī)械工程系 丹麥技術(shù)大學(xué))摘要：螺栓聯(lián)接時結(jié)構(gòu)中最重要的聯(lián)接方式之一。螺栓和聯(lián)接板的剛度是控制聯(lián)接壽命的基本性質(zhì)。與聯(lián)接板剛度形成對照，螺栓剛度可以容易的計算出來，但是利用有限元和接觸分析，找到聯(lián)接板的剛度是可能的。在許多聯(lián)接和實際應(yīng)用情況下，做一個全部的有限元分析是不合適的。本文研究的目的是尋找螺栓聯(lián)接剛度的簡單表達(dá)式，包括聯(lián)接板寬度是有限的情況。剛度的計算包括接觸問題的解決都是基于有限元的，通過與剛度相關(guān)位移的定義，我們表達(dá)剛度是一個

2、關(guān)于結(jié)構(gòu)彈性能的函數(shù)。接觸分析所使用的方法是不包含迭代過程的，結(jié)果與任意有用的結(jié)果作比較。提出了一個計算剛度的新方程。1. 引言螺栓聯(lián)接是本文研究的對象。目的是兩方面的：當(dāng)聯(lián)接板的寬度是足夠大時建立一個獲得聯(lián)接板剛度的簡單方程和當(dāng)聯(lián)接板的寬度是有限大時建立一個獲得聯(lián)接板剛度的簡單方程。尋找的工具是有限元分析法，形成一個螺栓與聯(lián)接板之間接觸的方程（有時被稱作為鄰接）。在建模中，假設(shè)接觸沒有摩擦。螺栓聯(lián)接是在許多結(jié)構(gòu)和機(jī)械聯(lián)接中是最常用的方式。關(guān)于這個課題的文獻(xiàn)和研究有許多，如文獻(xiàn)2只是一個介紹性的書。螺栓的主要目的還是作為一個拉伸單元來保持聯(lián)接板一起。在一些結(jié)構(gòu)的用途中，螺栓聯(lián)接被用作剪切載荷，

3、但是這里剪切力被聯(lián)接板間的摩擦力平衡，所以螺栓表現(xiàn)為拉伸單元。螺栓剪切受力的情況是不通常的，這里將不討論。螺栓的目的是通過預(yù)拉伸螺栓的方式在聯(lián)接板之間建立接觸壓力。在許多應(yīng)用的設(shè)計準(zhǔn)則是遺留螺栓聯(lián)接聯(lián)接板中的接觸壓應(yīng)力。設(shè)計螺栓主要被載荷條件所控制。對于靜態(tài)載荷，直接找極限應(yīng)力準(zhǔn)則，在本文中不考慮。更復(fù)雜，更實際，例如動態(tài)載荷是大多數(shù)螺栓聯(lián)接的主要設(shè)計約束。當(dāng)失效模式是疲勞時，限制因素是螺栓的峰值應(yīng)力，因為螺栓是受拉伸，聯(lián)接板是壓縮的。就像我們從很多文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn)的一樣（如7、11），控制的因素是螺栓剛度與聯(lián)接板剛度的比值。為了去設(shè)計螺栓，一個好的計算剛度的方法是非常重要的。以目前的有限元水平，建

4、立整個螺栓聯(lián)接的模型是可能的，但是這里涉及許多聯(lián)接的接觸分析將會增加相應(yīng)的計算時間。所以，用一個簡單的公式來代替似乎更加適合。圖1展示了螺栓截面的四分之一，在圖中我們看到了螺栓包括墊圈的尺寸。本文進(jìn)行的研究忽略了螺栓的螺紋部分，我們假設(shè)螺栓和聯(lián)接板裝配都是軸對稱的。墊圈被看做是螺栓整合的一部分，并且因此只展示螺栓和墊圈標(biāo)準(zhǔn)高度一致。通過螺栓裝配的兩塊聯(lián)接板假設(shè)是等厚度，相同材料的，所以除了軸對稱外，也可以只用一個聯(lián)接板。圖2展示了四分之一聯(lián)接板的裝配截面，也給出了尺寸。圖1和圖2表明了墊圈和聯(lián)接板之間的接觸壓應(yīng)力分布。在分析中，我們假設(shè)墊圈是螺栓的一個整合部分，墊圈和螺栓之間的接觸分析沒有考慮

5、，在尋找聯(lián)接剛度中假設(shè)被忽略了。聯(lián)接板剛度的研究有一個很長的歷史，可以回到文獻(xiàn)10。大多數(shù)剛度計算公式背后的假設(shè)是聯(lián)接板的寬度是無限大的或者這么大以至于聯(lián)接板的外層部分沒有彈性能。文獻(xiàn)10建議聯(lián)接板中的應(yīng)力關(guān)于對稱線對稱的兩個平截頭墩是均勻的，頂角為其中給定。這得到聯(lián)接板的剛度為： （1）式中為楊氏彈性模量，為聯(lián)接板的結(jié)合長度，為螺栓公稱直徑，和為如圖1和2所示的無量綱因子。在許多文獻(xiàn)中，孔隙設(shè)置為零，所以螺栓的公稱直徑在公式（1）中取。但是，應(yīng)該用孔的直徑來代替，這就是公式（1）包括系數(shù)的原因。引出公式（1）的假設(shè)是簡單和直接的，但是不是非常準(zhǔn)確。假設(shè)總的接觸預(yù)緊力為P，對整個平截頭墩積分得

6、到（文獻(xiàn)11）： （2）當(dāng)情況下，上式可以被簡化。 假設(shè)被文獻(xiàn)3和4證明是不合適的。一個更加適合的假設(shè)是使用，本文也會對這進(jìn)行證明。文獻(xiàn)7剛度定義為（重新排列來適合本文的定義）： （3）這個公式與文獻(xiàn)10的一致，只不過這里取。文獻(xiàn)11的研究者建議使用公式（2），也是。文獻(xiàn)7和11的剛度計算都建議使用文獻(xiàn)16的結(jié)果，他是擬合有限元結(jié)果的曲線，如下式表達(dá)： （4）式中A和B是與材料參數(shù)有關(guān)的常數(shù)；對于鋼（）這個值為和。需要聲明的是文獻(xiàn)16和11中提供的剛度圖是根據(jù)文獻(xiàn)16中的有限元結(jié)果而不是文獻(xiàn)4中的曲線擬合。用指數(shù)函數(shù)來擬合曲線看上去是不合適的，當(dāng)變大時將完全失效。 文獻(xiàn)6提供了一個新的聯(lián)接板剛

7、度更容易的表達(dá)形式。文獻(xiàn)6假設(shè)聯(lián)接板上的應(yīng)力可以表示為： （5）這里為z坐標(biāo)的函數(shù)（見圖2）。假設(shè)當(dāng)距離為（也是關(guān)于z的一個函數(shù)）時，應(yīng)力將會消失。用來尋找這些值的這個假設(shè)的邊界條件為： （6）不同的定義是不一樣的，一個與平截頭墩相應(yīng)的為： （7）這里公式被改寫為了適合z坐標(biāo)的定義。用單向應(yīng)力狀態(tài)，胡克定律和點的位移來計算剛度。文獻(xiàn)13指出了一個更加一般的表達(dá)式，他考慮了當(dāng)聯(lián)接板的寬度是受限制的時候的剛度?？梢员硎緸?（8）上式中的最后一個公式對于是可以跟前面給定的剛度表達(dá)式進(jìn)行比較的。剛度表達(dá)式（8）后來可以改變能在文獻(xiàn)14中發(fā)現(xiàn)： （9） 最近VDI的建議又有改變。新的建議可以在文獻(xiàn)15中

8、找到。這個表達(dá)式簡化后呈現(xiàn)在本文中： （10）式中和可以表示為 （11） （12）文獻(xiàn)15建議的公式遵守文獻(xiàn)11中的公式（2）。其他的表示也可以在文獻(xiàn)中找到。但是單從呈現(xiàn)在這里的剛度的表達(dá)式來看，這些結(jié)果有很明顯的大波動。這最好用圖來說明，在我們畫的圖3中，文獻(xiàn)16和11也做了，無量綱剛度是一個關(guān)于螺孔直徑與聯(lián)接板長度比值的函數(shù)。這幅圖是，的情況。不幸的是，這幅圖高度依賴于值。外載荷作用在螺栓上的比例由系數(shù)控制， （13）式中為螺栓的剛度。公式（13）中的比率只有當(dāng)外載荷直接作用在螺栓頭下面的對稱線上才適用。在文獻(xiàn)15中可以找到其他載荷條件的其他表達(dá)形式，但是這個比率還是由螺栓剛度和聯(lián)接板剛度

9、控制。大的聯(lián)接板剛度，較少的動態(tài)載荷將會作用于螺栓，更多的會作用于聯(lián)接板。對于計算螺栓壽命為設(shè)計點，過低的評估聯(lián)接板的剛度是保守的。如圖3的結(jié)果的分布，很難去選擇，除非選擇圖中最保守的文獻(xiàn)16的結(jié)果。我們應(yīng)該把文獻(xiàn)16基于FEA的簡化公式進(jìn)行調(diào)整。采用指數(shù)函數(shù)形式來進(jìn)行曲線擬合的方法與圖3中其他的不同結(jié)果比較起來，看起來是不合適的。假如取比較大的值，這個曲線擬合將徹底失效。一般來說，這個最合適的應(yīng)該范圍是。從圖3中我們可以看到，大多數(shù)的剛度函數(shù)看上去當(dāng)取較大值時有一個相同的斜率。這個漸近線可以這樣解釋，當(dāng)假設(shè)時，剛度肯定相當(dāng)于一個等應(yīng)力圓柱。如下式所示： （14）圖3中所有曲線在極限情況下都有

10、如公式（14）所示相同的導(dǎo)數(shù)，除了文獻(xiàn)（16）的擬合曲線。至于當(dāng)時，結(jié)果收斂于公式（14），我們發(fā)現(xiàn)只有文獻(xiàn)14，如公式（9）滿足。其他的所有表達(dá)式都有永久的移位或偏離。本文的第二個目標(biāo)是給出一個當(dāng)聯(lián)接板的寬度是有限時的聯(lián)接板剛度的簡化方程，并把結(jié)果與文獻(xiàn)13、14、15給的公式（8）、（9）、（10）進(jìn)行比較。在許多應(yīng)用中，剛度常常間接的用面積代替，所以剛度為： （15） 為了做一個如文獻(xiàn)12的用的圖釋，必須先選擇比值。 本文中做的所有數(shù)值計算都是基于兩種不同尺寸的螺栓：一個是M10的螺栓，一個是M20的螺栓。螺栓的參數(shù)按照標(biāo)準(zhǔn)，參數(shù)為： 圖4為面積與相應(yīng)的聯(lián)接板寬度的函數(shù)曲線，圖針對的是公

11、式（8）、（9）、（10）M10的表達(dá)式。從圖4中我們可以看到對于剛度的預(yù)測存在較大的差異。從這幅圖中可以看出，用FEA來證明結(jié)果或者指定一個新的簡單的剛度表示式是適合的。在第2,3節(jié)有限元分析后，在第4節(jié)將呈現(xiàn)計算接觸壓力分布的精確，直接的方法。它基于在施加預(yù)緊力之前是完美接觸的，在螺栓聯(lián)接板接觸面之間沒有空隙沒有缺口。對于足夠大的聯(lián)接板寬度，涉及到聯(lián)接板之間接觸壓力的限制，在第5節(jié)獲得了聯(lián)接板剛度，并與文獻(xiàn)中建議的值進(jìn)行比較，最重要的是獲得了沒有FEA計算的簡單線性的剛度表達(dá)式。對于聯(lián)接板寬度是有限的情況，聯(lián)接板之間的壓縮接觸整個接觸面都是積極的，特別對于VDI中提出的指導(dǎo)聯(lián)接板剛度，我們

12、減小了其剛度。在第6節(jié)，我們也呈現(xiàn)了我們的數(shù)值結(jié)果，并與文獻(xiàn)中的結(jié)果比較。對于這個例子，我們基于指數(shù)函數(shù)的倒數(shù)形式來給出一個新的曲線擬合方程。2.螺栓部分的FEA分析螺栓部分的剛度常常是簡單計算得到的，大約是螺栓頭和螺母的變形量。假設(shè)對于一個總的接觸壓力P和一個均勻的螺栓橫截面積，有一個均勻的拉伸應(yīng)力和均勻應(yīng)變，我們可以得到總的彈性能（螺栓彈性應(yīng)變能和應(yīng)力能的總和）： （16）式中，估算的體積，通過估算長度獲得，也與螺栓頭和螺母的剛度有關(guān)。根據(jù)一個參照的位移，相應(yīng)的總載荷P，螺栓剛度為： （17）利用公式（16）獲得最終的表達(dá)式。 注意的是一般都是通過總的彈性能U來定義剛度，這就使得計算額外靜

13、載荷在接觸區(qū)域內(nèi)的功或則把它近似為總的接觸載荷P乘以相應(yīng)的位移都是不必要的。 螺栓頭到螺桿，螺母到螺桿過度區(qū)域和螺紋的應(yīng)力的詳細(xì)分析不是本文的主要內(nèi)容，這里的有限元分析主要用來測定總的能量U，來估計長度。對于圖1所示的M10螺栓的對稱模型，利用前面呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)，根據(jù)公式（17）來計算剛度。根據(jù)文獻(xiàn)2建議來計算參考長度，我們得到： （18） 為了研究接觸應(yīng)力分布的影響因素，我們分析了不同分布的螺栓，如圖5的，所有分布都是同一個總載荷P。注意的是假設(shè)的應(yīng)力分布只在第2,3節(jié)適用，在隨后的章節(jié)中應(yīng)力分布將由一個全面的分析決定。 對于前三個不同接觸壓應(yīng)力分布，螺栓剛度的結(jié)果分別為=241.3,237.6

14、,231.7×106N/m。不出所料，彈性最好的是分布所對應(yīng)螺栓，但是差別不是很大。與簡單的計算（18）吻合。對于分布，用第4節(jié)的解釋來計算，剛度為240.6×106N/m。用不同泊松比（不同材料）進(jìn)行分析，得到了幾何相同的彈性能。對于壓應(yīng)力分布，結(jié)果為，和。有關(guān)螺栓剛度的信息無需太多努力就能獲得，事實上通常不用FEA模型計算。在本文中，我們將關(guān)注計算壓緊聯(lián)接板剛度的更復(fù)雜的問題。3.聯(lián)接板的FEA分析 對于圖2定義的半塊聯(lián)接板幾何的對稱問題，我們同樣研究了接觸壓應(yīng)力分布服從圖5所示的的影響，所有分布在z軸負(fù)方向有同樣的總載荷P。聯(lián)接板的指定模型仍然與M10螺栓有關(guān)。此外，

15、在本節(jié)中，我們假設(shè)聯(lián)接板寬度比較大，參考圖2，。聯(lián)接板剛度類似于公式（17）定義為： （19）但是如前言部分詳細(xì)討論，沒有像總彈性能公式（16）一樣的簡單近似。然而，從有限元計算是可行的。 兩塊聯(lián)接板結(jié)合的接觸問題需要通過迭代來求解，但是這是個相對簡單的接觸問題。必須得到聯(lián)接板之間的壓縮接觸力區(qū)域的一個單參數(shù)（圖2中的）。這可以通過以下方式得到，當(dāng)拉伸反應(yīng)結(jié)果時，移除FEA支撐條件；當(dāng)壓縮結(jié)果時，加上FEA支撐條件。為了對于擴(kuò)展接觸直徑進(jìn)行初步計算，我們應(yīng)用了文獻(xiàn)中關(guān)于螺栓/聯(lián)接板裝配最常用的假設(shè)，如下式所示： （20）這個計算方法在第5節(jié)中評價。 對于不同的壓應(yīng)力分布，聯(lián)接板的剛度結(jié)果分別為

16、=1442,1660,1767×106N/m。分布對應(yīng)的剛度較大，相應(yīng)的螺栓部分剛度較小，這都與直觀的預(yù)期一致。注意的是，對于目前的問題，在第2節(jié)中，聯(lián)接板剛度是螺栓剛度的7倍多。對于分布，用第4節(jié)的解釋來計算，剛度為1606×106N/m。 用不同泊松比（不同材料）進(jìn)行分析。對于分布，結(jié)果為，和。注意的是真實的泊松比對于聯(lián)接板剛度比對于螺栓剛度更加重要。 從傳統(tǒng)的有限元分析中，假如接觸壓應(yīng)力分布是可以得到的，那么位移、應(yīng)變、應(yīng)力、能量密度和一般剛度的詳細(xì)信息也是可以得到的。但是，用迭代的方法來得到他可能相當(dāng)復(fù)雜，雖然大多數(shù)FEA程序是沒問題的。因此，我們建議使用文獻(xiàn)9推薦

17、的一個直接法，簡短描述這個方法（對于更詳細(xì)的見文獻(xiàn)8）。4.接觸壓應(yīng)力分布我們已經(jīng)證明接觸壓應(yīng)力的分布對于總體剛度，特別對于聯(lián)接板的剛度不是一個可以忽略的影響。因此，我們描述如何用直接的程序（沒有迭代）來獲得應(yīng)力分布。在第2節(jié)中，螺栓分析被描述為一個傳統(tǒng)的有限元程序，但是作為一種選擇用超級單元來進(jìn)行有限元的計算： （21）式中：為螺栓超級單元的剛度矩陣，規(guī)模為螺栓/聯(lián)接板接觸面節(jié)點的數(shù)量乘以z軸方向的自由度。為產(chǎn)生的相應(yīng)位移，為相應(yīng)的節(jié)點接觸壓力。這些力的總和為總的接觸壓力P，我們描述為一個標(biāo)準(zhǔn)。 （22） 螺栓超級單元剛度矩陣的實際測定在文獻(xiàn)9中描述。 第3節(jié)中，聯(lián)接板分析也是作為一種選擇用

18、超級單元來進(jìn)行有限元的計算： （23）式中：為聯(lián)接板超級單元的剛度矩陣，規(guī)模也是螺栓/聯(lián)接板接觸面節(jié)點的數(shù)量乘以z軸方向的自由度。為產(chǎn)生的相應(yīng)位移，-為相應(yīng)的節(jié)點接觸壓力，從z方向測得。 預(yù)緊力位移通過共同的位移來描述，通過一個平移常數(shù)向量給定： （24）式中：e為一個正常數(shù)（壓縮），一個向量對于所有部件都是1. 加上預(yù)緊力之后，接觸條件為： （25）或者通過接觸力的形式來解決： （26） 作為公式（26）的結(jié)果，我們可以歸因于假設(shè)的線性設(shè)置，然后測量來獲得總的壓力。 接觸條件意味著非負(fù)的接觸力，事實上，這也能被證明是這樣的情況。矩陣是一個剛度矩陣，它是正定的和嚴(yán)格對角線占優(yōu)的。從矩陣的每一行

19、（或者每一列）出發(fā)，對于所有i，因此。所以，只有為正接觸壓力時，這個接觸問題才有一個解。5.大聯(lián)接板寬度的求解 就像第3節(jié)的FEA，在本節(jié)我們也假設(shè)一個大的聯(lián)接板寬度，也就是參考圖2，。圖6中的參考值與FEA獲得的接觸直徑作比較。注意值只能在初級猜測時使用。 聯(lián)接板寬度是一個尺寸，它寬度的增加將不改變聯(lián)接板的剛度。與第3節(jié)相比，我們只是根據(jù)第4節(jié)的方法獲得的正確接觸解決方法呈現(xiàn)了參數(shù)解決方法。主要目標(biāo)是把這些結(jié)果與引言中文獻(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行比較，并建立沒有應(yīng)用詳細(xì)FEA計算的適合的方程。 注意，從預(yù)緊力位移得到的壓縮量e可以直接表示為求得的倒數(shù)剛度乘以總的接觸壓力P， （27） 這個可以用FEA的位

20、移結(jié)果檢測。 文獻(xiàn)15的聯(lián)接板剛度的計算結(jié)果與文獻(xiàn)11的結(jié)果幾乎是相等的。唯一不同的是角度不是一個常數(shù)，隨著尺寸的改變而改變，可以根據(jù)公式（11）來計算。在圖7中，所圖的是無量綱剛度相對于螺孔直徑與聯(lián)接板長度的比值的關(guān)系，還有是FEA的結(jié)果。 從圖7中，我們可以得到一些結(jié)論。第一點，螺孔直徑與聯(lián)接板長度的比率與無量綱剛度之間看上去幾乎是線性的。與螺栓聯(lián)接中呈現(xiàn)的整體不確定性比較，基于數(shù)值結(jié)果的近似線性的方法應(yīng)該是很有效率的。也是基于這個原因，VDI 2230的公式（10）看起來是不合理地復(fù)雜。 從圖7中，我們也可以看到本文的FEA數(shù)值計算結(jié)果與平截頭墩=30°的結(jié)果是不一致的。文獻(xiàn)1

21、6的數(shù)值結(jié)果與平截頭墩=30°的剛度預(yù)測體現(xiàn)良好的一致性，在平截頭墩的橫截面中應(yīng)力是恒定的。文獻(xiàn)16呈現(xiàn)的數(shù)值結(jié)果的背后假設(shè)太粗糙了；首先兩聯(lián)接板的接觸面是固定的，不允許分離。第二，墊圈/螺栓頭假設(shè)是剛體，事實并不是這么回事。在文獻(xiàn)5或則1中沒應(yīng)用這些假設(shè)，本文的一般的結(jié)果是聯(lián)接板剛度為更小。 從圖7中，我們注意到根據(jù)值的不同結(jié)果有很大差別，假如給定一個簡單的一般的表達(dá)式，這是不能滿足的。第一個假設(shè)可以把聯(lián)接板看作為孔徑為，外徑為的管子。假如管子假設(shè)應(yīng)力是均勻分布的，那么管子的剛度為： （28） 式中：為線性彈性模量?？梢宰冃蔚玫剑?（29） 聯(lián)接板不能完全看作為應(yīng)力管子，但是剛度肯

22、定與公式（29）有相似之處。這個推導(dǎo)建議，聯(lián)接板的剛度可以表示為： （30） 也就是看作一個關(guān)于變量的函數(shù)f，圖6也應(yīng)用了這個方法。把坐標(biāo)軸變?yōu)檫@個變量，我們可以看到圖8的結(jié)果。 在圖8中，我們可以看到文獻(xiàn)11預(yù)測的兩條曲線，對于不同的值幾何是一致的。數(shù)值計算得到的M10螺栓和M20螺栓的兩條曲線也是一致的。我們也發(fā)現(xiàn)曲線幾乎是線性的。圖9展示的是本文的數(shù)值計算結(jié)果以及對結(jié)果的簡單線性曲線擬合。前面我們討論過這個有趣的尺寸范圍。當(dāng)新的無量綱剛度為變量的函數(shù)到達(dá)2時，我們已經(jīng)包括前面的范圍了。圖9所畫的線性曲線擬合可以用來計算聯(lián)接板剛度與前面公式（1）-（4）和（8）-（10）定義的值相比較。在

23、公式（8）-（10）中只有最后的方程定義了剛度值的漸進(jìn)值。新的建議的簡化剛度計算公式可以表示為： （31） 對于公式（31）我們能得到以下結(jié)論：他是簡單的。他比以前的建議的大多數(shù)公式要保守。他是建立在彈性能基礎(chǔ)上的清晰和直接的剛度計算。曲線擬合基于FEA計算，并且考慮了接觸，允許聯(lián)接板之間分離。 公式（31）的數(shù)值計算是應(yīng)用在鋼鐵螺栓和聯(lián)接板也是等厚度的鋼鐵材料組成的情況。擴(kuò)展到更加一般的例子和其他材料（泊松比）是可能的。6.聯(lián)接板寬度有限時的解決在第5節(jié)中給出了當(dāng)聯(lián)接板的寬度是足夠大時的聯(lián)接板剛度的漸進(jìn)值。這個公式不包含的情況，我們可以應(yīng)用其他VDI建議的公式（8）（10）。本節(jié)的目的是找個

24、一個數(shù)值結(jié)果的曲線能像圖4中的VDI結(jié)果的方式一樣應(yīng)用。本節(jié)中我們呈現(xiàn)的是前面使用的M10和M20的結(jié)果，但是這里聯(lián)接板的寬度是變化的，為了完整性我們也包括M20的螺栓，且他的螺栓直徑是變化的（）。參數(shù)解是通過圖4的正確接觸方法來獲得的。主要目標(biāo)是可以把這些結(jié)果與VDI的有用結(jié)果相比較，提出一個沒有詳細(xì)FEA計算的合適的方程。在圖10，與三個例子的聯(lián)接板的寬度相對應(yīng)的代替面積（前面提到的，M10螺栓，M20螺栓，M20螺栓）。數(shù)值計算的實現(xiàn)是針對的情況。圖10的曲線是很不同的，但是也可以得到一些一般性的結(jié)論。當(dāng)時，三條曲線都聚焦于一個常數(shù)水平，全部的形式是相同的。對于聯(lián)接板直徑小于墊圈直徑的數(shù)值研究沒有完成，因為事實上，在全部的VDI建議同一個剛度： （32）圖10對于的極限值與上式是一致的。目標(biāo)是在沒有FEA接觸分析的情況下，得到一個簡化的剛度表達(dá)式。許多曲線擬合是可能的；本文的整體目標(biāo)是提出一個簡單的表達(dá)式，相對于一個全體FEA分析獲得的結(jié)果在工程的精度范圍內(nèi)。曲線擬合應(yīng)該滿足一下條件：當(dāng)時，剛度值應(yīng)該為。當(dāng)時剛度的導(dǎo)數(shù)應(yīng)該與當(dāng)時的表達(dá)式的導(dǎo)數(shù)一致，該值為。當(dāng)時，漸進(jìn)值應(yīng)該與公式（31）的值相同。 我們選擇應(yīng)用指數(shù)函數(shù)，簡化的方程如