投資問題數(shù)學建模

1、投資問題摘要本次建模解決的是某公司在未來五年內的最優(yōu)投資組合問題：在20億的原始資金約束以及各個項目的投資約束下，選擇最優(yōu)的投資組合方案，使得第五年末所得利潤最大。為此，我們綜合運用了線性規(guī)劃、時間序列預測、灰色預測的方法進行求解。對于問題一：根據(jù)附錄一表1提供的實驗數(shù)據(jù)，我們建立了單目標最優(yōu)化模型。綜合考慮每個項目的投資規(guī)則、投資上限以及每年年初可用于投資的總金額約束，并以第五年末的利潤，即第五年末的本利和與20億原始資金的差值，為目標函數(shù)，建立最優(yōu)化模型。通過lingo求得第五年末的最大利潤為153255萬元，具體投資組合見表三。對于問題二：我們先運用excel軟件對歷年數(shù)據(jù)進行了處理，得

2、到單獨投資時各項目近20年的到期利潤率時間序列，以及項目相互影響下的到期利潤率時間序列，發(fā)現(xiàn)其服從正態(tài)分布。運用時間序列預測的簡單序時平均數(shù)法，定義：今后五年的到期利潤率為該正態(tài)分布的期望值；未來五年的風險損失率用往年數(shù)據(jù)利潤率的標準差來衡量，運用MATLAB軟件求出到期利潤率，并利用excel求出風險損失率。具體結果見表四、表五。對于問題三：根據(jù)問題二的預測結果，建立了與問題一相同的目標函數(shù)，考慮到公司爭取到的資金捐贈，以及項目之間的相互影響，修改約束條件，依照該模型用Lingo求解，得到該公司在第五年末利潤為，具體投資方案見表對于問題四：在問題三的基礎上，考慮投資風險，即需要考慮到風險損失

3、率。根據(jù)問題二中對風險損失率的定義可知，其反映的是利潤率的波動情況，所以我們以預計到期利潤率與風險損失率之差作為各項目的實際利潤率，通過修改模型三得到單目標優(yōu)化模型四，用Lingo解得考慮風險時該公司第五年末的利潤為，具體投資組合見表六。對于問題五：在上述情況的基礎上，公司增加了存款和貸款兩種資金運作的方式。由于題目未給出具體的銀行利率，我們從網(wǎng)上收集了中國人民銀行近年來存貸的利率數(shù)據(jù)，并利用灰色預測模型預測了未來五年貸款和存款的利率。貸款和存款金額沒有限制，因此我們假設每年年初投資后沒有不用于投資的資金。以第五年末的最大利潤為目標函數(shù)，建立單目標優(yōu)化模型，得到第五年末的利潤為，具體方案見表七

4、。關鍵詞：線性規(guī)劃 時間序列預測 灰色預測模型1.問題重述1.1問題背景某公司現(xiàn)有數(shù)額為20億的一筆資金可作為未來5年內的投資資金，市場上有8個投資項目（如股票、債券、房地產、）可供公司作投資選擇。各個項目的投資規(guī)則：(1) 項目1、項目2每年初投資，當年年末回收本利（本金和利潤）；(2) 項目3、項目4每年初投資，到第二年末回收本利；(3) 項目5、項目6每年初投資，到第三年末回收本利；(4) 項目7只能在第二年年初投資，到第五年末回收本利；(5) 項目8只能在第三年年初投資，到第五年末回收本利。1.2需要解決的問題問題一：根據(jù) 附錄一表1 的實驗數(shù)據(jù)，確定5年內的投資組合方案，使第五年末所

5、得利潤最大。問題二：公司財務分析人員收集了8個項目近20年的投資額與到期利潤數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)：在具體對這些項目投資時，實際還會出現(xiàn)項目之間相互影響等情況。8個項目獨立投資的往年數(shù)據(jù)見 附錄一表2 。同時對項目3和項目4投資的往年數(shù)據(jù)；同時對項目5和項目6投資的往年數(shù)據(jù)；同時對項目5、項目6和項目8投資的往年數(shù)據(jù)見 附錄一表3 。注：同時投資項目是指某年年初投資時同時投資的項目。試根據(jù)往年數(shù)據(jù)，預測今后五年各項目獨立投資及項目之間相互影響下的投資的到期利潤率、風險損失率。問題三：未來5年的投資計劃中，還包含一些其他情況。對投資項目1，公司管理層爭取到一筆資金捐贈，若在項目1中投資超過20000萬，則同

6、時可獲得該筆投資金額的1%的捐贈，用于當年對各項目的投資。項目5的投資額固定，為500萬，可重復投資。各投資項目的投資上限見 附錄一表4 。在此情況下，根據(jù)問題二預測結果，確定5年內如何安排20億的投資，使得第五年末所得利潤最大？問題四：考慮到投資越分散，總的風險越小，公司確定，當用這筆資金投資若干種項目時，總體風險可用所投資的項目中最大的一個風險來度量。如果考慮投資風險，問題三的投資問題又應該如何決策？問題五：為了降低投資風險，公司可拿一部分資金存銀行，為了獲得更高的收益，公司可在銀行貸款進行投資，在此情況下，公司又應該如何對5年的投資進行決策。2. 基本假設與符號說明2.1基本假設(1)

7、題目中所給的數(shù)據(jù)真實有效；(2) 每次投資的實際收益與預計收益相等；(3) 公司第五年末結束投資活動，不存在仍在運作的項目；(4) 除了題目中提及到的項目之間相互影響的情況，其他項目同時投資不存在相互影響；(5) 某項目的投資上限是對同一投資期存在的投資額的約束，不包括到期投資；(6) 投資過程的手續(xù)費用忽略；(7) 假設今后五年獨立投資及項目相互影響下的到期收益率和風險損失率保持不變；(8) 假設僅在每年年頭進行定期一年的貸款或存款投資。2.2符號說明在各問題中實際值存在不同符號符號說明 i投資年份，i=1,2,3,4,5 j投資項目，j=1,2,3,4,5,6,7,8第i年對項目j的投資金

8、額項目j的預計到期利潤率，在問題四、五中表示項目j的實際到期利潤率項目j在問題二中求出的到期利潤率項目j在第i年末的到期本利項目j的投資上限第i年的投資總額第i年末擁有的本利和第i年的貸款金額第i年的存款金額第i年的存款利率第i年的貸款利率同時投資項目j和m時，項目j的到期利潤率同時投資項目j,m,n時，項目j的到期利潤率第i年初可用于投資運作的總金額項目j的風險損失率同時投資項目j和m時，項目j的風險損失率同時投資項目j,m,n時，項目j的風險損失率3. 問題分析此題研究的是公司的投資組合問題：在20億的原始資金約束以及各個項目的投資約束下，選擇最優(yōu)的投資組合方案，使得第五年末所得利潤最大。

9、針對問題一，我們要建立一個以第五年末的最大利潤為目標函數(shù)的單目標最優(yōu)化模型。對于約束條件，首先，不得違背各個項目的投資規(guī)則：(1) 項目1、項目2每年初投資，當年年末回收本利（本金和利潤）；(2) 項目3、項目4每年初投資，到第二年末回收本利；(3) 項目5、項目6每年初投資，到第三年末回收本利；(4) 項目7只能在第二年年初投資，到第五年末回收本利；(5) 項目8只能在第三年年初投資，到第五年末回收本利。其次，每個項目的投資額不大于其投資上限，且非負。由于每年年末到期的本利可用于下一年的投資，所以每年初投資總額不大于可用于投資的總金額。針對問題二，要對各個項目獨立投資以及項目之間相互影響下的

10、投資的到期利潤率和風險損失率進行預測，首先，要求出對應的各項目歷年投資的到期利潤率，經(jīng)過檢驗，我們發(fā)現(xiàn)歷年的投資到期利潤率服從正態(tài)分布。運用簡單序時平均數(shù)法，以該正態(tài)分布的期望值作為未來5年相應的到期利潤率?？紤]衡量風險的標準應為與所期望值距離的大小，我們選擇往年利潤率的標準差來表示風險損失率。針對問題三，不考慮投資風險的情況下，若項目1投資超過20000王，則可獲得該筆投資金額的1%的捐贈，用于當年對各項目的投資。項目5的單次投資額固定為500萬元。在模型一的基礎上，修改約束條件建立模型三求解。針對問題四，需要考慮投資風險，此時預計到期利潤與實際出現(xiàn)偏差，我們以預計到期利潤率與風險損失率之差

11、作為各項目的實際利潤率，仍以第五年末的利潤最大化為目標，建立單目標優(yōu)化模型，對問題四求解。針對問題五，公司增加了存款和貸款的考慮。由于題目未給出具體的銀行利率，我們需要收集中國人民銀行近年來存貸的利率數(shù)據(jù)，并利用灰色預測模型預測未來五年貸款和存款的利率。題設中貸款和存款金額沒有限制，由于存款的存在，每年年初投資后沒有不用于投資的資金。在此基礎上，建立以第五年末的最大利潤為目標函數(shù)的單目標優(yōu)化模型。4. 問題一的解答4.1模型一的建立為解決問題一，我們建立了模型一。由題目可以得到下列表格：表一：第i年年初可以投資的項目年份12345項目1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 71 2 3

12、4 5 6 81 2 3 41 2表二：第i年末可回收本利的項目年份12345項目1 21 2 3 41 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 7 8更直觀的展示：點處表示該項目可投資，射線延伸表示為投資運作期i j1、2 3、4 5、678123454.1.1確定目標函數(shù)第i年年末擁有的本利和取決于之前的投資決策，其中由表二，項目j在第i年末的到期本利如下：由于第五年末的利潤等于第五年末到期回收的本利和（即第六年年初可用于投資的總金額）與原始資金的差額，即第五年末的利潤,所以問題一的目標函數(shù)為：max 4.1.2確定約束條件1) 每年年初的投資總額不大于可用于投資的

13、總金額，2) 不違反各項目的投資規(guī)則（表一），且在投資期結束時不存在運行中的項目，即3) 每次投資非負，即4) 同一投資期存在的對該項目的投資額不大于對應項目的投資上限：對于項目1,2,7,8,每年的投資額獨立考慮；對于項目3,4,考慮相鄰兩年的投資額；對于項目5,6,考慮相鄰三年的投資額。記滿足約束2)、3)、4)的的集合為L4.1.3得到優(yōu)化模型Max s.t.其中，4.2模型一的求解運用lingo軟件編程對模型一求解（源程序見附錄二）得到第五年末的最大利潤為15325萬元，具體投資方案如下表三：項目年份第一年第二年第三年第四年第五年項目一6000045544600006000060000

14、項目二3000030000300003000030000項目三4000000400000項目四30000025254647460項目五3756026244600項目六200000000項目七040000000項目八0030000005. 問題二的解答5.1模型二的建立5.1.1數(shù)據(jù)處理1) 運用excel軟件對附錄一表2、表3中的數(shù)據(jù)進行處理，得到單獨投資時8個項目近20年的到期利潤率時間序列（附錄三表1），以及項目相互影響下的到期利潤率時間序列（附錄三表2），以及各自的標準差（附錄三表3、表4）。2) 對附錄三表1、表二中的數(shù)據(jù)進行分析并利用數(shù)學軟件MATLAB進行正態(tài)分布判斷的處理（源程序

15、見 附錄三表5）。5.1.2相關定義1) 今后五年的到期利潤率為該正態(tài)分布的期望值。2) 未來五年的風險損失率用往年數(shù)據(jù)利潤率的標準差來衡量。5.1.3到期利潤率表示觀察到項目1近20年的利潤率數(shù)據(jù)與正態(tài)分布相近，猜想項目1的歷年利潤率服從正態(tài)分布。通過MATLAB對猜想進行檢驗，得到項目1的歷年利潤率服從正態(tài)分布。由正態(tài)分布的公式：得到到期利潤率,即期望值。5.1.4風險損失率表示對于風險損失率，假如一個公司對市場上的一些項目進行投資，他所期望的利潤為，而實際上的利潤與出現(xiàn)偏差，不論是小于，還是大于，均認為是投資的風險，而不單單只考慮公司虧本的這種情況。因此，衡量風險的標準應為實際值與期望值

16、距離的大小，即用往年數(shù)據(jù)利潤率的標準差來衡量未來五年項目投資風險率。5.2模型二的求解運用MATLAB求解今后五年各項目獨立投資及項目之間相互影響下的投資的到期利潤率，運用excel求出對應的風險損失率，結果如下表：表四：今后五年各項目獨立投資的到期利潤率和風險損失率 表五：今后五年項目之間相互影響下的投資的到期利潤率和風險損失率6. 問題三的解答6.1模型三的建立6.1.1確定目標函數(shù)由問題分析可知，問題三與問題一擁有相同的目標函數(shù)，即第五年末所得最大利潤值。由此可得第三問的目標函數(shù)為：max 6.1.2確定約束條件1) 由于項目的回收年限不變，所以項目j在第i年末的到期本利仍為：但因為存在

17、項目之間的相互影響，所以我們對的取值做如下規(guī)定： 2) 由于存在資金捐贈，對于此時第i年末擁有的本利和與第i+1年年初可用于投資的總金額不一定相等，以每年年初的投資總額不大于該年可用于投資的總金額為約束條件：由于只考慮未來五年的投資計劃，我們假設第六年停止投資活動，此時可以得到，所以不需要修正目標函數(shù)。 但為了便于理解，我們還是將目標函數(shù)表示為。3) 項目5的投資額固定為500萬，即：4) 問題三仍然存在問題一中的投資規(guī)則約束、投資上限約束以及非負約束：即仍然成立6.1.3得到優(yōu)化模型三 max 6.2模型三的求解 7. 問題四的解答7.1模型四的建立7.1.1確定目標函數(shù)由于問題四考慮投資風

18、險時，不改變目標函數(shù)，所以模型四的目標函數(shù)仍為：7.1.2確定約束條件1) 每年的投資總額不得超過可用于投資的總金額：2) 仍滿足投資運行規(guī)則的相關約束：3) 對項目5的約束仍然存在：4) 但是引入了實際利潤率，1 對于項目3、4、5、6、8存在不同的實際利潤率：j=3,4,5,6,8時，同時投資項目5、6、8：同時投資項目3、4或者項目5、6：投資項目不同時存在項目3、4或項目5、6：2 對于項目1、2、7實際利潤率是不變的：由此得到模型四的約束條件。7.1.3得到優(yōu)化模型四Max s.t. j=3、4、5、6、8時 7.2模型四的求解8. 問題五的解答8.1模型五的建立8.1.1數(shù)據(jù)準備由

19、于題目中未給出銀行的具體存貸利率數(shù)據(jù)，我們在搜索引擎上搜索到近年中國人民銀行近年來貸款和存款的利率數(shù)據(jù)，由于數(shù)據(jù)過于龐大，我們進行了一定的篩選和處理，根據(jù)之前假設僅在每年年頭進行定期一年的貸款或存款投資，我們決定僅選用期限為一年的利率作為計算數(shù)據(jù)，見附錄四。我們利用灰色預測模型在數(shù)學軟件matlab中計算出未來五年貸款和存款的利率，使用的源程序見附錄五。結果如下：第1年第2年第3年第4年第5年貸款年利率0.059380.057980.057630.056890.0556存款年利率0.052580.047320.042810.039440.032368.1.2確定目標函數(shù)由于問題五引入了公司的存

20、貸問題，我們在模型四的基礎上對目標函數(shù)進行修正，考慮五年內因存款獲得的利息以及因貸款付出的利息，得到目標函數(shù)：Max 8.1.3確定約束條件考慮到公司可以進行存款和貸款，對約束條件進行修正。1) 每年年初投資總額不超過該年可用于投資的總金額的約束仍然成立，但表達式發(fā)生變化，此時表示下列約束中右邊相應的表達式。第一年： 第二年：第三年： 第四年：第五年其他約束條件仍然適用：2) 項目5的投資額固定為500萬，即：3) 仍滿足投資運行規(guī)則的相關約束：4) 實際利潤率的表示： j=3、4、5、6、8時 8.1.4得到優(yōu)化模型五Max S.t. j=3、4、5、6、8時 8.2模型五的求解9. 模型的

21、評價、改進與推廣參考文獻1 姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學模型（第四版），高等教育出版社，2011.1附錄附錄一：題目所給數(shù)據(jù)表1 投資項目預計到期利潤率及投資上限注：到期利潤率是指對某項目的一次投資中，到期回收利潤與本金的比值。表2 各投資項目獨立投資時歷年的投資額及到期利潤（萬元）表3 一些投資項目同時投資時歷年的投資額及到期利潤（萬元）表4 各投資項目的投資上限附錄二：問題一的解答表1：模型一Lingo求解的源程序model:sets:nian/1.5/:aa,bb;!aa表示A，bb表示B;xiangmu/1.8/:p,b;links(nian,xiangmu):x,a;endsetsda

22、ta:p=0.1,0.11,0.25,0.27,0.45,0.5,0.8,0.55;b=60000,30000,40000,30000,30000,20000,40000,30000;enddata!投資約束;for(links(i,j)|i#ne#2:x(i,7)=0);for(links(i,j)|i#ne#3:x(i,8)=0);!不超過投資上限;x(2,7)<=b(7);x(3,8)<=b(8);for(links(i,j)|j#le#2:x(i,j)<=b(j);for(links(i,j)|(i#ge#2#and#i#le#5)#and#(j#eq#3#or#j#

23、eq#4):x(i,j)+x(i-1,j)<=b(j);for(links(i,j)|(i#ge#3#and#i#le#5)#and#(j#eq#5#or#j#eq#6):x(i,j)+x(i-1,j)+x(i-2,j)<=b(j);!表示a(i,j);a(5,7)=x(2,7)*(1+p(7);a(5,8)=x(3,8)*(1+p(8);for(links(i,j)|(i#ge#1#and#i#le#5)#and#(j#le#2):a(i,j)=x(i,j)*(1+p(j);for(links(i,j)|i#ge#2#and#(j#eq#3#or#j#eq#4):a(i,j)=x

24、(i-1,j)*(1+p(j);for(links(i,j)|i#ge#3#and#(j#eq#5#or#j#eq#6):a(i,j)=x(i-2,j)*(1+p(j);!表示A(i);for(nian(i):aa(i)=sum(xiangmu(j):x(i,j);!表示bb(i);bb0=200000;bb(1)=bb0-aa(1)+sum(xiangmu(j):a(1,j);for(links(i,j)|i#ge#2:bb(i)=bb(i-1)-aa(i)+sum(xiangmu(j):a(i,j);sum(xiangmu(j):x(1,j)<=bb0;for(links(i,j)|

25、i#ge#2:aa(i)<=bb(i-1);max=bb(5)-200000;end附錄三：問題二的解答表1 各投資項目獨立投資時歷年的到期利潤率表2 一些投資項目同時投資時歷年的利潤率表3 各投資項目獨立投資時歷年的到期利潤率的標準差表4 一些投資項目同時投資時歷年的利潤率的標準差表5 MATLAB判斷正態(tài)分布的源程序load data1.txtsave data1A=data1n=length(A)m=mean(A)s=std(A)h,p = kstest(A, A,normcdf(A,m,s);plot(sort(A),'*')hold onplot(linspac

26、e(0,n,300),norminv(linspace(0,1,300),m,s),'r.')if h= 0 disp('該數(shù)據(jù)源服從正態(tài)分布。')else disp('該數(shù)據(jù)源不服從正態(tài)分布。')endm附錄四：問題五的解答表1：中國人民銀行歷年存款及貸款利率變化表單位（年利率）短期貸款中長期貸款調整日期六個月（含）六個月至一年（含）一至三年（含）三至五年（含）五年以上1991年4月21日8.18.6499.549.721993年5月15日8.829.3610.812.0612.241993年7月11日910.9812.2413.8614.04

27、1995年1月1日910.9812.9614.5814.761995年7月1日10.0812.0613.515.1215.31996年5月1日9.7210.9813.1414.9415.121996年8月23日9.6810.0810.9811.712.421997年10月23日7.658.649.369.910.531998年3月25日7.027.9299.7210.351998年7月1日6.576.937.117.658.011998年12月7日6.126.396.667.27.561999年6月10日5.585.855.946.036.212002年2月21日5.045.315.495.5

28、85.762004年10月29日5.225.585.765.856.122006年4月28日5.45.856.036.126.392006年8月19日5.586.126.36.486.842007年3月18日5.676.396.576.757.112007年5月19日5.856.576.756.937.22007年7月20日6.036.847.027.27.382007年8月22日6.217.027.27.387.562007年9月15日6.487.297.477.657.832007年12月22日6.577.477.567.747.832008年9月16日6.217.27.297.567.742008年10月9日6.126.937.027.297.472008年10月30日6.036.666.757.027.22008年11月27日5.045.585.675.946.122008年12月23日4.865.315.45.765.942010年10月20日5.15.565.65.966.142010年12月26日5.355.815.856.2